Карточки
Тесты
Зави
Тест: 1.1
Предмет стереометрии. Точка, прямая, плоскость. Аксиомы стереометрии
В 7 классе вы изучали фигуры на плоскости и аксиомы планиметрии (урок «Что изучает геометрия. Аксиомы, теоремы, доказательства»). Теперь фигуры выходят из листа в пространство: куб, тетраэдр, комната. Вы узнаете, что изучает стереометрия, как обозначают точки, прямые и плоскости и какие три аксиомы описывают их взаимное расположение.
Геометрия, которая выходит из листа
Посмотрите на табурет с тремя ножками. На ровном полу такой табурет не качается. А стол с четырьмя ножками часто качается. Будем считать пол плоскостью, а концы жестких ножек — точками. Почему три такие точки всегда лежат в одной плоскости, а четыре могут в ней не лежать? Ответ даст одна из аксиом.
Ножки стола, пол, стены комнаты не помещаются на одном листе: это фигуры в пространстве. Стереометрия — раздел геометрии, который изучает фигуры в пространстве. Планиметрия — часть геометрии о фигурах на одной плоскости.
Пространственную фигуру нельзя положить на бумагу целиком. Мы рисуем ее изображение — что-то вроде тени, которую фигура отбрасывает на лист, когда ее освещает солнце. На схеме ниже — куб и его тень. Тень плоская: тени ребер $CD$ и $B_1C_1$ пересекаются в точке $X$, но сами ребра общей точки не имеют — $CD$ лежит в нижней грани, $B_1C_1$ в верхней. Поэтому вывод по чертежу проверяют.
Основные фигуры пространства — точка, прямая и плоскость. Их не определяют через другие понятия, а описывают моделями: кончик иглы — модель точки, натянутая нить — модель прямой, ровная поверхность стола — модель части плоскости. У куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ вершины — точки, ребра — отрезки прямых, грани — части плоскостей. В модуле мы рассуждаем на кубе и тетраэдре $DABC$ — треугольной пирамиде с основанием $ABC$ и вершиной $D$.
Плоскость бесконечна, а рисуем мы ее кусок
Поверхность стола — только модель плоскости: у стола есть край, а у плоскости края нет. Представьте лист бумаги, который можно продолжать во все стороны сколько угодно, — это ближе к плоскости. На чертеже плоскость изображают параллелограммом: это тень прямоугольного куска плоскости, если смотреть на него сбоку.
Плоскости обозначают греческими буквами $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ или тремя ее точками, не лежащими на одной прямой: $(ABC)$ — «плоскость $ABC$».
Определение
Если точка лежит в плоскости, говорят, что точка принадлежит плоскости, и пишут $A \in \alpha$; если не лежит — $B \notin \alpha$. Если каждая точка прямой лежит в плоскости, говорят, что прямая лежит в плоскости, и пишут $a \subset \alpha$.
$$A \in \alpha, \qquad B \notin \alpha, \qquad a \subset \alpha$$
Ошибка
Иксератопс рассуждает: «Прямая дошла до края параллелограмма — значит, она вышла из плоскости».
Проверка. Края параллелограмма — край рисунка, а не плоскости. Плоскость бесконечна, и прямая $a$ с ней продолжается за край рисунка: каждая точка прямой по определению лежит в плоскости.
Точка — элемент плоскости, для нее знак $\in$; прямая — множество точек, для нее знак $\subset$.
Три ножки держат столешницу, две — нет
Положите столешницу на две ножки с концами $A$ и $B$. Она не держится: ее можно поворачивать вокруг линии $AB$, как дверь на петлях, и в каждом положении это другая плоскость. Через две точки проходит бесконечно много плоскостей.
Добавим третью ножку с концом $C$, который не лежит на прямой $AB$. Теперь столешница не поворачивается: она касается всех трех концов только в одном положении. Если же поставить $C$ на прямую $AB$, третья ножка ничего не добавит — столешница опять вращается вокруг той же линии.
Аксиома А1
Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
$$A, B, C \text{ не на одной прямой} \;\Rightarrow\; \text{существует ровно одна плоскость } (ABC)$$
Аксиому не доказывают: ее принимают как исходное свойство, проверенное опытом. Поэтому запись $(ABC)$ имеет смысл: плоскость с такими точками одна.
