Определение координаты тела и проекции его перемещения
Определение координаты движущегося тела
Используя вектор перемещения, мы можем показать положение движущегося тела в определенный момент времени графически, но на практике нам необходим не рисунок, а определенные координаты. Их мы можем вычислить, чем и займемся на данном уроке.
Использование физических величин и понятий для вычислений
Определяя координаты движущегося тела, мы будем использовать модель материальной точки. Также нам потребуется система отсчета: нужно будет определиться с количеством координатных осей и их расположением относительно движущегося тела.
С какими величинами производят вычисления — с векторными или скалярными?
Обратите внимание, что мы не можем производить арифметические вычисления с векторами. Поэтому мы будем использовать соответствующие им скалярные величины — их модули и их проекции на координатные оси.
Проекция вектора перемещения
Проекция любого вектора строится по двум его точкам: начальной и конечной. Поэтому сначала мы рассмотрим, что же такое проекция точки на координатную ось.
Проекция точки — это основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на ось.
Взгляните на рисунок 1. Точка $A_x$ является проекцией точки $A$ на ось OX, а точка $A_y$ — проекцией точки $A$ на ось OY.
Теперь перейдем к проекции вектора (рисунок 2).
Проекция вектора на ось — это длина отрезка, образованного проекциями начала и конца вектора на эту ось.
Соответственно, чтобы получить проекцию вектора перемещения на ось OX, мы сначала построили проекции точек $A$ и $B$ ($A_x$ и $B_x$). Отрезок на координатной оси, образованный этими точками (а точнее — длина этого отрезка) и будет являться проекцией вектора перемещения $\vec s$ на ось OX — $s_x$.
Вектор перемещения и определение координаты тела
Рассмотрим разные варианты. Начнем с самого простого. Пусть наше тело двигалось из точки $1$ в точку $2$ прямолинейно. Изобразим вектор его перемещения $\vec s$ (рисунок 3).
Движение происходило вдоль прямой. Значит, нам потребуется всего одна координатная ось. Ее направление будет совпадать с направлением движения тела. Далее нам нужно определить проекцию вектора перемещения на оси OX. Для этого мы сначала определяем координаты точек $1$ и $2$ (рисунок 4). Проекции этих точек на ось и будут являться их координатами.
Как мы это делаем? Опускаем из точки $1$ перпендикуляр на координатную ось и получаем координату этой точки — $x_1$. То же самое проделываем с точкой $2$ и получаем ее координату — $x_2$. Отмечаем на чертеже проекцию вектора перемещения $s_x$.
Чему равна эта проекция вектора перемещения?
Проекция перемещения — это разность конечной и начальной координат:
$s_x = x_2 \space − \space x_1$.
Обратите внимание, что в данном случае проекция вектора перемещения $s_x$ равна модулю перемещения $|\vec s|$.
Если мы знаем начальную координату и перемещение, то сможем найти конечную координату тела по формуле:
$x_2 = x_1 \space + \space s_x$.
Направление вектора перемещения не совпадает с направлением координатной оси
Рассмотрим случай, если вектор перемещения направлен противоположно координатной оси (рисунок 5).
Опустив перпендикуляры на ось OX, получим координаты точек $1$ и $2$ ($x_1$ и $x_2$). По определению проекция перемещения $s_x$ будет равна:
$s_x = x_2 \space − \space x_1$.
Что изменилось? $x_1 > x_2$, поэтому рассчитывая проекцию перемещения, мы получим отрицательное число.
При каком условии проекция вектора на ось будет положительной, а при каком — отрицательной?
Если проекция вектора перемещения представляет собой отрицательное число, то тело движется в противоположную сторону от направления координатной оси.
При этом конечная координата тела будет определяться точно так же, как и в предыдущем случае:
$x_2 = x_1 \space + \space s_x$.
Вектор перемещения находится под углом к оси координат
Если вектор перемещения расположен под некоторым углом к оси OX, то нам потребуется вторая ось OY. Теперь мы должны определить две проекции вектора перемещения: $s_x$ и $s_y$ (рисунок 6).
Определяем эти проекции:
$s_x = x_2 \space − \space x_1$,
$s_y = y_2 \space − \space y_1$.
Обратите внимание, что эти проекции получаются меньше самого вектора перемещения, ведь они не совпадают с ним. Поэтому мы будем их использовать, чтобы найти модуль перемещения $|\vec s|$ по теореме Пифагора (рисунок 7):
$|\vec s| = \sqrt{{s_x}^2 \space + \space {s_y}^2}$.
В случае вектора, расположенного под углом к оси, действует правило, проиллюстрированное на рисунке 8.
Проекция вектора является положительной, если угол между вектором и осью острый, и отрицательной, если угол тупой.
А если вектор перпендикулярен оси? Тогда проекция этого вектора равна нулю (рисунок 9).
Пример решения задачи
Два катера идут по реке в противоположных направлениях и встречаются в $100 \space км$ к востоку от пристани П (рисунок 10). Продолжая движение, за некоторый промежуток времени $t$ первый катер переместился от места встречи на $60 \space км$ к востоку, а второй — на $50 \space км$ к западу. Определите координаты каждого катера относительно пристани и расстояние между катерами через промежуток времени $t$ после их встречи.
Для того, чтобы записать условия задачи и решить ее, нам нужно выбрать координатную ось и спроецировать на нее векторы перемещений двух катеров. Проведем координатную ось OX параллельно движению катеров. Точку O (начало координат: $x = 0$) совместим с пристанью П.
Теперь спроецируем векторы перемещений на ось OX. Мы получаем два отрезка: $s_{1x}$ и $s_{2x}$ (рисунок 11).
