12. Наибольшее и наименьшее значение функций: исследование иррациональных функций

Представим произведение $x\sqrt{x}$ в виде степени: $x^{\frac{3}{2}}.$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x}-3=0$$ $$\sqrt{x}=2$$ $$x=4$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(4;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;4).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x\sqrt{x}-3x+1.$

Представим произведение $x\sqrt{x}$ в виде степени: $x^{\frac{3}{2}}.$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-30$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x}-30=0$$ $$\sqrt{x}=20$$ $$x=400$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(400;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;400).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=400$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x\sqrt{x}-30x+31.$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-12\sin{x}+6\sqrt{3}$$ Найдем нули функции на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$: $$-12\sin{x}+6\sqrt{3}=0$$ $$\sin{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ На отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ корнем уравнения является $x=\frac{\pi}{3}.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}],$ $f'(x)>0$ на промежутке $[0;\frac{\pi}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=\frac{\pi}{3}$ — это точка максимума функции.

Найдем значение функции $y=12 \cos{x}+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3} \pi+6$ в данной точке: $$y=12 \cos{\frac{\pi}{3}}+6\sqrt{3}\cdot \frac{\pi}{3}-2\sqrt{3} \pi+6=12$$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-16\sin{x}+8\sqrt{3}$$ Найдем нули функции на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$: $$-16\sin{x}+8\sqrt{3}=0$$ $$\sin{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ На отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ корнем уравнения является $x=\frac{\pi}{3}.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}],$ $f'(x)>0$ на промежутке $[0;\frac{\pi}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=\frac{\pi}{3}$ — это точка максимума функции.

Найдем значение функции $y=16 \cos{x}+8\sqrt{3}x-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4$ в данной точке: $$y=16 \cos{\frac{\pi}{3}}+8\sqrt{3}\cdot \frac{\pi}{3}-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4= 12$$