КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
1. Планиметрия: все задания
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $136^{\circ},$ угол $ABD$ равен $78^{\circ}.$ Найдите угол $CAD.$ Ответ дайте в градусах.
Угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC.$ Значит, угол $DBC$ равен:$$136-78=58$$
Искомый угол $CAD$ равен углу $DBC,$ так как углы, опирающиеся на одни и те же дуги равны.
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $118^{\circ},$ угол $ABD$ равен $61^{\circ}.$ Найдите угол $CAD.$ Ответ дайте в градусах.
Угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC.$ Значит, угол $DBC$ равен:$$118-61=57$$
Искомый угол $CAD$ равен углу $DBC,$ так как углы, опирающиеся на одни и те же дуги равны.
Центральный угол на $22^{\circ}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол равен половине центрального.
Примем искомый угол за $x.$ Тогда:$$x+22=2x$$ $$x=22$$
Центральный угол на $18^{\circ}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол равен половине центрального.
Примем искомый угол за $x.$ Тогда:$$x+18=2x$$ $$x=18$$
Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен $42,$ средняя линия равна $3.$ Найдите боковую сторону трапеции.
Так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований, сумма оснований будет:$$3\cdot2=6$$
На боковые стороны трапеции остается: $$42-6 = 36$$
Трапеция равнобедренная, так как вписана в окружность. Найдем боковое ребро:$$36:2=18$$
Хорда $AB$ стягивает дугу окружности в $72^{\circ}.$ Найдите угол $ABC$ между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку $B.$ Ответ дайте в градусах.
Угол между хордой и касательной равен половине стянутой ими дуги:$$72:2=36$$
Угол $ACO$ равен $29^{\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D.$ Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике $ACO$ угол $A$ равен $90$ градусам, так как является углом между радиусом и касательной. Найдем угол $AOC$: $$180-90-29=61$$
Угол $AOC$ смежный с углом $AOD.$ Найдем угол $AOD$:$$180-61=119$$
Угол $AOD$ является центральным и опирается на дугу $AD,$ значит, дуга $AD$ равна $119$ градусам.
Угол $ACO$ равен $35^{\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точках $B$ и $D.$ Найдите градусную меру дуги $AD$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике $ACO$ угол $A$ равен $90$ градусам, так как является углом между радиусом и касательной. Найдем угол $AOC$: $$180-90-35=55$$
Угол $AOC$ смежный с углом $AOD.$ Найдем угол $AOD$:$$180-55=125$$
Угол $AOD$ является центральным и опирается на дугу $AD,$ значит, дуга $AD$ равна $125$ градусам.
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $124.$ Точка $E$ — середина стороны $AD.$ Найдите площадь треугольника $ABE.$
Треугольник $ABE$ занимает четверть площади параллелограмма:$$124:4=31$$
Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $248.$ Точка $E$ — середина стороны $AD.$ Найдите площадь треугольника $ABE.$
Треугольник $ABE$ занимает четверть площади параллелограмма:$$248:4=62$$
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника равен $79^{\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и медианой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $CD=CB.$ Треугольник $DCB$ — равнобедренный, угол $DCB$ равен углу $B,$ равен $79$ градусам.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, значит, угол $HCB$ равен:$$180-90-79=11$$
Найдем искомый угол. Для этого вычтем из угла $DCB$ угол $HCB$: $$79-11=68$$
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника равен $61^{\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и медианой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $CD=CB.$ Треугольник $DCB$ — равнобедренный, угол $DCB$ равен углу $B,$ равен $61$ градусу.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, значит, угол $HCB$ равен:$$180-90-61=29$$
Найдем искомый угол. Для этого вычтем из угла $DCB$ угол $HCB$: $$61-29=32$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $61^{\circ},$ $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ равен $31^{\circ}.$ Найдите угол $B.$ Ответ дайте в градусах.
Так как $AD$ — биссектриса, угол $CAB$ равен: $$31+31 = 62$$
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем оставшийся угол в треугольнике $ABC$: $$180-61-62=57$$
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника равен $73^{\circ}.$ Найдите угол между биссектрисой $CD$ и медианой $CM,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $A$:$$180-90-73=17$$
Медиана, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит треугольник $ACM$ — равнобедренный, значит угол $MAC$ равен углу $ACM.$
Найдем искомый угол $MCD.$ Для этого из угла $ACD$ (который равен $45$ градусам, так как $CD$ — биссектриса) вычтем угол $ACM$: $$45-17=28$$
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $24^{\circ},$ угол $C$ равен $72^{\circ}.$ На продолжении стороны $AB$ за точку $B$ отложен отрезок $BD,$ равный стороне $BC.$ Найдите угол $D$ треугольника $BCD.$ Ответ дайте в градусах.
В треугольнике $ABC$ найдем угол $B$: $$180-24-72 = 84$$
Угол $CBD$ — смежный с углом $CBA$: $$180-84 = 96$$
Треугольник $BCD$ — равнобедренный. Найдем оставшиеся два угла и разделим на $2$:$$180-96 = 84$$ $$84:2=42$$
Треугольник $BCD$ — равнобедренный. Найдем оставшиеся два угла и разделим на $2$:$$180-96 = 84$$ $$84:2=42$$
Рассмотрим треугольник $AOC.$ Угол $CAO$ равен $14,$ так как $AD$ — биссектриса. Угол $ACO$ равен $45,$ так как $CE$ — биссектриса. Найдем оставшийся угол: $$180-45-14=121$$
Углы $COA$ и $COD$ — смежные. Найдем $COD$: $$180-121 = 59$$
В трапеции $ABCD$ меньшее основание $BC$ равно $6,$ прямая $BE$ параллельна боковой стороне $CD.$ Найдите периметр трапеции $ABCD,$ если периметр треугольника $ABE$ равен $10.$
Сравним периметры трапеции $ABCD$ и треугольника $ABE.$ Они отличаются лишь на длину сторон $BC+ED.$
Так как $BC = ED,$ добавим к периметру треугольника длину стороны $BC$ два раза:$$10+6+6=22$$
В трапеции $ABCD$ меньшее основание $BC$ равно $5,$ прямая $BE$ параллельна боковой стороне $CD.$ Найдите периметр трапеции $ABCD,$ если периметр треугольника $ABE$ равен $16.$
Сравним периметры трапеции $ABCD$ и треугольника $ABE.$ Они отличаются лишь на длину сторон $BC+ED.$
Так как $BC = ED,$ добавим к периметру треугольника длину стороны $BC$ два раза:$$16+5+5=26$$
Дуга окружности $AC,$ не содержащая точки $B,$ имеет градусную меру $182^{\circ},$ а дуга окружности $BC,$ не содержащая точки $A,$ имеет градусную меру $94^{\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Градусная мера всей окружности — $360$ градусов. Найдем дугу, на которую опирается угол $ACB$:$$360-182-94=84$$
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: $$84:2=42$$
Дуга окружности $AC,$ не содержащая точки $B,$ имеет градусную меру $152^{\circ},$ а дуга окружности $BC,$ не содержащая точки $A,$ имеет градусную меру $74^{\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Градусная мера всей окружности — $360$ градусов. Найдем дугу, на которую опирается угол $ACB$:$$360-152-74=134$$
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: $$134:2=67$$
В четырёхугольник $ABCD,$ периметр которого равен $48,$ вписана окружность, $AB=11.$ Найдите $CD.$
Если в четырехугольник можно вписать окружность, значит, суммы противоположных его сторон равны:$$AD+BC=AB+CD$$
Так как периметр четырехугольника равен $48,$ $$AB+CD=48:2=24$$ $$CD=24-11=13$$
В четырёхугольник $ABCD,$ периметр которого равен $36,$ вписана окружность, $AB=6.$ Найдите $CD.$
Если в четырехугольник можно вписать окружность, значит, суммы противоположных его сторон равны:$$AD+BC=AB+CD$$
Так как периметр четырехугольника равен $48,$ $$AB+CD=36:2=18$$ $$CD=18-6=12$$
Площадь треугольника $ABC$ равна $48.$ $DE$ — средняя линия. Найдите площадь треугольника $CDE.$
Треугольники $ACB$ и $DCE$ подобны по двум пропорциональным сторона и общему углу $C.$ Коэффициент подобия равен $2,$ так как стороны большего треугольника в $2$ раза больше.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. $$2^2=4$$ $$48:4=12$$
Площадь треугольника $ABC$ равна $12.$ $DE$ — средняя линия. Найдите площадь треугольника $CDE.$
Треугольники $ACB$ и $DCE$ подобны по двум пропорциональным сторона и общему углу $C.$ Коэффициент подобия равен $2,$ так как стороны большего треугольника в $2$ раза больше.
