Расчет массы и объема тела по его плотности
На прошлом уроке мы познакомились с определением плотности тела, узнали формулу, по которой можно ее рассчитать: $\rho = \frac{m}{V}$.
Сейчас нам предстоит взглянуть на эту формулу с других сторон. Мы научимся находить объем и массу по известной плотности материала тела, решать задачи, используя полученные знания.
Расчет массы тела по его плотности
Знание плотности веществ очень важно для многих практических целей. Для инженеров и строителей, например, знание плотности имеет колоссальное значение — так они могут рассчитать массу будущего механизма или строения.
Как вычисляется масса тела по его плотности и объему?
Плотность определяется по формуле $\rho = \frac{m}{V}$. Выразим отсюда массу:
$m = \rho V$.
Чтобы рассчитать массу тела, если известны его объем и плотность, нужно плотность умножить на объем.
Задача на расчет массы
Рассмотрим пример задачи на расчет массы.
Рассчитайте массу детали, изготовленной из латуни, объемом $0.15 \space м^3$.
Из таблицы 1 предыдущего урока берем значение плотности латуни. Она равна $8500 \frac{кг}{м^3}$.
Дано:
$\rho = 8500 \frac{кг}{м^3}$
$V = 0.15 \space м^3$
$m -?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
$m = \rho \cdot V$,
$m = 8500 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.15 \space м^3 = 1275 \space кг \approx 1.3 \space т$.
Ответ: $m = 1275 \space кг \approx 1.3 \space т$.
Расчет объема тела по его плотности
По какой формуле можно определить объем тела?
Подобным образом выразим из формулы плотности объем:
$V = \frac{m}{\rho}$.
Чтобы рассчитать объем тела, если известны его масса и плотность, нужно массу разделить на плотность.
Данной формулой для определения объема часто пользуются в тех случаях, когда тела имеют сложную неправильную форму.
Задача на расчет объема
Рассмотрим пример задачи на расчет объема.
Молоко в бутылке имеет массу $1.03 \space кг$. Рассчитайте объем бутылки.
В таблице 2 прошлого параграфа находим молоко: его плотность равна $1030 \frac{кг}{м^3}$.
Дано:
$\rho = 1030 \frac{кг}{м^3}$
$m = 1.03 \space кг$
$V -?$
Решение:
$V = \frac{m}{\rho}$,
$V = \frac{1.03 \space кг}{1030 \frac{кг}{м^3}} = 0.001 \space м^3 = 1 \space л$.
Ответ: $V = 1 \space л$.
Дополнительные задачи
Задача №1
На рисунке 1 изображен кусок хозяйственного мыла в упаковке. По данным производителя размеры размеры его полиэтиленовой упаковки составляют 6 см x 9 см x 5,5 см.
Масса одного куска 200 г. Масса брутто (масса товара вместе с упаковкой) указан 211 г. Найдите объем куска мыла без упаковки. Выразите ответ в СИ.
Обозначим стороны упаковки как $a, b \space и \space с$, массу куска была $m_м$, массу куска мыла в упаковке — $m$, а общую массу мыла в упаковке — $m_{уп}$.
Объем куска мыла будем обозначать как $V_м$, а вместе с упаковкой — $V$.
Дано:
$a = 6 \space см$
$b = 9 \space см$
$c = 5.5 \space см$
$m_м = 200 \space г$
$m = 211 \space г$
$V_м -?$
Показать решение и ответ
Срыть
Решение:
Найдем массу упаковки:
$m_{уп} = m — m_м$,
$m_{уп} = 211 \space г — 200 \space г = 11 \space г$.
Общий объем упаковки и мыла:
$V = a \cdot b \cdot c$,
$V = 6 \space см \cdot 9 \space см \cdot 5.5 \space см = 297 \space см^3$.
Указано, что упаковка изготовлена из полиэтилена (из таблицы 1 предыдущего параграфа его плотность $\rho_п$ равна $0.92 \frac{г}{см^3}$).
Найдем объем упаковки $V_{уп}$:
$V_{уп} = \frac{m_{уп}}{\rho_{уп}}$,
$V_{уп} = \frac{11 \space г}{0.92 \frac{г}{см^3}} \approx 12 \space см^3$.
Общий объем куска мыла в упаковке складывается из объема самого куска и объема упаковки. Так мы можем найти объем куска мыла:
$V_м = V — V_{уп}$,
$V_м = 297 \space см^3 — 12 \space см^3 = 285 \space см^3$.
Выразим в СИ:
$285 \space см^3 = 285 \cdot 1 \space см \cdot 1 \space см \cdot 1 \space см = 285 \cdot 0.01 \space м \cdot 0.01 \space м \cdot 0.01 \space м = 285 \cdot 0.000001 \space м^3 = 0.000285 \space м^3$.
Ответ: $V_м = 0.000285 \space м^3$
Задача №2
Масса чугунного шара составляет 800 г. Его объем — $125 \space см^3$. Будет ли этот шар сплошным (отлитым полностью из одного материала) или полым (иметь пространство внутри, заполненное, например, воздухом)?
Показать решение
Скрыть
Проверить это достаточно просто: рассчитаем плотность этого шара:
$\rho = \frac{m}{V}$,
$\rho = \frac{800 г}{125 \space см^3} = 6.4 \frac{г}{см^3}$.
Сравним полученное значение с табличной плотностью чугуна:
$\rho = 7 \frac{г}{см^3}$
Сколько бы тогда весил сплошной шар?
$m = \rho V$,
$m = 7 \frac{г}{см^3} \cdot 125 \space см^3 = 875 \space г$.
Разница между массами реального и предполагаемого сплошного шара составляет 75 г.
Следовательно, реальный шар имеет внутри какую-то полость, он не полностью выполнен из чугуна.
Задача №3
В грузовой автомобиль загрузили 48 сосновых бревен. Объем каждого соснового бревна составляет $20 \space дм^3$. На сколько увеличилась масса автомобиля после загрузки?
Из таблицы 1 предыдущего параграфа возьмем плотность сухой сосны ($400 \frac{кг}{м^3}$). Переведем $20 \space дм^3$ в $м^3$:
$20 \space дм^3 = 20 \cdot 0.1 \space м \cdot 0.1 \space м \cdot 0.1 \space м = 20 \cdot 0.001 \space м^3 = 0.02 \space м^3$.
Количество брусков — $n$.
Дано:
$V = 20 \space дм^3$
$\rho = 400 \frac{кг}{м^3}$
$n = 48$
СИ:
$V = 0.02 \space м^3$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Рассчитаем массу одного соснового бревна:
$m = \rho \cdot V$,
$m = 400 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.02 \space м^3 = 8 \space кг$.
Масса всех сосновых бревен (M) будет равна:
$M = n \cdot m$,
$M = 48 \cdot 8 \space кг = 384 \space кг$
Ответ: масса автомобиля после загрузки увеличится на 384 кг.
Упражнения
Упражнение №1
Какова масса $0.5 \space л$ спирта, молока, ртути?
Дано:
$V = 0.5 \space л$
$\rho_1 = 800 \frac{кг}{м^3}$
$\rho_2 = 1030 \frac{кг}{м^3}$
$\rho_3 = 13600 \frac{кг}{м^3}$
СИ:
$V = 5 \cdot 10^{-4} \space м^3$
$m_1 — ?$
$m_2 — ?$
$m_3 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Зная объем и плотность тела, мы может рассчитать его массу по формуле: $m = \rho V$.
Рассчитаем массу спирта:
$m_1 = \rho_1 V$,
$m_1 = 800 \frac{кг}{м^3} \cdot 5 \cdot 10^{-4} \space м^3 = 0.4 \space кг$.
Рассчитаем массу молока:
$m_2 = \rho_2 V$,
$m_2 = 1030 \frac{кг}{м^3} \cdot 5 \cdot 10^{-4} \space м^3 = 0.515 \space кг$.
Рассчитаем массу ртути:
$m_3 = \rho_3 V$,
$m_3 = 13600 \frac{кг}{м^3} \cdot 5 \cdot 10^{-4} \space м^3 = 6.8 \space кг$.