Далее мы смотрим, какой знак будут иметь эти проекции:
- вектор $\vec s_1$ сонаправлен оси OX, поэтому $s_{1x} > 0$;
- вектор $\vec s_2$ направлен противоположно оси OX, поэтому $s_{2x} < 0$.
Вот теперь мы можем записать условия задачи и перейти к ее решению.
Дано:
$x_0 = 100 \space км$
$s_{1x} = 60 \space км$
$s_{2x} = −50 \space км$
$x_1 — ?$
$x_2 — ?$
$l — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Из рисунка 11 видно, что мы можем определить конечные координаты катеров по формулам:
$x_1 = x_0 \space + \space s_{1x}$,
$x_2 = x_0 \space + \space s_{2x}$.
Рассчитаем эти координаты:
$x_1 = 100 \space км \space + \space 60 \space км = 160 \space км$,
$x_2 = 100 \space км \space − \space 50 \space км = 50 \space км$.
Расстояние между двумя катерами будет равно модулю разности их координат:
$l = |x_1 \space − \space x_2|$,
$l = |160 \space км \space − \space 50 \space км| = 110 \space км$.
Ответ: $x_1 = 160 \space км$, $x_2 = 50 \space км$, $l = 110 \space км$.
Упражнения
Упражнение №1
Мотоциклист, переехав через мост, движется по прямолинейному участку дороги. У светофора, находящегося на расстоянии $10 \space км$ от моста, мотоциклист встречает велосипедиста. За $0.1 \space ч$ с момента встречи мотоциклист перемещается на $6 \space км$, а велосипедист — на $2 \space км$ от светофора (при этом оба они продолжают двигаться прямолинейно в противоположных направлениях).
Определите координаты мотоциклиста и велосипедиста и расстояние между ними спустя $0.1 \space ч$ после их встречи.
Начертим ось OX, направив ее в сторону движения мотоциклиста и приняв за тело отсчета мост (рисунок 12). Обозначим на этой оси координату светофора ($x_с$), координаты велосипедиста ($x_в$) и мотоциклиста ($x_м$), которые они имели через $0.1 \space ч$ после встречи. Над осью обозначим векторы перемещений велосипедиста ($\vec s_в$) и мотоциклиста ($\vec s_м$), а на оси — проекции этих векторов ($s_{вx}$ и $s_{мx}$).
Дано:
$x_с = 10 \space км$
$x_{мx} = 6 \space км$
$x_{вx} = −2 \space км$
$x_м — ?$
$x_в — ?$
$l — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
Сначала вычислим конечную координату мотоциклиста:
$x_м = x_с \space + \space s_{мx}$,
$x_м = 10 \space км \space + \space 6 \space км = 16 \space км$.
Теперь рассчитаем конечную координату велосипедиста:
$x_в = x_с \space + \space s_{вx}$.
$x_в = 10 \space км \space − \space 2 \space км = 8 \space км$.
Расстояние между мотоциклистом и велосипедистом будет равно модулю разности их координат:
$l = |x_м \space − \space x_в$,
$l = |16 \space км \space − \space 8 \space км| = 8 \space км$.
Ответ: $x_м = 16 \space км$, $x_в = 8 \space км$, $l = 8 \space км$.
Упражнение №2
Мальчик держит в руках мяч на высоте $1 \space м$ от поверхности земли. Затем он подбрасывает мяч вертикально вверх. За некоторый промежуток времени $t$ мяч успевает подняться на $2.4 \space м$ от своего первоначального положения, достигнув при этом точки наибольшего подъема, и опуститься от этой точки на $1.25 \space м$ (рисунок 13).
Пользуясь этим рисунком, определите:
а) координату $x_0$ начального положения мяча;
б) проекцию $s_{tx}$ вектора перемещения $\vec s_t$, совершенного мячом за время $t$;
в) координату $x_t$, которую имел мяч через промежуток времени $t$ после броска.
Дано:
$x_0 = 1 \space м$
$s_{1x} = 2.4 \space м$
$s_{2x} = −1.25 \space м$
$x_0 — ?$
$s_{tx} — ?$
$x_t — ?$
Посмотреть решение и ответ
Скрыть
Решение:
На рисунке 13 мы видим, что начало оси OX совпадает с поверхностью земли. Также в условии задачи сказано, что мальчик держит мяч на высоте, равной $1 \space м$. Это и есть координата начального положения мяча: $x_0 = 1 \space м$.
Что такое вектор перемещения $s_t$? По определению это вектор, соединяющий начальное положение тела с его конечным положением в пространстве. Начальное положение мяча — это координата $x_0$, а конечное положение — координата $x_t$. При этом мяч сначала летел вверх (вектор перемещения $\vec s_1$) , а потом вниз (вектор перемещения $\vec s_2$). Если мы сложим эти векторы, то получим итоговый вектор перемещения $\vec s_t$, показанный на рисунке 13.
Далее мы используем формулу с рисунка, не забывая при этом о знаках векторов, чтобы рассчитать проекцию вектора перемещения $s_{tx}$:
$s_{tx} = s_{1x} \space + \space s_{2x}$,
$s_{tx} = 2.4 \space м \space − \space 1.25 \space м = 1.15 \space м$.
Теперь найдем координату мяча, в которой он оказался по прошествии времени $t$. Из рисунка 13 видно, что:
$x_t = x_0 \space + \space s_{tx}$,
$x_t = 1 \space м \space + 1.15 \space м = 2.15 \space м$.
Ответ: $x_0 = 1 \space м$, $s_{tx} = 1.15 \space м$, $x_t = 2.15 \space м$.
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти