12. Наибольшее и наименьшее значение функций: #167428
Найдите наибольшее значение функции $$y=16 \cos{x}+8\sqrt{3}x-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4$$ на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}].$
Найдем производную данной функции: $$f'(x)=-16\sin{x}+8\sqrt{3}$$ Найдем нули функции на отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$: $$-16\sin{x}+8\sqrt{3}=0$$ $$\sin{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ На отрезке $[0;\frac{\pi}{2}]$ корнем уравнения является $x=\frac{\pi}{3}.$
С помощью метода интервалов найдем промежутки положительных и отрицательных значений производной: $f'(x)<0$ на промежутке $(\frac{\pi}{3};\frac{\pi}{2}],$ $f'(x)>0$ на промежутке $[0;\frac{\pi}{3}).$
На промежутках возрастания функции ее производная положительна, на промежутках убывания — отрицательна. Значение производной меняется с положительного на отрицательное в точке $x=\frac{\pi}{3}$ — это точка максимума функции.
Найдем значение функции $y=16 \cos{x}+8\sqrt{3}x-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4$ в данной точке: $$y=16 \cos{\frac{\pi}{3}}+8\sqrt{3}\cdot \frac{\pi}{3}-\frac{8\sqrt{3}\pi}{3}+4= 12$$