3. Стереометрия: все задания
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна $46.$ Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Заметим, что у отсеченной треугольной призмы все боковые стороны в два раза меньше соответствующих боковых сторон исходной призмы, значит, площадь всей боковой поверхности будет в два раза меньше:$$S = 46:2 = 23$$
20
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна $10.$ Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Заметим, что у отсеченной треугольной призмы все боковые стороны в два раза меньше соответствующих боковых сторон исходной призмы, значит, площадь всей боковой поверхности будет в два раза меньше:$$S = 10:2 = 5$$
20
Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна $12.$ Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.
Заметим, что у отсеченной треугольной призмы все боковые стороны в два раза меньше соответствующих боковых сторон исходной призмы, значит, площадь всей боковой поверхности будет в два раза меньше:$$S = 12:2 = 6$$
20
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два с половиной раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Объем цилиндра находится по формуле: $$V = \pi r^2 \cdot h$$
Изменим высоту и радиус согласно условию задачи: $$V = \pi \cdot (2.5r)^2 \cdot \frac{h}{2} = \pi \cdot 6.25r^2 \cdot \frac{h}{2}$$ $$V = 3.125\cdot \pi r^2 h$$
20
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Объем цилиндра находится по формуле: $$V = \pi r^2 \cdot h$$
Изменим высоту и радиус согласно условию задачи: $$V = \pi \cdot (2r)^2 \cdot \frac{h}{2} = \pi \cdot 4r^2 \cdot \frac{h}{2}$$ $$V = 2 \cdot \pi r^2 h$$
20
Одна цилиндрическая кружка втрое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Объем цилиндра находится по формуле: $$V = \pi r^2 \cdot h$$
Изменим высоту и радиус согласно условию задачи: $$V = \pi \cdot (3r)^2 \cdot \frac{h}{2} = \pi \cdot 9r^2 \cdot \frac{h}{2}$$ $$V = 4.5\cdot \pi r^2 h$$
20
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $4\sqrt{2}.$ Найдите образующую конуса.
Образующую конуса можно найти по формуле: $$l = \sqrt{r^2+h^2}$$ Так как конус вписан в сферу, радиус его основания и высота равны радиусу сферы: $$l = \sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2r^2}$$
$$l = \sqrt{2\cdot (4\sqrt{2})^2}=8$$
20
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $10\sqrt{2}.$ Найдите образующую конуса.
Образующую конуса можно найти по формуле: $$l = \sqrt{r^2+h^2}$$ Так как конус вписан в сферу, радиус его основания и высота равны радиусу сферы: $$l = \sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2r^2}$$
$$l = \sqrt{2\cdot (10\sqrt{2})^2}=20$$
20
Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Радиус сферы равен $81\sqrt{2}.$ Найдите образующую конуса.
Образующую конуса можно найти по формуле: $$l = \sqrt{r^2+h^2}$$ Так как конус вписан в сферу, радиус его основания и высота равны радиусу сферы: $$l = \sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2r^2}$$
$$l = \sqrt{2\cdot (81\sqrt{2})^2}=162$$
20
Куб описан около сферы радиуса $2.$ Найдите объём куба.
Так как куб описан около сферы, длина его стороны совпадает с диаметром сферы:$$D = 2r = 2 \cdot 2 = 4$$
Объем куба можно вычислить по формуле: $$V = a^3 = 4^3 = 64$$
20
Куб описан около сферы радиуса $3.$ Найдите объём куба.
Так как куб описан около сферы, длина его стороны совпадает с диаметром сферы:$$D = 2r = 2 \cdot 3 = 6$$
Объем куба можно вычислить по формуле: $$V = a^3 = 6^3 = 216$$
20
Куб описан около сферы радиуса $1.$ Найдите объём куба.
Так как куб описан около сферы, длина его стороны совпадает с диаметром сферы:$$D = 2r = 2 \cdot 1 = 2$$
Объем куба можно вычислить по формуле: $$V = a^3 = 2^3 = 8$$
20
Площадь поверхности шара равна $36.$ Найдите площадь большого круга шара.
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: $$S = 4 \pi r^2$$ Площадь круга можно вычислить по формуле: $$S = \pi r^2$$
Из вышеуказанных формул видно, что площади различаются в $4$ раза: $$36:4 = 9$$
20
Площадь поверхности шара равна $16.$ Найдите площадь большого круга шара.
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: $$S = 4 \pi r^2$$ Площадь круга можно вычислить по формуле: $$S = \pi r^2$$
Из вышеуказанных формул видно, что площади различаются в $4$ раза: $$16:4 = 4$$
20
Площадь поверхности шара равна $40.$ Найдите площадь большого круга шара.
Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: $$S = 4 \pi r^2$$ Площадь круга можно вычислить по формуле: $$S = \pi r^2$$
Из вышеуказанных формул видно, что площади различаются в $4$ раза: $$40:4 = 10$$
20
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, A_1, B_1, C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB=10,$ $AD=3,$ $AA_1=9.$
Заметим, что многогранник $A BCA_1 B_1C_1$ занимает ровно половину объема исходного параллелепипеда. Найдем объем данного параллелепипеда и разделим на два.
$$V_{пар-да} = abc = 10 \cdot 3 \cdot 9 = 270$$ $$V_{A BCA_1 B_1C_1} = 270:2 = 135$$
20
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, A_1, B_1, C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB=7,$ $AD=6,$ $AA_1=10.$
Заметим, что многогранник $A BCA_1 B_1C_1$ занимает ровно половину объема исходного параллелепипеда. Найдем объем данного параллелепипеда и разделим на два.
$$V_{пар-да} = abc = 7 \cdot 6 \cdot 10 = 420$$ $$V_{A BCA_1 B_1C_1} = 420:2 = 210$$
20
Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A, B, C, A_1, B_1, C_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1,$ у которого $AB=7,$ $AD=2,$ $AA_1=6.$
Заметим, что многогранник $A BCA_1 B_1C_1$ занимает ровно половину объема исходного параллелепипеда. Найдем объем данного параллелепипеда и разделим на два.
$$V_{пар-да} = abc = 7 \cdot 2 \cdot 6 = 84$$ $$V_{A BCA_1 B_1C_1} = 84:2 = 42$$
20
В цилиндрический сосуд налили $ 2\space600\space см^3$ воды. Уровень жидкости оказался равным $10\spaceсм.$ В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на $2\space см.$ Найдите объём детали. Ответ дайте в $см^3.$
В $10\space см$ сосуда умещается $ 2\space600\space см^3$ воды, значит, в $1 \space см$ умещается:$$2\space600:10=260$$
Погружение детали подняло уровень жидкости на $2 \spaceсм$: $$260 \cdot 2 = 520$$
20
В цилиндрический сосуд налили $ 1\space500\space см^3$ воды. Уровень жидкости оказался равным $15\spaceсм.$ В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на $3\space см.$ Найдите объём детали. Ответ дайте в $см^3.$
В $15\space см$ сосуда умещается $ 1\space500\space см^3$ воды, значит, в $1 \space см$ умещается:$$1\space500:15=100$$
Погружение детали подняло уровень жидкости на $3 \spaceсм$: $$100 \cdot 3 = 300$$
20