Пример 1
Задача. Сколько плоскостей проходит через вершины $A$, $B$, $C$ тетраэдра $DABC$? А через точки $A$, $B$ и середину $M$ ребра $AB$?
Решение. Вершины $A$, $B$, $C$ — вершины треугольника, они не лежат на одной прямой. По А1 через них проходит ровно одна плоскость $(ABC)$. Точка $M$ лежит на отрезке $AB$, значит, точки $A$, $B$, $M$ лежат на одной прямой, и А1 к ним не применима: каждая плоскость, проходящая через прямую $AB$, содержит все три точки.
Ответ: одна; бесконечно много.
Ошибка
Иксератопс рассуждает: «Через две точки проходит ровно одна прямая — значит, и плоскость через две точки одна. А через три точки плоскость всегда одна».
Проверка на модели. Столешница на двух ножках поворачивается вокруг линии $AB$: плоскостей много, и каждая содержит $A$ и $B$. Три ножки, поставленные в ряд на одну прямую, — тот же случай: стол опрокидывается.
Где сломалось рассуждение. Свойство прямой перенесено на плоскость без проверки, а из А1 выброшено условие «не лежащие на одной прямой». Без него аксиома неверна.
Две точки прямого края на столе — весь этот край в его плоскости
Приложите ровную линейку к столу так, чтобы две различные точки ее прямого продольного края лежали в плоскости столешницы. Тогда весь этот край лежит в плоскости целиком, даже если линейка выступает за край стола.
Аксиома А2
Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
$$M \in \alpha,\; N \in \alpha \;\Rightarrow\; MN \subset \alpha$$
А2 объясняет, почему край линейки лежит в плоскости стола целиком. У прямой и плоскости бывает три случая: прямая лежит в плоскости, пересекает ее в одной точке или не имеет с ней общих точек. Двух общих точек без всей прямой не бывает.
Пример 2
Задача. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $M$ — середина ребра $AA_1$, точка $N$ — середина ребра $DD_1$. Лежит ли прямая $MN$ в плоскости $ADD_1$?
Решение. Точки $A$ и $A_1$ — вершины грани $ADD_1A_1$, они лежат в плоскости $ADD_1$. По А2 вся прямая $AA_1$ лежит в этой плоскости, значит, и ее точка $M$. Так же $D, D_1 \in (ADD_1)$, по А2 прямая $DD_1 \subset (ADD_1)$, поэтому $N \in (ADD_1)$. Две точки прямой $MN$ лежат в плоскости — по А2 вся прямая $MN$ лежит в ней.
Ответ: да, $MN \subset (ADD_1)$.
Две стены сходятся по линии, а не в точке
Посмотрите на угол комнаты. Две соседние стены встречаются не в одной точке, а по вертикальной линии от пола до потолка. Пол и стена тоже сходятся по линии — плинтусу.
Аксиома А3
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
$$\alpha \neq \beta,\; M \in \alpha,\; M \in \beta \;\Rightarrow\; \alpha \cap \beta = c,\; M \in c$$
Запись $\alpha \cap \beta = c$ читают так: «плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $c$». Две различные плоскости либо не имеют общих точек, либо пересекаются по прямой. Ответ «пересекаются в одной точке» невозможен: если общая точка есть, то есть и целая прямая общих точек. Если же у плоскостей есть общая прямая и еще общая точка вне ее, плоскости совпадают: по А1 через эту точку и две точки прямой проходит одна плоскость.
Ошибка
Иксератопс рассуждает: «На рисунке у плоскостей отмечена только точка $M$ — значит, общая точка одна».
Проверка. Отмеченная точка — не вся общая часть. Если $M$ общая, по А3 есть общая прямая $c \ni M$, и общих точек бесконечно много.
Пример 3
Задача. По какой прямой пересекаются плоскости $(ABC)$ и $(BDD_1)$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$?
Решение. Точки $B$ и $D$ лежат в плоскости $(BDD_1)$ по ее обозначению и в плоскости нижней грани $(ABC)$. Плоскости различны: точка $D_1$ лежит над нижней гранью, а не в ней. По А3 различные плоскости с общей точкой пересекаются по прямой, на которой лежат все общие точки, — значит, и $B$, и $D$. Через две точки проходит одна прямая, поэтому линия пересечения — $BD$.
