Решение задач на плавление и отвердевание кристаллических тел

Решение:

Так как тело взято при его температуре плавления $t = 660 \degree C$, нужно рассчитать количество теплоты, необходимое для плавления кристаллического тела, по формуле:
$Q = \lambda m$,

$Q = \lambda = 8.9 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 10 \space кг = 8.9 \cdot 10^6 \space Дж = 8.9 \space МДж$.

Ответ: $Q = 8.9 \space МДж$.

Решение:

Сначала рассчитаем количество теплоты, необходимое для того, чтобы расплавить $2 \space кг$ чугуна:
$Q_1 = \lambda m$,
$Q_1 = 96 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг} \cdot 2 \space кг = 192 \cdot 10^3 \space Дж$.

Теперь рассчитаем количество теплоты, необходимое для нагревания на $1 \degree C$ чугуна той же массы:
$Q_2 = cm(t_2 — t_1) = cm \Delta t$,
$Q_2 = 540 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 2 \space кг \cdot 1 \degree C = 1080 \space Дж = 1.08 \cdot 10^3 \space Дж$.

Теперь мы можем сравнить эти энергии:
$\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{192 \cdot 10^3 \space Дж}{1.08 \cdot 10^3 \space Дж} \approx 178$.

Значит, количество теплоты, необходимое для плавления $2 \space кг$ чугуна, в 178 раз больше количества теплоты, необходимого для нагревания чугуна той же массы на $1 \degree C$.

Ответ: в 178 раз.

Решение:

1. Из графика видно, что тело нагревается до $80 \degree C$. С этой температуры последующий участок графика параллелен оси времени. При этом температура так и остается равной $80 \degree C$.
   Значит, на этом участке графика идет процесс плавления с температурой $80 \degree C$
   
2. Тело достигает температуры $60 \degree C$ в момент времени $T_1 = 2 \space мин$. Температуры плавления в $80 \degree C$ тело достигает в момент времени $T_2 = 6 \space мин$.
   Тогда нагревание длилось $T_2 — T_1 = 6 \space мин — 2 \space мин = 4 \space мин$
   
3. Вернемся к участку плавления (он параллелен оси времени). Плавление началось в момент времени $T_1 = 6 \space мин$, а закончилось в момент времени $T_2 = 8 \space мин$.
   Значит, плавление длилось $T_2 — T_1 = 8 \space мин — 6 \space мин = 2 \space мин$
   
4. После завершения процесса плавления вещество, из которого состояло тело, перешло в жидкое состояние. График снова пошел наверх — это означает, что жидкость нагревается. Самая верхняя точка графика соответствует наивысшей температуре жидкости $t \approx 87.5 \degree C$. 

Ответ: 1. $80 \degree C$,
2. $4 \space мин$,
3. $2 \space мин$,
4. $87.5 \degree C$.

Решение:

Известно, что кристаллизация (отвердевание) и плавление происходят при одинаковой температуре для одного и того же вещества. Если при плавлении требуется сообщить телу определенную энергию, то при кристаллизации она выделяется. 

Соответственно, для того, чтобы вычислить количество энергии, которое выделится при отвердевании тела, мы используем ту же формулу, что и для ситуаций с плавлением:
$Q = \lambda m$.

Выразим массу через объем и плотность и подставим ее в формулу:
$m = \rho V$,
$Q = \lambda \rho V$.

Выразим отсюда объем и рассчитаем его:
$V = \frac{Q}{\lambda \rho}$,
$V = \frac{240 \cdot 10^3 \space Дж}{1.99 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 1200 \frac{кг}{м^3}} \approx 0.1 \cdot 10^{-2} \space м^3 \approx 1 \cdot 10^{-3} \space м^3 \approx 1 \space л$. 

Ответ: $V \approx 1 \space л$.

Решение:

Количество теплоты, необходимое для плавления льда:
$Q = \lambda m$.

В задаче говорится, что «для плавления требуется количество теплоты». Это означает, что лед уже находится при температуре плавления, т. е. при $0 \degree C$. Значит, мы будем искать плотность того самого льда, для которого у нас есть все необходимые данные.

Выразим массу льда через плотность и объем и подставим в вышеприведенную формулу:
$m = \rho V$,
$Q = \lambda \rho V$.

Выразим отсюда плотность льда и рассчитаем ее:
$\rho = \frac{Q}{\lambda V}$,
$\rho = \frac{301.5 \cdot 10^3 \space Дж}{3.4 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 1 \cdot 10^{-3} \space м^3} \approx 887 \frac{кг}{м^3}$.

Ответ: $\rho \approx 887 \frac{кг}{м^3}$.

