3. Стереометрия: Цилиндр
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два с половиной раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Объем цилиндра находится по формуле: $$V = \pi r^2 \cdot h$$
Изменим высоту и радиус согласно условию задачи: $$V = \pi \cdot (2.5r)^2 \cdot \frac{h}{2} = \pi \cdot 6.25r^2 \cdot \frac{h}{2}$$ $$V = 3.125\cdot \pi r^2 h$$
20
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Объем цилиндра находится по формуле: $$V = \pi r^2 \cdot h$$
Изменим высоту и радиус согласно условию задачи: $$V = \pi \cdot (2r)^2 \cdot \frac{h}{2} = \pi \cdot 4r^2 \cdot \frac{h}{2}$$ $$V = 2 \cdot \pi r^2 h$$
20
Одна цилиндрическая кружка втрое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.
Объем цилиндра находится по формуле: $$V = \pi r^2 \cdot h$$
Изменим высоту и радиус согласно условию задачи: $$V = \pi \cdot (3r)^2 \cdot \frac{h}{2} = \pi \cdot 9r^2 \cdot \frac{h}{2}$$ $$V = 4.5\cdot \pi r^2 h$$
20
В цилиндрический сосуд налили $ 2\space600\space см^3$ воды. Уровень жидкости оказался равным $10\spaceсм.$ В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на $2\space см.$ Найдите объём детали. Ответ дайте в $см^3.$
В $10\space см$ сосуда умещается $ 2\space600\space см^3$ воды, значит, в $1 \space см$ умещается:$$2\space600:10=260$$
Погружение детали подняло уровень жидкости на $2 \spaceсм$: $$260 \cdot 2 = 520$$
20
В цилиндрический сосуд налили $ 1\space500\space см^3$ воды. Уровень жидкости оказался равным $15\spaceсм.$ В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на $3\space см.$ Найдите объём детали. Ответ дайте в $см^3.$
В $15\space см$ сосуда умещается $ 1\space500\space см^3$ воды, значит, в $1 \space см$ умещается:$$1\space500:15=100$$
Погружение детали подняло уровень жидкости на $3 \spaceсм$: $$100 \cdot 3 = 300$$
20
В цилиндрический сосуд налили $ 180\space см^3$ воды. Уровень жидкости оказался равным $9\spaceсм.$ В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на $4\space см.$ Найдите объём детали. Ответ дайте в $см^3.$
В $9\space см$ сосуда умещается $180\space см^3$ воды, значит, в $1 \space см$ умещается:$$180:9=20$$
Погружение детали подняло уровень жидкости на $4 \spaceсм$: $$20 \cdot 4 = 80$$
20
Шар, объём которого равен $46,$ вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.
Так как шар вписан в цилиндр, радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а диаметр шара равен высоте цилиндра. Объем шара вычисляется по формуле:$$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3$$ Объем цилиндра вычисляется по формуле:$$V_{цилиндра} = \pi r^2 \cdot h$$ Но так как высота цилиндра является диаметром шара, можно записать: $$V_{цилиндра} = \pi r^2 \cdot 2r=2 \pi r^3$$
Таким образом, объемы фигур различаются в $\frac{2}{3}$ раза: $$46:\frac{2}{3} = 69$$
20
Шар, объём которого равен $8,$ вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.
Так как шар вписан в цилиндр, радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а диаметр шара равен высоте цилиндра. Объем шара вычисляется по формуле:$$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3$$ Объем цилиндра вычисляется по формуле:$$V_{цилиндра} = \pi r^2 \cdot h$$ Но так как высота цилиндра является диаметром шара, можно записать: $$V_{цилиндра} = \pi r^2 \cdot 2r=2 \pi r^3$$
Таким образом, объемы фигур различаются в $\frac{2}{3}$ раза: $$8:\frac{2}{3} = 12$$
20
Шар, объём которого равен $10,$ вписан в цилиндр. Найдите объём цилиндра.
Так как шар вписан в цилиндр, радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а диаметр шара равен высоте цилиндра. Объем шара вычисляется по формуле:$$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3$$ Объем цилиндра вычисляется по формуле:$$V_{цилиндра} = \pi r^2 \cdot h$$ Но так как высота цилиндра является диаметром шара, можно записать: $$V_{цилиндра} = \pi r^2 \cdot 2r=2 \pi r^3$$
Таким образом, объемы фигур различаются в $\frac{2}{3}$ раза: $$10:\frac{2}{3} = 15$$
20
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $7$ и $5.$ Боковые рёбра призмы равны $\frac{8}{\pi}$. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
Так как в основании призмы прямоугольный треугольник вписан в окружность, его гипотенуза будет являться диаметром данной окружности:$$D=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{7^2+5^2}=\sqrt{74}$$ Радиус равен половине диаметра:$$R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{74}}{2}$$
Объем цилиндра равен произведению основания на высоту, которая совпадает с высотой призмы:$$V=S_{осн} \cdot h$$ $$V=\pi R^2 \cdot h$$ $$V = \pi \cdot \Big({ \frac{\sqrt{74}}{2}}\Big)^2 \cdot \frac{8}{\pi}=148$$
20
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $1$ и $5.$ Боковые рёбра призмы равны $\frac{4}{\pi}$. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
Так как в основании призмы прямоугольный треугольник вписан в окружность, его гипотенуза будет являться диаметром данной окружности:$$D=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{1^2+5^2}=\sqrt{26}$$ Радиус равен половине диаметра:$$R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{26}}{2}$$
Объем цилиндра равен произведению основания на высоту, которая совпадает с высотой призмы:$$V=S_{осн} \cdot h$$ $$V=\pi R^2 \cdot h$$ $$V = \pi \cdot \Big({ \frac{\sqrt{26}}{2}}\Big)^2 \cdot \frac{4}{\pi}=26$$
20
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами $8$ и $1.$ Боковые рёбра призмы равны $\frac{4}{\pi}$. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.
Так как в основании призмы прямоугольный треугольник вписан в окружность, его гипотенуза будет являться диаметром данной окружности:$$D=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{65}$$ Радиус равен половине диаметра:$$R = \frac{D}{2} = \frac{\sqrt{65}}{2}$$
Объем цилиндра равен произведению основания на высоту, которая совпадает с высотой призмы:$$V=S_{осн} \cdot h$$ $$V=\pi R^2 \cdot h$$ $$V = \pi \cdot \Big({ \frac{\sqrt{65}}{2}}\Big)^2 \cdot \frac{4}{\pi}=65$$
20
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $18\spaceсм.$ На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в $3$ раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах
Площадь дна второго сосуда будет в $3^2$ раза больше, так как площадь круга зависит от квадрата радиуса:$$S=\pi r^2$$
Значит, высота уровня жидкости будет в $9$ раз меньше:$$18:9=2$$
20
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $8\spaceсм.$ На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в $2$ раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.
Площадь дна второго сосуда будет в $2^2$ раза больше, так как площадь круга зависит от квадрата радиуса:$$S=\pi r^2$$
Значит, высота уровня жидкости будет в $4$ раз меньше:$$8:4=2$$
20
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $336\spaceсм.$ На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в $4$ раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.
Площадь дна второго сосуда будет в $4^2$ раза больше, так как площадь круга зависит от квадрата радиуса:$$S=\pi r^2$$
Значит, высота уровня жидкости будет в $16$ раз меньше:$$336:16=21$$
20