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. $$2^2=4$$ $$12:4=3$$
Стороны параллелограмма равны $3$ и $6.$ Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна $4.$ Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.
Площадь параллелограмма можно найти через произведение основания и высоты, проведенной к этому основанию: $$3\cdot 4 = 12$$
Эту же площадь можно найти через произведение другой стороны и высоты проведенной к этой стороне:$$x\cdot 6=12$$ Значит, вторая высота равна $2.$
Стороны параллелограмма равны $8$ и $12.$ Высота, опущенная на меньшую из этих сторон, равна $3.$ Найдите высоту, опущенную на бо́льшую сторону параллелограмма.
Площадь параллелограмма можно найти через произведение основания и высоты, проведенной к этому основанию: $$8\cdot 3 = 24$$
Эту же площадь можно найти через произведение другой стороны и высоты проведенной к этой стороне:$$x\cdot 12=24$$ Значит, вторая высота равна $2.$
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $13,$ а основание равно $24.$ Найдите площадь этого треугольника.
Так как треугольник равнобедренный, высота $CH,$ проведенная из угла $C$ будет являться медианой. Она разделит сторону $AB$ пополам: $$AH=HB=12.$$
В полученном треугольнике $ACH$ по теореме Пифагора найдем высоту $CH$:$$CH^2=13^2-12^2=25$$ $$CH=5$$
Площадь треугольника равна полупроизведению его основания на высоту. Найдем площадь треугольника $ACB$:$$\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 5 = 60$$
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна $15,$ а основание равно $24.$ Найдите площадь этого треугольника.
Так как треугольник равнобедренный, высота $CH,$ проведенная из угла $C$ будет являться медианой. Она разделит сторону $AB$ пополам: $$AH=HB=12.$$
В полученном треугольнике $ACH$ по теореме Пифагора найдем высоту $CH$:$$CH^2=15^2-12^2=81$$ $$CH=9$$
Площадь треугольника равна полупроизведению его основания на высоту. Найдем площадь треугольника $ACB$:$$\frac{1}{2}\cdot 24\cdot 9 = 108$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $124^{\circ},$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Найдите угол $A.$ Ответ дайте в градусах.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Значит сумма углов $A$ и $B$ будет:$$180-124=56$$
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, угол $A$ равен углу $B$:$$56:2=28$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $158^{\circ},$ стороны $AC$ и $BC$ равны. Найдите угол $A.$ Ответ дайте в градусах.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Значит сумма углов $A$ и $B$ будет:$$180-158=22$$
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, угол $A$ равен углу $B$:$$22:2=11$$
Основания трапеции равны $6$ и $12.$ Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Больший из отрезков будет являться средней линией треугольника, основание которого совпадает с нижним основанием трапеции.
Средняя линия треугольника равна половине основания: $$12:2=6$$
Основания трапеции равны $6$ и $11.$ Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.
Больший из отрезков будет являться средней линией треугольника, основание которого совпадает с нижним основанием трапеции.