Решение:

1. Определим из графика температур плавления для обоих слитков. Обратите внимание, что участку плавления соответствует участок графика, параллельный оси времени. Так, для свинца (I) температура плавления равна $327 \degree C$, а для олова (II) — $232 \degree C$.
   Значит, температура плавления свинца выше, чем температура плавления олова
   
2. В условии задачи сказано, что количество теплоты, получаемое каждым телом в единицу времени, одинаково. Удельная теплоемкость же определяется количеством энергии, которую нужно сообщить телу, чтобы изменить его температуру на $1 \degree C$.
   Взгляните на участки графиков, когда тела нагреваются, например, до температуры $232 \degree C$. Отчетливо видно, что свинец (I) достигнет этой температуры быстрее.
   Это означает, что ему потребовалось меньше энергии, чтобы достигнуть этой температуры. Следовательно, и для изменения температуры на $1 \degree C$ ему требуется меньшее количество теплоты, чем олову (II). Значит, удельная теплоемкость свинца меньше, чем удельная теплоемкость олова
   
3. Удельная теплота плавления показывает, какое количество теплоты необходимо сообщить телу при температуре плавления, чтобы полностью перевести его из твердого в жидкое состояние.
   Значит, нам нужно обратиться к участкам графиков, на которых происходит плавление (они параллельны оси времени). Видно, что участок плавления олова (II) намного длиннее такого же участка для свинца (I).
   Так как тела имеют одинаковую массу и получают одинаковое количество теплоты в единицу времени, очевидно, что олову для перехода в жидкое состояние потребовалось больше энергии, чем свинцу.
   Это означает, что удельная теплота плавления олова больше удельной теплоты плавления свинца

Ответ:1. у свинца, 2. у олова, 3. у олова.

Решение:

Когда лед опустили в воду, между двумя этими телами начался теплообмен. Он будет продолжаться до тех пор, пока их температуры не станут равны друг другу. В этот момент между телами установится равновесие.

Вода будет охлаждаться и выделять некоторое количество теплоты, которое будет идти на плавление льда при $0 \degree C$. Так будет продолжаться до тех пор, пока температура воды не станет равной $\0 degree C$. Теплообмен завершится.

Далее, если воде не будет сообщаться никакой энергии, она начнет отвердевать. Избыточная энергия будет идти на поддержание температуры на одном уровне до окончания процесса кристаллизации.

Итак, давайте рассчитаем, какое количество энергии выделится при охлаждении воды с $t_1 = 40 \degree C$ до $0 \degree C$:
$Q_в = c_в m_в(t_2 — t_1)$,
$Q_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 5 \space кг \cdot (40 \degree C — 0 \degree C = 21 \cdot 10^3 \frac{Дж}{\degree C} \cdot 40 \degree C = 840 \cdot 10^3 \space Дж$.

А теперь рассчитаем количество теплоты, которое необходимо сообщить льду, чтобы он полностью расплавился:
$Q_л = \lambda_л m_л$,
$Q_л = 3.4 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 3 \space кг = 10.2 \cdot 10^5 \space Дж = 1020 \cdot 10^3 \space Дж$.

Получается, что $Q_в < Q_л$. Это означает, что лед не сможет полностью расплавиться.

Но какая-то его часть расплавится. Теперь нам нужно рассчитать, какая масса льда расплавится, если ей сообщить количество теплоты $Q_в$:
$Q = Q_в = \lambda_л m_{л1}$.

Выразим отсюда массу льда и рассчитаем ее:
$m_{л1} = \frac{Q_в}{\lambda_л}$,
$m_{л1} = \frac{840 \cdot 10^3 \space Дж}{3.4 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}} \approx 2.47 \space кг$. 

Ответ: $m_{л1} \approx 2.47 \space кг$. 

Решение:

Изначально медный калориметр и вода находились в равновесии и имели одинаковую температуру $16 \degree C$. Когда в воду опустили кусочек льда, между всеми этими телами начался теплообмен.

Калориметр и вода начали охлаждаться и выделять энергию. За счет этой энергии лед начал плавится. Когда лед полностью расплавился, теплообмен еще не закончился. Вода и калориметр продолжили охлаждаться до какой-то температуры, которой достиг бывший лед в виде жидкости. Температура выровнялась и стала равна $9 \degree C$.

Таким образом, медный калориметр и вода при охлаждении с $16 \degree C$ до $9 \degree С$ выделили такое количество теплоты, которого хватило на плавление льда и его нагревание от $0 \degree C$ до $9 \degree C$. Так как вода и калориметр выделяли энергию, разницу температур запишем наоборот $(t_в — t)$, чтобы компенсировать отрицательный знак количества теплоты.

Запишем это формулой:
$Q_м + Q_в = Q_{пл} + Q_л$,
$c_м m_м (t_в — t) + c_в m_в (t_в — t) = \lambda_л m_л + c_в m_л (t — t_л)$.

Обратите внимание, что $Q_л$ определяется через удельную теплоемкость воды, ведь лед к этому моменту находится в жидком состоянии.

Теперь постепенно выразим отсюда удельную теплоту плавления льда:
$\lambda_л m_л = c_м m_м (t_в — t) + c_в m_в (t_в — t) — c_в m_л (t — t_л)$,
$\lambda_л = \frac{c_м m_м (t_в — t) + c_в m_в (t_в — t) — c_в m_л (t — t_л)}{m_л}$, или
$ \lambda_л = \frac{Q_м + Q_в — Q_л} {m_л}$.

Сначала рассчитаем величины $Q_м$, $Q_в$ и $Q_л$ по отдельности, а затем подставим их значения в формулу для расчета удельной теплоты плавления льда.

Количество теплоты, которое выделит медный калориметр при охлаждении:
$Q_м = c_м m_м (t_в — t) = 400 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 0.2 \space кг \cdot (16 \degree C — 9 \degree C) = 80 \frac{Дж}{\degree C} \cdot 7 \degree = 560 \space Дж$.

Количество теплоты, которое выделит вода при охлаждении:
$Q_в = c_в m_в (t_в — t) = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 0.1 \space кг \cdot (16 \degree C — 9 \degree C) = 420 \frac{Дж}{\degree C} \cdot 7 \degree C = 2940 \space Дж$.

Количество теплоты, затраченное на нагревание воды (растаявшего льда):
$Q_л = c_в m_л (t — t_л) = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 0.0093 \space кг \cdot (9 \degree C — 0 \degree C) = 39.06 \frac{Дж}{\degree C} \cdot 9 \degree C = 351.54 \space Дж$.

Теперь можем рассчитать удельную теплоту плавления льда:
$\lambda_л = \frac{560 \space Дж + 2940 \space Дж — 351.54 \space Дж} {0.0093 \space кг} = \frac{3148.46 \space Дж}{0.0093 \space кг} \approx 338 \space 544 \frac{Дж}{кг} \approx 3.4 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$.

Так мы рассчитали удельную теплоту плавления льда. Она оказалась равна табличному значению, значит, расчеты выполнены верно.

Ответ: $\lambda_л \approx 3.4 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$.

Решение:

Для того,чтобы расплавить чугун, сначала его нужно нагреть до температуры плавления, а потом уже сообщить какое-то количество теплоты, необходимое для его плавления:
$Q_ч = Q_1 + Q_2 = c_ч m_ч (t_2 — t_1) + \lambda_ч m_ч$.

Рассчитаем это количество теплоты:
$Q_ч = 540 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 100 \cdot 10^3 \space кг \cdot (1200 \degree C — 20 \degree C) + 0.96 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 100 \cdot 10^3 \space кг = 637.2 \cdot 10^8 \space Дж + 96 \cdot 10^8 \space Дж = 733.2 \cdot 10^8 \space Дж$.

Запишем формулу для КПД:
$\eta = \frac{A_п}{A_з} = \frac{Q_ч}{Q_у}$,
где $Q_ч$ — это количество теплоты, необходимое для того, чтобы нагреть и расплавить чугун, а $Q_у$ — количество теплоты, которое выделится при сгорании каменного угля.

Выразим отсюда $Q_у$:
$Q_у = \frac{Q_ч}{\eta}$.

С другой стороны, у нас есть формула для расчета количества теплоты, которое выделится при сгорании топлива:
$Q_у = q_у m_у$.

Выразим отсюда массу каменного угля и подставим найденные выражения для количества теплоты через формулу для КПД:
$m_у = \frac{Q_у}{q_у} = \frac{\frac{Q_ч}{\eta}}{q_у} = \frac{Q_ч}{\eta \cdot q_у}$.

Рассчитаем эту массу:
$m_у = \frac{733.2 \cdot 10^8 \space Дж}{0.4 \cdot 2.7 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}} = 6789 \space кг \approx 6.8 \space т$.

Ответ: $m_у \approx 6.8 \space т$.

Решение:

Количество теплоты (энергия) является эквивалентом работы. Работа же по определению:
$A = Fs$.

Вода падает вниз под действием силы тяжести. Значит, сила тяжести = это та сила, которая совершает работу по перемещению воды на некоторое расстояние. Расстояние $s$ в нашем случае — это высота водопада $h$.

Тогда мы можем записать:
$Q = A = F_{тяж}h = mgh$.

По этой формуле мы рассчитаем энергию, которую можно получить в одну секунду. Чтобы узнать энергию за час, добавим множитель времени 3600:
$Q = mgh \cdot 3600$.

Масса воды нам неизвестна. Выразим ее через объем и плотность и подставим в нашу формулу:
$m = \rho V$,
$Q = \rho Vgh \cdot 3600$.

Рассчитаем эту энергию:
$Q = 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 3.5 \space м^3 \cdot 9.8 \frac{Н}{кг} \cdot 32 \space м \cdot 3600 \approx 3.95 \cdot 10^9 \space Дж \approx 3.95 \space ГДж$.

Теперь рассчитаем, какая масса каменного угля при сжигании дает столько же энергии:
$Q = qm$,
$m = \frac{Q}{q}$,
$m = \frac{3.95 \cdot 10^9 \space Дж}{2.7 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}} \approx 146 \space кг$.

Ответ: $Q \approx 3.95 \space ГДж$, $m \approx 146 \space кг$.