Карточки
Тесты
Зави
Тест: 1.2
Следствия из аксиом стереометрии. Способы задания плоскости
В прошлом уроке вы познакомились с тремя аксиомами — аксиомы стереометрии А1–А3. Сегодня докажем из них три теоремы-следствия и получим четыре способа задать плоскость: тремя точками, не лежащими на одной прямой; прямой и точкой вне ее; двумя пересекающимися прямыми; двумя параллельными прямыми.
Прямая и точка вне ее фиксируют плоскость
Начнем с вопроса. Дверь висит на двух петлях — и все равно свободно поворачивается. Почему двух петель мало, а одна защелка на косяке останавливает дверь?
Будем считать дверь куском плоскости. Петли $A$ и $B$ лежат на одной прямой $a$ — оси двери. Через прямую $a$ проходит бесконечно много плоскостей: каждое положение двери — новая плоскость. Поэтому дверь и поворачивается.
Закроем дверь на защелку. Защелка — точка $M$ на косяке, и она не лежит на оси $a$. Теперь у двери три точки опоры $A$, $B$, $M$, и они не лежат на одной прямой. Это ровно стол на трех ножках из аксиомы А1: плоскость одна, дверь стоит неподвижно.
Получилось наблюдение: прямая и точка вне ее задают плоскость так же надежно, как три точки. Но дверь — не доказательство. Докажем то же самое только из аксиом.
Теорема 1
Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Дано: прямая $a$, точка $M \notin a$. Доказать: существует плоскость $\alpha$, для которой $a \subset \alpha$ и $M \in \alpha$, и такая плоскость единственна.
Прежде чем читать доказательство, проверьте себя: сделайте прогноз и выберите шаги сами. Запись доказательства — ниже.
Доказательство
Шаг 1. Отметим на прямой $a$ две различные точки $A$ и $B$.
Шаг 2. Точки $A$, $B$, $M$ не лежат на одной прямой. Действительно, через $A$ и $B$ проходит только одна прямая — это $a$ (аксиома планиметрии, она верна и в пространстве). Если бы $M$ лежала на одной прямой с $A$ и $B$, то $M \in a$, а это противоречит условию.
Шаг 3. По А1 через $A$, $B$, $M$ проходит плоскость $\alpha$, и притом только одна.
Шаг 4. Точки $A$ и $B$ прямой $a$ лежат в $\alpha$, поэтому по А2 вся прямая лежит в плоскости: $a \subset \alpha$. Значит, $\alpha$ проходит через $a$ и $M$.
Шаг 5. Любая плоскость, которая проходит через $a$ и $M$, содержит точки $A$, $B$, $M$. По А1 такая плоскость одна — это $\alpha$. Что и требовалось доказать.
Пример 1
В тетраэдре $DABC$ точка $K$ — середина ребра $DC$. Сколько плоскостей проходит через прямую $AB$ и точку $K$? Изменится ли ответ, если $K$ — середина ребра $AB$?
Решение. Сначала проверим, что $K \notin AB$. Допустим, $K \in AB$. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости $(ABC)$, поэтому по А2 в ней лежит и $K$. Тогда в $(ABC)$ лежат две точки $K$ и $C$ прямой $DC$, и по А2 в ней лежит вся прямая, в том числе вершина $D$. Но вершина тетраэдра $D$ не лежит в плоскости основания — противоречие. По теореме 1 через $AB$ и $K$ проходит ровно одна плоскость — плоскость $(ABK)$.
Если $K$ — середина $AB$, то точка лежит на прямой. Нового условия она не добавляет: через прямую $AB$ по-прежнему проходит бесконечно много плоскостей, как через ось двери.
Ответ: одна плоскость; если $K \in AB$ — бесконечно много.
Две пересекающиеся прямые сводятся к прямой и точке
Положим на пол две рейки крест-накрест и опустим на них столешницу. Она ляжет и не будет качаться. Почему? Одна рейка — это ось, как у двери. Любая точка второй рейки, кроме точки пересечения, лежит вне оси и работает как защелка. Значит, этот случай сводится к уже доказанной теореме 1.
Теорема 2
Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Дано: $a \cap b = O$. Доказать: существует единственная плоскость, содержащая $a$ и $b$.
Доказательство
Шаг 1. Отметим на прямой $b$ точку $B$, отличную от $O$.
Шаг 2. Точка $B$ не лежит на $a$. Иначе прямые $a$ и $b$ обе проходили бы через точки $O$ и $B$ и по аксиоме планиметрии совпали бы, а прямые различны.
