Личный кабинет Выйти Войти Регистрация
Уроки
Математика Алгебра Геометрия Физика Всеобщая история Русский язык Английский язык География Биология Обществознание История России ОГЭ
Тренажёры
Математика ЕГЭ Тренажёры для мозга

Определение координаты движущегося тела

Содержание

    Используя вектор перемещения, мы можем показать положение движущегося тела в определенный момент времени графически, но на практике нам необходим не рисунок, а определенные координаты. Их мы можем вычислить, чем и займемся на данном уроке.

    Использование физических величин и понятий для вычислений

    Определяя координаты движущегося тела, мы будем использовать модель материальной точки. Также нам потребуется система отсчета: нужно будет определиться с количеством координатных осей и их расположением относительно движущегося тела.

    С какими величинами производят вычисления — с векторными или скалярными?

    Обратите внимание, что мы не можем производить арифметические вычисления с векторами. Поэтому мы будем использовать соответствующие им скалярные величины — их модули и их проекции на координатные оси.

    Проекция вектора перемещения

    Проекция любого вектора строится по двум его точкам: начальной и конечной. Поэтому сначала мы рассмотрим, что же такое проекция точки на координатную ось.

    Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.

    Взгляните на рисунок 1. Точка $A_x$ является проекцией точки $A$ на ось OX, а точка $A_y$ — проекцией точки $A$ на ось OY. 

    Рисунок 1. Проекции точки на координатные оси

    Теперь перейдем к проекции вектора (рисунок 2).

    Проекция вектора на ось — это длина отрезка, образованного проекциями начала и конца вектора на эту ось.

    Рисунок 2. Проекция вектора перемещения на координатную ось

    Соответственно, чтобы получить проекцию вектора перемещения на ось OX, мы сначала построили проекции точек $A$ и $B$ ($A_x$ и $B_x$). Отрезок на координатной оси, образованный этими точками (а точнее — длина этого отрезка) и будет являться проекцией вектора перемещения $\vec s$ на ось OX — $s_x$.

    Вектор перемещения и определение координаты тела

    Рассмотрим разные варианты. Начнем с самого простого. Пусть наше тело двигалось из точки $1$ в точку $2$ прямолинейно. Изобразим вектор его перемещения $\vec s$ (рисунок 3).

    Рисунок 3. Вектор перемещения тела

    Движение происходило вдоль прямой. Значит, нам потребуется всего одна координатная ось. Ее направление будет совпадать с направлением движения тела. Далее нам нужно определить проекцию вектора перемещения на оси OX. Для этого мы сначала определяем координаты точек $1$ и $2$ (рисунок 4). Проекции этих точек на ось и будут являться их координатами.

    Как мы это делаем? Опускаем из точки $1$ перпендикуляр на координатную ось и получаем координату этой точки — $x_1$. То же самое проделываем с точкой $2$ и получаем ее координату — $x_2$. Отмечаем на чертеже проекцию вектора перемещения $s_x$.

    Рисунок 4. Проекция перемещения тела на ось OX

    Чему равна эта проекция вектора перемещения?

    Проекция перемещения — это разность конечной и начальной координат:
    $s_x = x_2 \space − \space x_1$.

    Обратите внимание, что в данном случае проекция вектора перемещения $s_x$ равна модулю перемещения $|\vec s|$.

    Если мы знаем начальную координату и перемещение, то сможем найти конечную координату тела по формуле:
    $x_2 = x_1 \space + \space s_x$.

    Направление вектора перемещения не совпадает с направлением координатной оси

    Рассмотрим случай, если вектор перемещения направлен противоположно координатной оси (рисунок 5).

    Рисунок 5. Проекция вектора перемещения в случае, когда вектор перемещения направлен противоположно координатной оси

    Опустив перпендикуляры на ось OX, получим координаты точек $1$ и $2$ ($x_1$ и $x_2$). По определению проекция перемещения $s_x$ будет равна:
    $s_x = x_2 \space − \space x_1$.

    Что изменилось? $x_1 > x_2$, поэтому рассчитывая проекцию перемещения, мы получим отрицательное число.

    При каком условии проекция вектора на ось будет положительной, а при каком — отрицательной?

    Если проекция вектора перемещения представляет собой отрицательное число, то тело движется в противоположную сторону от направления координатной оси.