Ответ: $(ABC) \cap (BDD_1) = BD$.
Как аксиомы работают на кубе
Лежат ли в одной плоскости четыре точки? Сравните на рисунке две четверки: $B$, $D$, $O$, $B_1$ и $A$, $B$, $C$, $B_1$. Здесь $O$ — центр нижней грани $ABCD$.
Пример 4
Задача. Точка $O$ — центр нижней грани $ABCD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Лежат ли в одной плоскости точки $B$, $D$, $O$, $B_1$? А точки $A$, $B$, $C$, $B_1$?
Решение. Точки $B$, $D$, $B_1$ не лежат на одной прямой, по А1 через них проходит единственная плоскость $(BDB_1)$. Центр квадрата лежит на его диагонали, поэтому $O \in BD$. Точки $B$ и $D$ лежат в $(BDB_1)$, по А2 вся прямая $BD$ лежит в этой плоскости, а с ней и $O$. Значит, все четыре точки лежат в одной плоскости.
Через $A$, $B$, $C$ проходит единственная плоскость — плоскость нижней грани. Точка $B_1$ находится над ней на высоте ребра и в ней не лежит. Другой плоскости через $A$, $B$, $C$ нет, поэтому общей плоскости у четырех точек нет.
Ответ: $B$, $D$, $O$, $B_1$ — да; $A$, $B$, $C$, $B_1$ — нет.
Правило для четырех точек
Если все четыре точки лежат на одной прямой, через них проходит бесконечно много плоскостей. Иначе возьмите три точки, не лежащие на одной прямой: по А1 через них проходит единственная плоскость. Затем проверьте, лежит ли в ней четвертая точка. Если лежит — все четыре точки в одной плоскости; если нет — такой плоскости нет вовсе, потому что другой плоскости через первые три точки не существует.
Теперь ответ на вопрос из начала урока. Считаем ножки жесткими, а пол плоским. Концы трех ножек табурета не лежат на одной прямой, и по А1 через них проходит единственная плоскость, поэтому ее можно совместить с плоскостью пола: все три ножки одновременно касаются пола. У стола с ножками по углам четыре конца, и четвертый не обязан лежать в плоскости трех других — точно как $B_1$ и плоскость $(ABC)$. Тогда стол опирается то на одну тройку ножек, то на другую и качается.
Задание. Концы $A$, $B$, $C$ трех ножек не лежат на одной прямой и стоят на полу, а конец $D$ четвертой ножки выше пола. Лежат ли $A$, $B$, $C$, $D$ в одной плоскости? Ответьте по правилу выше.
Вывод
Аксиомы стереометрии — фундамент всех следующих тем: ими обосновывают принадлежность точек и прямых плоскости, находят линии пересечения плоскостей и строят сечения многогранников.
| Случай | Модель | Вывод |
|---|---|---|
| Две точки или три точки на одной прямой | Столешница поворачивается вокруг линии ножек | Плоскостей бесконечно много |
| Три точки не на одной прямой (А1) | Табурет на трех ножках не качается | Плоскость ровно одна |
| Две точки прямой в плоскости (А2) | Две различные точки прямого края линейки лежат в плоскости стола — весь этот прямой край лежит в ней | Вся прямая лежит в плоскости |
| Две различные плоскости с общей точкой (А3) | Две стены комнаты | Пересекаются по прямой |
| Четыре точки | Стол на четырех ножках может качаться | Плоскость трех точек может не содержать четвертую |
В следующем уроке «Следствия из аксиом стереометрии» из этих трех аксиом вы выведете другие способы задать плоскость.
Часто задаваемые вопросы
Любое доказательство опирается на уже известные утверждения. С чего-то нужно начать: аксиомы — исходные свойства точек, прямых и плоскостей, которые принимают без доказательства.
Грань — квадрат, у нее есть края. Плоскость грани бесконечна: она продолжает грань во все стороны. Когда пишут $(ABC)$ для куба, имеют в виду именно бесконечную плоскость.
Нет. По А3 две плоскости с общей точкой имеют общую прямую, а на прямой бесконечно много точек.
Назовите три ее точки, не лежащие на одной прямой: $(ABC)$, $(BDD_1)$. По А1 такая плоскость единственна, поэтому обозначение однозначно. Точки на одной прямой для этого не годятся.
5
5
1
5