Шаг 3. По теореме 1 через прямую $a$ и точку $B$ проходит единственная плоскость $\alpha$.
Шаг 4. Точки $O$ и $B$ прямой $b$ лежат в $\alpha$ ($O \in a \subset \alpha$). По А2 $b \subset \alpha$. Значит, $\alpha$ содержит обе прямые.
Шаг 5. Любая плоскость, содержащая $a$ и $b$, содержит прямую $a$ и точку $B$. По теореме 1 она совпадает с $\alpha$. Что и требовалось доказать.
Обратите внимание на порядок: теорема 2 опирается на теорему 1, а теорема 1 — на А1 и А2. Каждое новое утверждение строится только из того, что уже доказано. На кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ так работают любые два ребра с общей вершиной: например, ребра $A_1B_1$ и $A_1D_1$ пересекаются в точке $A_1$ и задают плоскость верхней грани.
Параллельные прямые лежат в одной плоскости по определению
Представьте две параллельные рейки, как рельсы. Доску, положенную поперек на оба рельса, не качнуть. Чтобы перейти от рельсов к доказательству, нужно точно сказать, что такое параллельные прямые.
В планиметрии все прямые лежали в одной плоскости, и параллельными называли просто прямые без общих точек. В пространстве условие «в одной плоскости» приходится произносить вслух.
Определение
Параллельные прямые — две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Запись: $a \parallel b$.
Теорема 3
Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.
Доказательство
Шаг 1. Пусть $a \parallel b$. По определению параллельных прямых существует плоскость $\alpha$, в которой лежат обе прямые.
Шаг 2. Отметим на прямой $b$ точку $M$. Прямые $a$ и $b$ не пересекаются, поэтому $M \notin a$.
Шаг 3. Любая плоскость, содержащая $a$ и $b$, проходит через прямую $a$ и точку $M$. По теореме 1 такая плоскость только одна — это $\alpha$. Что и требовалось доказать.
Пример 2
Известно, что ребра $AD$ и $B_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны. Докажите, что точки $A$, $D$, $C_1$, $B_1$ лежат в одной плоскости, и назовите ее.
Решение. Прямые $AD$ и $B_1C_1$ параллельны, поэтому по теореме 3 через них проходит единственная плоскость $\alpha$. Точки $A$ и $D$ лежат на первой прямой, точки $B_1$ и $C_1$ — на второй, а обе прямые лежат в $\alpha$. Значит, все четыре точки лежат в $\alpha$. Эту плоскость можно назвать по любым трем из них, например $(ADC_1)$.
Ответ: точки лежат в плоскости $(ADC_1)$, она проходит через параллельные прямые $AD$ и $B_1C_1$.
Прямые без общих точек — ловушка из планиметрии
В определении параллельных прямых два условия: прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В 7 классе первое условие выполнялось само собой, и привычка подсказывает короткий путь: «общих точек нет — значит, параллельны — значит, есть плоскость». Проверим этот путь на кубе.
Ошибка
Как ошибаются. «Ребра $AD$ и $D_1C_1$ куба не имеют общих точек. Значит, они параллельны и через них проходит плоскость».
Проверка на кубе. Допустим, плоскость $\beta$ содержит обе прямые. Тогда она проходит через точки $A$, $D$, $D_1$, которые не лежат на одной прямой. По А1 такая плоскость одна — это плоскость грани $AA_1D_1D$. Но точка $C_1$ этой грани не принадлежит, хотя лежит на прямой $D_1C_1$. Противоречие: плоскости через $AD$ и $D_1C_1$ нет.
Где сломалось. На шаге «общих точек нет — значит, параллельны». В пространстве из отсутствия общих точек следует только второе условие определения, а первое (одна плоскость) может не выполняться. Теорема 3 требует именно параллельности.
Прямые, которые не лежат в одной плоскости, называют скрещивающимися. Сейчас достаточно помнить: две прямые задают плоскость, только если они пересекаются или параллельны.
Что значит «и притом только одна»
В каждой теореме две части. «Проходит плоскость» — существование: такая плоскость есть. «И притом только одна» — единственность: второй такой плоскости нет. Единственность удобно доказывать от противного: допускаем, что плоскостей две, и приходим к противоречию с аксиомой или уже доказанной теоремой.
В модели стола это звучит так: две разные столешницы не могут лежать на одних и тех же трех ножках, не стоящих на одной прямой.
