10. Текстовые задачи: задачи на проценты, сплавы и смеси

Пусть масса первого сплава составляет $x \spaceкг.$ Тогда масса второго сплава равна $(x+3)\space кг,$ а масса третьего сплава равна $x+x+3 \space кг.$ Следовательно, масса меди в первом сплаве равна $0.1x \spaceкг,$ во втором сплаве — $0.4(x+3)\space кг,$ а в третьем — $0.3(2x+3)\space кг.$ Сумма масс меди в первом и втором сплавах равна массе меди в третьем сплаве: $$0.1x+0.4(x+3)=0.3(2x+3)$$ $$0.1x=0.3$$ $$x=3$$ Найдем массу третьего сплава: $$3+3+3=9$$

Если зарплату мужа увеличить вдвое, общий доход семьи увеличится на сумму, равную исходной зарплате мужа, значит, зарплата мужа составляет $67\%$ от общего дохода семьи. При уменьшении стипендии дочери втрое общий доход семьи уменьшится на сумму, равную $\frac{2}{3}$ исходной стипендии дочери, то есть на $4\%.$ Найдем часть дохода семьи, которую составляет стипендия дочери: $$4:\frac{2}{3}=6$$ Осталось найти долю зарплаты жены: $$100-67-6=27$$

Обозначим через $x$ массу первого раствора. Тогда масса второго раствора тоже равна $x,$ а масса итогового раствора равна $2x.$ Получаем, что количество вещества в первом растворе равно $0.15x,$ а количество вещества во втором растворе равно $0.19x.$ Следовательно, количество вещества в итоговом растворе равно: $$0.15x+0.19x=0.34x$$

Концентрация итогового раствора составляет: $$\frac{0.34x}{2x} \cdot 100=17\%$$

Обозначим через $x$ массу первого раствора. Тогда масса второго раствора тоже равна $x,$ а масса итогового раствора равна $2x.$ Получаем, что количество вещества в первом растворе равно $0.05x,$ а количество вещества во втором растворе равно $0.23x.$ Следовательно, количество вещества в итоговом растворе равно: $$0.05x+0.23x=0.28x$$

Концентрация итогового раствора составляет: $$\frac{0.28x}{2x} \cdot 100=14\%$$

Пусть концентрация первого раствора равна $x$ (в долях единицы). Тогда концентрация второго раствора на $20\%$ меньше, то есть равна $x- 0.2$ (так как $20\% = 0.2$ в долях).

Масса раствора вычисляется по формуле:
$$m_{\text{р-ра}} = \frac{m_{\text{кислоты}}}{C}$$где $C$ — концентрация.

Масса первого раствора:
$$m_1 = \frac{150}{x}$$
Масса второго раствора:
$$m_2 = \frac{60}{x- 0.2}$$
После смешения общая масса равна $400\ г$:
$$m_1 + m_2 = 400$$
$$\frac{150}{x} + \frac{60}{x- 0.2} = 400$$

Умножим обе части уравнения на $x(x- 0.2),$ чтобы избавиться от знаменателей:
$$150(x- 0.2) + 60x = 400x(x- 0.2)$$
Раскроем скобки:
$$150x- 30 + 60x = 400x^2- 80x$$
$$210x- 30 = 400x^2- 80x$$
Перенесем все члены в левую часть:
$$400x^2- 80x- 210x + 30 = 0$$
$$400x^2- 290x + 30 = 0$$
Разделим уравнение на $10$ для упрощения:
$$40x^2- 29x + 3 = 0$$
Решим квадратное уравнение:
$$D = (-29)^2- 4 \cdot 40 \cdot 3 = 841- 480 = 361$$
$$x = \frac{29 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 40} = \frac{29 \pm 19}{80}$$
Получаем два корня:
$$x_1 = \frac{29 + 19}{80} = \frac{48}{80} = 0.6$$
$$x_2 = \frac{29- 19}{80} = \frac{10}{80} = 0.125$$

Проверим оба корня:

• Если $x = 0.6,$ то концентрация второго раствора $x- 0.2 = 0.4.$ Массы растворов:
  $$m_1 = \frac{150}{0.6} = 250 \text{ г}, \quad m_2 = \frac{60}{0.4} = 150 \text{ г}, \quad m_1 + m_2 = 400 \text{ г} — \text{верно}$$
• Если $x = 0.125,$ то концентрация второго раствора $x- 0.2 = -0.075$ (отрицательная концентрация невозможна). Этот корень не подходит.

Таким образом, концентрация первого раствора равна $0.6$ (в долях), или в процентах:
$$0.6 \cdot 100\% = 60\%$$

Пусть масса первого сплава равна $m_1\ кг,$ а масса второго сплава — $m_2\ кг.$ Тогда массовое содержание никеля:

• в первом сплаве: $0.15m_1\ кг,$
• во втором сплаве: $0.35m_2\ кг.$

После сплавления получили третий сплав массой $140\ кг,$ содержащий $30\%$ никеля, то есть масса никеля в нем:
$$0.3 \cdot 140 = 42 \text{ кг}$$

Составим систему уравнений на основе сохранения массы и массы никеля:
$$\begin{cases}m_1 + m_2 = 140 \\ 0.15m_1 + 0.35m_2 = 42\end{cases}$$

Выразим $m_2$ из первого уравнения:
$$m_2 = 140- m_1$$

Подставим во второе уравнение:
$$0.15m_1 + 0.35(140- m_1) = 42$$

Раскроем скобки:
$$0.15m_1 + 49- 0.35m_1 = 42$$

Приведем подобные:
$$-0.2m_1 + 49 = 42$$

Перенесем постоянные в правую часть:
$$-0.2m_1 = 42- 49$$
$$-0.2m_1 = -7$$

Разделим обе части на $-0.2$:
$$m_1 = \frac{-7}{-0.2} = 35$$

Тогда:
$$m_2 = 140- 35 = 105$$

Масса первого сплава меньше массы второго на:
$$m_2- m_1 = 105- 35 = 70 \text{ кг}$$