Ответ: $m_1 = 0.4 \space кг$, $m_2 = 0.515 \space кг$, $m_3 = 6.8 \space кг$.
Упражнение №2
Определите объем льдинки, масса которой $108 \space г$.
Дано:
$m = 108 \space г$
$\rho = 900 \frac{кг}{м^3}$
СИ:
$m = 0.108 \space кг$
$V — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Зная массу и плотность льда, рассчитаем его объем:
$V = \frac{m}{\rho}$,
$V = \frac{0.108 \space кг}{900 \frac{кг}{м^3}} = 0.00012 \space м^3 = 120 \space см^3$.
Ответ: $V = 120 \space см^3$.
Упражнение №3
Сколько килограммов керосина входит в пятилитровую бутыль?
Дано:
$V = 5 \space л$
$\rho = 800 \frac{кг}{м^3}$
СИ:
$V = 5 \cdot 10^{-3} \space м^3$
$m — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Зная плотность и объем, найдем массу керосина:
$m = \rho V$,
$m = 800 \frac{кг}{м^3} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \space м^3 = 4 \space кг$.
Ответ: $m = 4 \space кг$.
Упражнение №4
Грузоподъемность лифта составляет $3 \space т$. Сколько листов железа можно погрузить в лифт, если длина каждого листа равна $3 \space м$, ширина — $60 \space см$ и толщина — $4 \space мм$?
Дано:
$M = 3 \space т$
$a = 60 \space см$
$b = 4 \space мм$
$c = 3 \space м$
$\rho = 7800 \frac{кг}{м^3}$
СИ:
$M = 3000 \space кг$
$a = 0.6 \space м$
$b = 0.004 \space м$
$n — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Сначала рассчитаем массу одного железного листа. Для этого нам нужно знать его объем (плотность мы взяли из таблицы). Объем мы может вычислить, перемножив друг на друга ширину, высоту и длину: $V = a \cdot b \cdot c$.
Масса железного листа:
$m = \rho V = \rho \cdot a \cdot b \cdot c$,
$m = 7800 \frac{кг}{м^3} \cdot 0.6 \space м \cdot 0.004 \space м \cdot 3 \space м = 56.16 \space кг$.
Теперь разделим грузоподъемность лифта на массу одного лифта. Полученное целое число и будет ответом на вопрос задачи:
$n = \frac{M}{m}$,
$n = \frac{3000 \space кг}{56.16 \space кг} \approx 53$.
Ответ: $n = 53$.
Упражнение №5
Кружка доверху наполнена молоком. Определите объем кружки, если масса молока в кружке $515 \space г$, плотность молока найдите в таблице.
Дано:
$m = 515 \space г$
$\rho = 1030 \frac{кг}{м^3}$
СИ:
$m = 0.515 \space кг$
$V — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Зная массу и плотность молока, найдем объем, который оно занимает в кружке:
$V = \frac{m}{\rho}$,
$V = \frac{0.515 \space кг}{1030 \frac{кг}{м^3}} = 0.0005 \space м^3 = 0.5 \space л$.
Ответ: $V = 0.5 \space л$.
Задание
Возьмите баночку из-под меда. Рассмотрите внимательно этикетку. Найдите на ней, какова масса меда и объем баночки. Затем рассчитайте плотность меда. Полученный результат проверьте по таблице.
Дано:
$m = 800 \space г$
$V = 500 \space мл$
СИ:
$m = 0.8 \space кг$
$V = 0.0005 \space м^3$
$\rho — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Рассчитаем плотность меда:
$\rho = \frac{m}{V}$,
$rho = \frac{0.8 \space кг}{0.0005 \space м^3} = 1600 \frac{кг}{м^3}$.
По таблице плотность меда составляет $1350 \frac{кг}{м^3}$. Существует множество различных сортов меда, плотность которых отличается друг от друга. Наше значение плотности не сильно отличается от табличного, поэтому можно сказать, что результат получен правильный.
Ответ: $\rho = 1600 \frac{кг}{м^3}$.
5
5
1
5
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Урок супер!