Доказательство
Докажем от противного единственность в теореме 1.
Допущение. Пусть через прямую $a$ и точку $M \notin a$ проходят две различные плоскости $\alpha$ и $\beta$.
Следствие. Отметим на $a$ точки $A$ и $B$. Обе плоскости содержат три точки $A$, $B$, $M$, не лежащие на одной прямой.
Противоречие. По А1 через такие три точки проходит только одна плоскость, значит, $\alpha$ и $\beta$ совпадают. Это противоречит допущению, что они различны.
Вывод. Допущение неверно, плоскость единственна.
Другое доказательство через А3
Скрыть
Пусть $\alpha \ne \beta$ и обе содержат точки $A$, $B$, $M$. У плоскостей есть общая точка, поэтому по А3 все их общие точки лежат на одной прямой. Но $A$, $B$, $M$ на одной прямой не лежат. Противоречие, значит, $\alpha = \beta$.
Обратите внимание
Допускают противоположное именно тому, что доказывают. Для единственности это «плоскостей хотя бы две», а не «три точки лежат на одной прямой» и не «плоскости нет».
Четыре способа задать плоскость
Соберем все вместе. Каждый способ сводится к столу на трех ножках: в каждом доказательстве мы находили три точки не на одной прямой и применяли А1.
Не задают единственную плоскость две точки, прямая и точка на ней, три точки на одной прямой: плоскостей бесконечно много. Через две прямые без общих точек, не параллельные, не проходит ни одной.
Как доказать, что точки лежат в одной плоскости
В задачах ЕГЭ пункт «а» часто требует доказать, что четыре точки лежат в одной плоскости. Три точки не на одной прямой плоскость задают всегда, а четвертая может оказаться вне нее — вспомните стол на четырех ножках, который качается. Поэтому нужен довод, а не взгляд на рисунок: чертеж — тень фигуры, и на тени «в одной плоскости» выглядят любые точки.
Пример 3
В тетраэдре $DABC$ точка $M$ лежит на ребре $DA$, точка $N$ — на ребре $DB$. Докажите, что точки $A$, $B$, $M$, $N$ лежат в одной плоскости.
Сначала найдите две прямые, на которых лежат все четыре точки.
Правило
Чтобы доказать, что точки лежат в одной плоскости:
1) найдите данные, которые задают плоскость $\alpha$: две пересекающиеся прямые, две параллельные прямые или прямую и точку вне ее; назовите теорему, по которой через них проходит плоскость;
2) покажите, что каждая из данных точек либо входит в эти данные, либо лежит на одной из выбранных прямых;
3) сошлитесь на то, что выбранные прямые лежат в $\alpha$, а с ними и все их точки.
Пример 3: решение
Точки $A$, $M$ лежат на прямой $DA$, точки $B$, $N$ — на прямой $DB$. Прямые $DA$ и $DB$ пересекаются в точке $D$, поэтому по теореме 2 через них проходит единственная плоскость — плоскость $(DAB)$. Обе прямые лежат в $(DAB)$, а с ними и все их точки.
Ответ: все четыре точки лежат в плоскости $(DAB)$.
Вывод
На практике плоскость чаще задают прямыми — ребрами куба, диагоналями. Теоремы 1–3 разрешают это, и каждая сводится к трем точкам не на одной прямой. Через них вы будете обосновывать сечения и пункт «а» задач ЕГЭ.
Ответ на вопрос о двери: петли задают только прямую, а через прямую проходит бесконечно много плоскостей. Защелка добавляет точку вне этой прямой, и по теореме 1 плоскость двери становится единственной.
Часто задаваемые вопросы
Модель подсказывает, что искать, но не доказывает. В геометрии каждое утверждение выводится из аксиом и уже доказанных теорем — так оно верно для любых прямых и точек, а не только для удачного примера.
Можно и через А1: взять точку пересечения и по точке на каждой прямой. Но опора на теорему 1 короче и показывает цепочку: А1 → теорема 1 → теоремы 2 и 3.
Если четыре точки лежат в одной плоскости и три из них не на одной прямой, то плоскость они задают, но четвертая точка лишняя. А четыре произвольные точки могут и не лежать в одной плоскости, как вершины тетраэдра.
Нет. Чертеж — изображение, тень фигуры: на нем пересекаются и прямые, которые в пространстве общих точек не имеют. В решении нужно назвать способ задания плоскости и показать, что точки лежат на нужных прямых.
5
5
1
5