12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167426
Найдите точку минимума функции $y=x\sqrt{x}-30x+31.$
Представим произведение $x\sqrt{x}$ в виде степени: $x^{\frac{3}{2}}.$ Найдем производную данной функции: $$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-30$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x}-30=0$$ $$\sqrt{x}=20$$ $$x=400$$
Функция и ее производная определены на интервале $[0;\infty),$ так как квадратный корень из отрицательного числа не извлекается. С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)>0$ на промежутке $(400;\infty),$ $f'(x)<0$ на промежутке $[0;400).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с отрицательного на положительное в точке $x=400$ — это и есть искомая точка минимума функции $y=x\sqrt{x}-30x+31.$