11. Графики функций: Комбинированные задачи
На рисунке изображены графики функций видов $f(x) = a\sqrt{x}$ и $g(x)= kx+b,$ пересекающиеся в точке $A.$ Найдите абсциссу точки $A.$
Чтобы найти коэффициент $a,$ подставим в функцию координаты точки, принадлежащей графику корня: $$-3 = a \sqrt{4}$$ $$a=-1.5$$ Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона прямой к оси $x$: $$k=-\frac{2}{4}=-0.5$$ Коэффициент $b$ можно определить по месту пересечения прямой оси $y$: $$b=5$$
Так как графики функций пересекаются, приравняем функции и найдем координаты точки пересечения: $$-1.5\sqrt{x} = -0.5x+5$$ $$-3\sqrt{x} = -x+10$$ $$9x=x^2+100-20x$$ $$x^2-29x+100 =0$$ $$x_1=25$$ $$x_2 = 4$$ По графикам функций видно, что точка с координатой $x=4$ не является местом пересечения, значит, $x=25.$
На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$
Подставим координаты любой точки, принадлежащей графику гиперболы, в функцию $f(x)=\frac{k}{x}$, чтобы найти коэффициент $k$: $$f(x)=\frac{k}{x}$$ $$1=\frac{k}{4}$$ $$k=4$$ Коэффициент $a$ можно найти как тангенс угла наклона прямой к оси $x$: $$a=\frac{4}{2} = 2$$ Подставим координаты любой точки, принадлежащей графику прямой, в функцию $g(x)=ax+b,$ чтобы найти коэффициент $b$: $$1 = 2 \cdot 4 +b$$ $$b=-7$$
Приравняем полученные функции, чтобы найти координаты точек пересечения: $$\frac{4}{x} = 2x-7$$ $$4 = 2x^2 -7x$$ $$2x^2-7x-4 = 0$$ $$x_1 = 4$$ $$x_2 = -0.5$$ По графикам видно, что абсцисса точки $A$ равна $4,$ значит, абсцисса точки $B$ равна $-0.5.$
На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите ординату точки $B.$
Подставим координаты любой точки, принадлежащей графику гиперболы, в функцию $f(x)=\frac{k}{x}$, чтобы найти коэффициент $k$: $$f(x)=\frac{k}{x}$$ $$1=\frac{k}{4}$$ $$k=4$$ Коэффициент $a$ можно найти как тангенс угла наклона прямой к оси $x$: $$a=\frac{4}{2} = 2$$ Подставим координаты любой точки, принадлежащей графику прямой, в функцию $g(x)=ax+b,$ чтобы найти коэффициент $b$: $$1 = 2 \cdot 4 +b$$ $$b=-7$$
Приравняем полученные функции, чтобы найти координаты точек пересечения: $$\frac{4}{x} = 2x-7$$ $$4 = 2x^2 -7x$$ $$2x^2-7x-4 = 0$$ $$x_1 = 4$$ $$x_2 = -0.5$$ По графикам видно, что абсцисса точки $A$ равна $4,$ значит, абсцисса точки $B$ равна $-0.5.$
Чтобы найти ординату точки $B,$ подставим значение $x$ в уравнение прямой: $$y = 2 \cdot (-0.5)-7 = -8$$
На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$
Подставим координаты любой точки, принадлежащей графику гиперболы, в функцию $f(x)=\frac{k}{x}$, чтобы найти коэффициент $k$: $$f(x)=\frac{k}{x}$$ $$-1=\frac{k}{3}$$ $$k=-3$$ Коэффициент $a$ можно найти как тангенс угла наклона прямой к оси $x$: $$a=-\frac{4}{1} = -4$$ Подставим координаты любой точки, принадлежащей графику прямой, в функцию $g(x)=ax+b,$ чтобы найти коэффициент $b$: $$-1 = -4 \cdot 3 +b$$ $$b=11$$
Приравняем полученные функции, чтобы найти координаты точек пересечения: $$\frac{-3}{x} = -4x+11$$ $$-3 = -4x^2 +11x$$ $$-4x^2+11x+3 = 0$$ $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -0.25$$ По графикам видно, что абсцисса точки $A$ равна $3,$ значит, абсцисса точки $B$ равна $-0.25.$
На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите ординату точки $B.$
Подставим координаты любой точки, принадлежащей графику гиперболы, в функцию $f(x)=\frac{k}{x}$, чтобы найти коэффициент $k$: $$f(x)=\frac{k}{x}$$ $$-1=\frac{k}{3}$$ $$k=-3$$ Коэффициент $a$ можно найти как тангенс угла наклона прямой к оси $x$: $$a=-\frac{4}{1} = -4$$ Подставим координаты любой точки, принадлежащей графику прямой, в функцию $g(x)=ax+b,$ чтобы найти коэффициент $b$: $$-1 = -4 \cdot 3 +b$$ $$b=11$$
