11. Текстовые задачи: #211700

Пусть концентрация первого раствора равна $x$ (в долях единицы). Тогда концентрация второго раствора на $20\%$ меньше, то есть равна $x- 0.2$ (так как $20\% = 0.2$ в долях).

Масса раствора вычисляется по формуле:
$$m_{\text{р-ра}} = \frac{m_{\text{кислоты}}}{C}$$где $C$ — концентрация.

Масса первого раствора:
$$m_1 = \frac{150}{x}$$
Масса второго раствора:
$$m_2 = \frac{60}{x- 0.2}$$
После смешения общая масса равна $400\ г$:
$$m_1 + m_2 = 400$$
$$\frac{150}{x} + \frac{60}{x- 0.2} = 400$$

Умножим обе части уравнения на $x(x- 0.2),$ чтобы избавиться от знаменателей:
$$150(x- 0.2) + 60x = 400x(x- 0.2)$$
Раскроем скобки:
$$150x- 30 + 60x = 400x^2- 80x$$
$$210x- 30 = 400x^2- 80x$$
Перенесем все члены в левую часть:
$$400x^2- 80x- 210x + 30 = 0$$
$$400x^2- 290x + 30 = 0$$
Разделим уравнение на $10$ для упрощения:
$$40x^2- 29x + 3 = 0$$
Решим квадратное уравнение:
$$D = (-29)^2- 4 \cdot 40 \cdot 3 = 841- 480 = 361$$
$$x = \frac{29 \pm \sqrt{361}}{2 \cdot 40} = \frac{29 \pm 19}{80}$$
Получаем два корня:
$$x_1 = \frac{29 + 19}{80} = \frac{48}{80} = 0.6$$
$$x_2 = \frac{29- 19}{80} = \frac{10}{80} = 0.125$$

Проверим оба корня:

• Если $x = 0.6,$ то концентрация второго раствора $x- 0.2 = 0.4.$ Массы растворов:
  $$m_1 = \frac{150}{0.6} = 250 \text{ г}, \quad m_2 = \frac{60}{0.4} = 150 \text{ г}, \quad m_1 + m_2 = 400 \text{ г} — \text{верно}$$
• Если $x = 0.125,$ то концентрация второго раствора $x- 0.2 = -0.075$ (отрицательная концентрация невозможна). Этот корень не подходит.

Таким образом, концентрация первого раствора равна $0.6$ (в долях), или в процентах:
$$0.6 \cdot 100\% = 60\%$$