    При этом конечная координата тела будет определяться точно так же, как и в предыдущем случае:
    $x_2 = x_1 \space + \space s_x$.

    Вектор перемещения находится под углом к оси координат

    Если вектор перемещения расположен под некоторым углом к оси OX, то нам потребуется вторая ось OY. Теперь мы должны определить две проекции вектора перемещения: $s_x$ и $s_y$ (рисунок 6).

    Рисунок 6. Проекции вектора перемещения на оси OX и OY в случае, когда вектор перемещения находится под каким-то углом к осям

    Определяем эти проекции:
    $s_x = x_2 \space − \space x_1$,
    $s_y = y_2 \space − \space y_1$.

    Обратите внимание, что эти проекции получаются меньше самого вектора перемещения, ведь они не совпадают с ним. Поэтому мы будем их использовать, чтобы найти модуль перемещения $|\vec s|$ по теореме Пифагора (рисунок 7):
    $|\vec s| = \sqrt{{s_x}^2 \space + \space {s_y}^2}$.

    Рисунок 7. Использование теоремы Пифагора для расчета модуля вектора перемещения

    В случае вектора, расположенного под углом к оси, действует правило, проиллюстрированное на рисунке 8.

    Проекция вектора является положительной, если угол между вектором и осью острый, и отрицательной, если угол тупой.

    Рисунок 8. Зависимость знака проекции вектора от угла между ним и координатной осью

    А если вектор перпендикулярен оси? Тогда проекция этого вектора равна нулю (рисунок 9).

    Рисунок 9. Нулевые проекции векторов перемещения

    Пример решения задачи

    Два катера идут по реке в противоположных направлениях и встречаются в $100 \space км$ к востоку от пристани П (рисунок 10). Продолжая движение, за некоторый промежуток времени $t$ первый катер переместился от места встречи на $60 \space км$ к востоку, а второй — на $50 \space км$ к западу. Определите координаты каждого катера относительно пристани и расстояние между катерами через промежуток времени $t$ после их встречи.

    Рисунок 10. Иллюстрация к задаче

    Для того, чтобы записать условия задачи и решить ее, нам нужно выбрать координатную ось и спроецировать на нее векторы перемещений двух катеров. Проведем координатную ось OX параллельно движению катеров. Точку O (начало координат: $x = 0$) совместим с пристанью П.

    Теперь спроецируем векторы перемещений на ось OX. Мы получаем два отрезка: $s_{1x}$ и $s_{2x}$ (рисунок 11).

    Рисунок 11. Графическое определение проекций векторов перемещений

    Далее мы смотрим, какой знак будут иметь эти проекции:

    • вектор $\vec s_1$ сонаправлен оси OX, поэтому $s_{1x} > 0$;
    • вектор $\vec s_2$ направлен противоположно оси OX, поэтому $s_{2x} < 0$.

    Вот теперь мы можем записать условия задачи и перейти к ее решению.

    Дано:
    $x_0 = 100 \space км$
    $s_{1x} = 60 \space км$
    $s_{2x} = −50 \space км$

    $x_1 — ?$
    $x_2 — ?$
    $l — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Из рисунка 11 видно, что мы можем определить конечные координаты катеров по формулам:
    $x_1 = x_0 \space + \space s_{1x}$,
    $x_2 = x_0 \space + \space s_{2x}$.

    Рассчитаем эти координаты:
    $x_1 = 100 \space км \space + \space 60 \space км = 160 \space км$,
    $x_2 = 100 \space км \space − \space 50 \space км = 50 \space км$.

    Расстояние между двумя катерами будет равно модулю разности их координат:
    $l = |x_1 \space − \space x_2|$,
    $l = |160 \space км \space − \space 50 \space км| = 110 \space км$.

    Ответ: $x_1 = 160 \space км$, $x_2 = 50 \space км$, $l = 110 \space км$.

    Упражнения

    Упражнение №1

    Мотоциклист, переехав через мост, движется по прямолинейному участку дороги. У светофора, находящегося на расстоянии $10 \space км$ от моста, мотоциклист встречает велосипедиста. За $0.1 \space ч$ с момента встречи мотоциклист перемещается на $6 \space км$, а велосипедист — на $2 \space км$ от светофора (при этом оба они продолжают двигаться прямолинейно в противоположных направлениях).
    Определите координаты мотоциклиста и велосипедиста и расстояние между ними спустя $0.1 \space ч$ после их встречи.