Приравняем полученные функции, чтобы найти координаты точек пересечения: $$\frac{-3}{x} = -4x+11$$ $$-3 = -4x^2 +11x$$ $$-4x^2+11x+3 = 0$$ $$x_1 = 3$$ $$x_2 = -0.25$$ По графикам видно, что абсцисса точки $A$ равна $3,$ значит, абсцисса точки $B$ равна $-0.25.$
Чтобы найти ординату точки $B,$ подставим значение $x$ в уравнение прямой: $$y = -4 \cdot (-0.25)+11 = 12$$
На рисунке изображены графики функций видов $f(x)=\frac{k}{x}$ и $g(x)=ax+b,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$
Подставим координаты любой точки, принадлежащей графику гиперболы, в функцию $f(x)=\frac{k}{x}$, чтобы найти коэффициент $k$: $$f(x)=\frac{k}{x}$$ $$-1=\frac{k}{-3}$$ $$k=3$$ Коэффициент $a$ можно найти как тангенс угла наклона прямой к оси $x$: $$a=\frac{4}{1} = 4$$ Подставим координаты любой точки, принадлежащей графику прямой, в функцию $g(x)=ax+b,$ чтобы найти коэффициент $b$: $$-1 = 4 \cdot (-3) +b$$ $$b=11$$
Приравняем полученные функции, чтобы найти координаты точек пересечения: $$\frac{3}{x} = 4x+11$$ $$3 = 4x^2 +11x$$ $$4x^2+11x-3 = 0$$ $$x_1 = -3$$ $$x_2 = 0.25$$ По графикам видно, что абсцисса точки $A$ равна $-3,$ значит, абсцисса точки $B$ равна $0.25.$
На рисунке изображены графики функций $f(x)=3x+4$ и $g(x) = ax^2 +bx+c,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$
Определим коэффициенты $a,b,c$ уравнения параболы по графику: $$a=-1$$ $$b=-5$$ $$c=-3$$ Уравнение параболы имеет вид: $$g(x) = -1x^2 -5x-3$$
Найдем точки пересечения, приравняв функции: $$3x+4 = -1x^2 -5x-3$$ $$-x^2-8x-7=0$$ $$x_1 = -1$$ $$x_2=-7$$
По графику видно, что точка $A$ имеет координату $-1$ по оси $x,$ значит, абсцисса точки $B$ будет равна $-7.$
На рисунке изображены графики функций $f(x)=3x+4$ и $g(x) = ax^2 +bx+c,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите ординату точки $B.$
Определим коэффициенты $a,b,c$ уравнения параболы по графику: $$a=-1$$ $$b=-5$$ $$c=-3$$ Уравнение параболы имеет вид: $$g(x) = -1x^2 -5x-3$$
Найдем точки пересечения, приравняв функции: $$3x+4 = -1x^2 -5x-3$$ $$-x^2-8x-7=0$$ $$x_1 = -1$$ $$x_2=-7$$
По графику видно, что точка $A$ имеет координату $-1$ по оси $x,$ значит, абсцисса точки $B$ будет равна $-7.$
На рисунке изображены графики функций $f(x)=-8x+13$ и $g(x) = ax^2 +bx+c,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите абсциссу точки $B.$
Определим коэффициенты $a,b,c$ уравнения параболы по графику: $$a=1$$ $$b=-1$$ $$c=-5$$ Уравнение параболы имеет вид: $$g(x) = x^2 -x-5$$
Найдем точки пересечения, приравняв функции: $$-8x+13 = x^2 -x-5$$ $$x^2+7x-18=0$$ $$x_1 = -9$$ $$x_2=2$$
По графику видно, что точка $A$ имеет координату $2$ по оси $x,$ значит, абсцисса точки $B$ будет равна $-9.$
На рисунке изображены графики функций $f(x)=-8x+13$ и $g(x) = ax^2 +bx+c,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите ординату точки $B.$
Определим коэффициенты $a,b,c$ уравнения параболы по графику: $$a=1$$ $$b=-1$$ $$c=-5$$ Уравнение параболы имеет вид: $$g(x) = x^2 -x-5$$
Найдем точки пересечения, приравняв функции: $$-8x+13 = x^2 -x-5$$ $$x^2+7x-18=0$$ $$x_1 = -9$$ $$x_2=2$$
По графику видно, что точка $A$ имеет координату $2$ по оси $x,$ значит, абсцисса точки $B$ будет равна $-9.$
Найдем ординату точки $B,$ подставив координату $x$ в любое из уравнений: $$y = -8 \cdot (-9) +13 =85$$