1. Планиметрия: все задания
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $136^{\circ},$ угол $ABD$ равен $78^{\circ}.$ Найдите угол $CAD.$ Ответ дайте в градусах.
Угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC.$ Значит, угол $DBC$ равен:$$136-78=58$$
Искомый угол $CAD$ равен углу $DBC,$ так как углы, опирающиеся на одни и те же дуги равны.
20
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $118^{\circ},$ угол $ABD$ равен $61^{\circ}.$ Найдите угол $CAD.$ Ответ дайте в градусах.
Угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC.$ Значит, угол $DBC$ равен:$$118-61=57$$
Искомый угол $CAD$ равен углу $DBC,$ так как углы, опирающиеся на одни и те же дуги равны.
20
Центральный угол на $22^{\circ}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол равен половине центрального.
Примем искомый угол за $x.$ Тогда:$$x+22=2x$$ $$x=22$$
20
Центральный угол на $18^{\circ}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол равен половине центрального.
Примем искомый угол за $x.$ Тогда:$$x+18=2x$$ $$x=18$$
20
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен $42,$ средняя линия равна $3.$ Найдите боковую сторону трапеции.
Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, сумма оснований будет:$$3\cdot2=6$$
На боковые стороны трапеции остается: $$42-6 = 36$$
Трапеция равнобедренная, так как вписана в окружность. Найдем боковое ребро:$$36:2=18$$
20
Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $72^{\circ}.$ Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку $B.$ Ответ дайте в градусах.
Угол между хордой и касательной равен половине стянутой ими дуги:$$72:2=36$$
20
Угол $ACO$ равен $29^{\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D.$ Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике $ACO$ угол $A$ равен $90$ градусам, так как является углом между радиусом и касательной. Найдем угол $AOC$: $$180-90-29=61$$
Угол $AOC$ смежный с углом $AOD.$ Найдем угол $AOD$:$$180-61=119$$
Угол $AOD$ является центральным и опирается на дугу $AD,$ значит, дуга $AD$ равна $119$ градусам.
20
Угол $ACO$ равен $35^{\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D.$ Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике $ACO$ угол $A$ равен $90$ градусам, так как является углом между радиусом и касательной. Найдем угол $AOC$: $$180-90-35=55$$
Угол $AOC$ смежный с углом $AOD.$ Найдем угол $AOD$:$$180-55=125$$
Угол $AOD$ является центральным и опирается на дугу $AD,$ значит, дуга $AD$ равна $125$ градусам.
20
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $124.$ Точка $E$ — середина стороны $AD.$ Найдите площадь треугольника $ABE.$
Треугольник $ABE$ занимает четверть площади параллелограмма:$$124:4=31$$
20
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $248.$ Точка $E$ — середина стороны $AD.$ Найдите площадь треугольника $ABE.$
Треугольник $ABE$ занимает четверть площади параллелограмма:$$248:4=62$$
20
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника равен $79^{\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и медианой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $CD=CB.$ Треугольник $DCB$ — равнобедренный, угол $DCB$ равен углу $B,$ равен $79$ градусам.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, значит, угол $HCB$ равен:$$180-90-79=11$$
Найдем искомый угол. Для этого вычтем из угла $DCB$ угол $HCB$: $$79-11=68$$
20
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника равен $61^{\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и медианой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $CD=CB.$ Треугольник $DCB$ — равнобедренный, угол $DCB$ равен углу $B,$ равен $61$ градусу.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, значит, угол $HCB$ равен:$$180-90-61=29$$
Найдем искомый угол. Для этого вычтем из угла $DCB$ угол $HCB$: $$61-29=32$$
20
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $61^{\circ},$ $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ равен $31^{\circ}.$ Найдите угол $B.$ Ответ дайте в градусах.
Так как $AD$ — биссектриса, угол $CAB$ равен: $$31+31 = 62$$
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем оставшийся угол в треугольнике $ABC$: $$180-61-62=57$$
20
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника равен $73^{\circ}.$ Найдите угол между биссектрисой $CD$ и медианой $CM,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $A$:$$180-90-73=17$$
Медиана, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит треугольник $ACM$ — равнобедренный, значит угол $MAC$ равен углу $ACM.$
Найдем искомый угол $MCD.$ Для этого из угла $ACD$ (который равен $45$ градусам, так как $CD$ — биссектриса) вычтем угол $ACM$: $$45-17=28$$
20
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $24^{\circ},$ угол $C$ равен $72^{\circ}.$ На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ отложен отрезок $BD,$ равный стороне $BC.$ Найдите угол $D$ треугольника $BCD.$ Ответ дайте в градусах.
В треугольнике $ABC$ найдем угол $B$: $$180-24-72 = 84$$
Угол $CBD$ — смежный с углом $CBA$: $$180-84 = 96$$
Треугольник $BCD$ — равнобедренный. Найдем оставшиеся два угла и разделим на $2$:$$180-96 = 84$$ $$84:2=42$$
20
Треугольник $BCD$ — равнобедренный. Найдем оставшиеся два угла и разделим на $2$:$$180-96 = 84$$ $$84:2=42$$
Рассмотрим треугольник $AOC.$ Угол $CAO$ равен $14,$ так как $AD$ — биссектриса. Угол $ACO$ равен $45,$ так как $CE$ — биссектриса. Найдем оставшийся угол: $$180-45-14=121$$
Углы $COA$ и $COD$ — смежные. Найдем $COD$: $$180-121 = 59$$
20
В трапеции $ABCD$ меньшее основание $BC$ равно $6,$ прямая $BE$ параллельна боковой стороне $CD.$ Найдите периметр трапеции $ABCD,$ если периметр треугольника $ABE$ равен $10.$
Сравним периметры трапеции $ABCD$ и треугольника $ABE.$ Они отличаются лишь на длину сторон $BC+ED.$
Так как $BC = ED,$ добавим к периметру треугольника длину стороны $BC$ два раза:$$10+6+6=22$$
20
В трапеции $ABCD$ меньшее основание $BC$ равно $5,$ прямая $BE$ параллельна боковой стороне $CD.$ Найдите периметр трапеции $ABCD,$ если периметр треугольника $ABE$ равен $16.$
Сравним периметры трапеции $ABCD$ и треугольника $ABE.$ Они отличаются лишь на длину сторон $BC+ED.$
Так как $BC = ED,$ добавим к периметру треугольника длину стороны $BC$ два раза:$$16+5+5=26$$
20
Дуга окружности $AC,$ не содержащая точки $B,$ имеет градусную меру $182^{\circ},$ а дуга окружности $BC,$ не содержащая точки $A,$ имеет градусную меру $94^{\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Градусная мера всей окружности — $360$ градусов. Найдем дугу, на которую опирается угол $ACB$:$$360-182-94=84$$
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: $$84:2=42$$
20
Дуга окружности $AC,$ не содержащая точки $B,$ имеет градусную меру $152^{\circ},$ а дуга окружности $BC,$ не содержащая точки $A,$ имеет градусную меру $74^{\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Градусная мера всей окружности — $360$ градусов. Найдем дугу, на которую опирается угол $ACB$:$$360-152-74=134$$
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: $$134:2=67$$
20