ЕГЭ
Назад
Библиотека флеш-карточек Создать флеш-карточки
Библиотека тестов Создать тест
Математика Английский язык Тренажёры для мозга ЕГЭ Русский язык Чтение Биология Всеобщая история Окружающий мир
Классы
Темы
Математика Алгебра Геометрия ОГЭ Физика География Химия Биология Всеобщая история История России Обществознание Русский язык Литература ЕГЭ Английский язык
Подобрать занятие
Классы
Темы

12. Наибольшее и наименьшее значение функций: Исследование иррациональных функций

1. Задание #167423
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x}-3x+1.$

Представим произведение $x\sqrt{x}$ в виде степени: $x^{\frac{3}{2}}.$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-3$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x}-3=0$$ $$\sqrt{x}=2$$ $$x=4$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(4;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;4).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=4$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x\sqrt{x}-3x+1.$

Показать ответ
2. Задание #167426
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x}-30x+31.$

Представим произведение $x\sqrt{x}$ в виде степени: $x^{\frac{3}{2}}.$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-30$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x}-30=0$$ $$\sqrt{x}=20$$ $$x=400$$

Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(400;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;400).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=400$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x\sqrt{x}-30x+31.$

Показать ответ
3. Задание #167427
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наибольшее значение функции $$y=12 \cos{x}+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3} \pi+6$$ на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-12\sin{x}+6\sqrt{3}$$ Найдем нули функции на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$: $$-12\sin{x}+6\sqrt{3}=0$$ $$\sin{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ На отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ корнем уравнения является $x=\frac{\pi}{3}.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}],$ $f'(x)>0$ на промежутке $[0;\frac{\pi}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=\frac{\pi}{3}$ — это точка максимума функции.

Найдем значение функции $y=12 \cos{x}+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3} \pi+6$ в данной точке: $$y=12 \cos{\frac{\pi}{3}}+6\sqrt{3}\cdot \frac{\pi}{3}-2\sqrt{3} \pi+6=12$$

Показать ответ
4. Задание #167428
Задание было решено верно
Задание было решено неверно

Найдите наибольшее значение функции $$y=16 \cos{x}+8\sqrt{3}x-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4$$ на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}].$

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-16\sin{x}+8\sqrt{3}$$ Найдем нули функции на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$: $$-16\sin{x}+8\sqrt{3}=0$$ $$\sin{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ На отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ корнем уравнения является $x=\frac{\pi}{3}.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}],$ $f'(x)>0$ на промежутке $[0;\frac{\pi}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=\frac{\pi}{3}$ — это точка максимума функции.

Найдем значение функции $y=16 \cos{x}+8\sqrt{3}x-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4$ в данной точке: $$y=16 \cos{\frac{\pi}{3}}+8\sqrt{3}\cdot \frac{\pi}{3}-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4= 12$$

Показать ответ
Получить ещё подсказку

Трудности? Воспользуйтесь подсказкой

Верно! Посмотрите пошаговое решение