12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167427

Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-12\sin{x}+6\sqrt{3}$$ Найдем нули функции на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$: $$-12\sin{x}+6\sqrt{3}=0$$ $$\sin{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ На отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ корнем уравнения является $x=\frac{\pi}{3}.$

С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}],$ $f'(x)>0$ на промежутке $[0;\frac{\pi}{3}).$

На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=\frac{\pi}{3}$ — это точка максимума функции.

Найдем значение функции $y=12 \cos{x}+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3} \pi+6$ в данной точке: $$y=12 \cos{\frac{\pi}{3}}+6\sqrt{3}\cdot \frac{\pi}{3}-2\sqrt{3} \pi+6=12$$