    Начертим ось OX, направив ее в сторону движения мотоциклиста и приняв за тело отсчета мост (рисунок 12). Обозначим на этой оси координату светофора ($x_с$), координаты велосипедиста ($x_в$) и мотоциклиста ($x_м$), которые они имели через $0.1 \space ч$ после встречи. Над осью обозначим векторы перемещений велосипедиста ($\vec s_в$) и мотоциклиста ($\vec s_м$), а на оси — проекции этих векторов ($s_{вx}$ и $s_{мx}$).

    Рисунок 12. Иллюстрация к упражнению №1

    Дано:
    $x_с = 10 \space км$
    $x_{мx} = 6 \space км$
    $x_{вx} = −2 \space км$

    $x_м — ?$
    $x_в — ?$
    $l — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    Сначала вычислим конечную координату мотоциклиста:
    $x_м = x_с \space + \space s_{мx}$,
    $x_м = 10 \space км \space + \space 6 \space км = 16 \space км$.

    Теперь рассчитаем конечную координату велосипедиста:
    $x_в = x_с \space + \space s_{вx}$.
    $x_в = 10 \space км \space − \space 2 \space км = 8 \space км$.

    Расстояние между мотоциклистом и велосипедистом будет равно модулю разности их координат:
    $l = |x_м \space − \space x_в$,
    $l = |16 \space км \space − \space 8 \space км| = 8 \space км$.

    Ответ: $x_м = 16 \space км$, $x_в = 8 \space км$, $l = 8 \space км$.

    Упражнение №2

    Мальчик держит в руках мяч на высоте $1 \space м$ от поверхности земли. Затем он подбрасывает мяч вертикально вверх. За некоторый промежуток времени $t$ мяч успевает подняться на $2.4 \space м$ от своего первоначального положения, достигнув при этом точки наибольшего подъема, и опуститься от этой точки на $1.25 \space м$ (рисунок 13).
    Пользуясь этим рисунком, определите:
    а) координату $x_0$  начального положения мяча;
    б) проекцию $s_{tx}$ вектора перемещения $\vec s_t$, совершенного мячом за время $t$;
    в) координату $x_t$, которую имел мяч через промежуток времени $t$ после броска.

    Рисунок 13. Иллюстрация к упражнению №2

    Дано:
    $x_0 = 1 \space м$
    $s_{1x} = 2.4 \space м$
    $s_{2x} = −1.25 \space м$

    $x_0 — ?$
    $s_{tx} — ?$
    $x_t — ?$

    Посмотреть решение и ответ

    Скрыть

    Решение:

    На рисунке 13 мы видим, что начало оси OX совпадает с поверхностью земли. Также в условии задачи сказано, что мальчик держит мяч на высоте, равной $1 \space м$. Это и есть координата начального положения мяча: $x_0 = 1 \space м$.

    Что такое вектор перемещения $s_t$? По определению это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением в пространстве. Начальное положение мяча — это координата $x_0$, а конечное положение — координата $x_t$. При этом мяч сначала летел вверх (вектор перемещения $\vec s_1$) , а потом вниз (вектор перемещения $\vec s_2$). Если мы сложим эти векторы, то получим итоговый вектор перемещения $\vec s_t$, показанный на рисунке 13.

    Далее мы используем формулу с рисунка, не забывая при этом о знаках векторов, чтобы рассчитать проекцию вектора перемещения $s_{tx}$:
    $s_{tx} = s_{1x} \space + \space s_{2x}$,
    $s_{tx} = 2.4 \space м \space − \space 1.25 \space м = 1.15 \space м$.

    Теперь найдем координату мяча, в которой он оказался по прошествии времени $t$. Из рисунка 13 видно, что:
    $x_t = x_0 \space + \space s_{tx}$,
    $x_t = 1 \space м \space + 1.15 \space м = 2.25 \space м$.

    Ответ: $x_0 = 1 \space м$, $s_{tx} = 1.15 \space м$, $x_t = 2.25 \space м$.

    5
    5
    5Количество опыта, полученного за урок

    Оценить урок

    Спасибо, что помогаете нам стать лучше!

    Комментарии

    Получить ещё подсказку

    Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

    Верно! Посмотрите пошаговое решение