Средняя линия треугольника равна половине основания: $$11:2=5.5$$
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $AOD$ равен $54^{\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Углы $AOD$ и $COD$ вертикальные, значит, они равны. Треугольник $COB$ — равнобедренный, так как $CO$ и $OB$ — радиусы. Значит, углы при основании данного треугольника равны.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем искомый угол: $$180-54 = 126$$ $$126:2 = 63$$
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $AOD$ равен $86^{\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Углы $AOD$ и $COD$ вертикальные, значит, они равны. Треугольник $COB$ — равнобедренный, так как $CO$ и $OB$ — радиусы. Значит, углы при основании данного треугольника равны.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем искомый угол: $$180-86 = 94$$ $$94:2 = 47$$
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $70^{\circ}$ и $23^{\circ}.$ Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Противоположные углы опираются на дуги, образующие целую окружность, значит их сумма равна $180$ градусам.
Найдем два оставшихся угла:$$180-70=110$$ $$180-23=157$$
Два угла вписанного в окружность четырёхугольника равны $59^{\circ}$ и $39^{\circ}.$ Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Противоположные углы опираются на дуги, образующие целую окружность, значит их сумма равна $180$ градусам.
Найдем два оставшихся угла:$$180-59=121$$ $$180-39=141$$
Угол $ACO$ равен $21^{\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точке $B.$ Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Угол между касательной и радиусом, проведенными к одной точке равен $90$ градусам. В треугольнике $ACO$ найдем оставшийся угол $O$: $$180-90-21=69$$
Угол $O$ — центральный, значит, равен дуге, на которую опирается. Значит дуга $AB$ равна $69$ градусам.
Угол $ACO$ равен $18^{\circ}.$ Его сторона $CA$ касается окружности с центром в точке $O.$ Сторона $CO$ пересекает окружность в точке $B.$ Найдите градусную меру дуги $AB$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Угол между касательной и радиусом, проведенными к одной точке равен $90$ градусам. В треугольнике $ACO$ найдем оставшийся угол $O$: $$180-90-18=72$$
Угол $O$ — центральный, значит, равен дуге, на которую опирается. Значит дуга $AB$ равна $72$ градусам.
Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC.$ Меньшая дуга $AB$ равна $87^{\circ}.$ Найдите угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Угол $O$ — центральный, он опирается на дугу $AB,$ значит, равен $87$ градусам.
Углы между радиусами и касательными, равны $90$ градусам, значит углы $OBC$ и $OAC$ — прямые.
Сумма углов четырехугольника равна $360$ градусам. Найдем оставшийся угол четырехугольника $OBCA$: $$360-90-90-87 = 93$$
Через концы $A$ и $B$ дуги окружности с центром $O$ проведены касательные $AC$ и $BC.$ Меньшая дуга $AB$ равна $56^{\circ}.$ Найдите угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Угол $O$ — центральный, он опирается на дугу $AB,$ значит, равен $56$ градусам.
Углы между радиусами и касательными, равны $90$ градусам, значит углы $OBC$ и $OAC$ — прямые.
Сумма углов четырехугольника равна $360$ градусам. Найдем оставшийся угол четырехугольника $OBCA$: $$360-90-90-56= 124$$
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $26^{\circ}$, стороны $AC$ и $BC$ равны. Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.
Треугольник равнобедренный, значит, угол $A$ равен углу $B.$
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем оставшийся угол:$$180-26-26=128$$
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $28^{\circ}$, стороны $AC$ и $BC$ равны. Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.
Треугольник равнобедренный, значит, угол $A$ равен углу $B.$
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем оставшийся угол:$$180-28-28=124$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC$. Внешний угол при вершине $B$ равен $156^{\circ}$. Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.
Внешний угол при вершине $B$ является смежным с углом $CBA.$ Найдем $CBA$:$$180-156=24$$
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, но так как $AB=BC,$ угол $A$ равен углу $C.$ Найдем угол $C$:$$180-24=156$$ $$156:2=78$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB=BC$. Внешний угол при вершине $B$ равен $118^{\circ}$. Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.
Внешний угол при вершине $B$ является смежным с углом $CBA.$ Найдем $CBA$:$$180-118=62$$
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, но так как $AB=BC,$ угол $A$ равен углу $C.$ Найдем угол $C$:$$180-62=118$$ $$118:2=59$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $22^{\circ}$, $AD$ — биссектриса, угол $BAD$ равен $16^{\circ}$. Найдите угол $ADB.$ Ответ дайте в градусах.
Так как $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ будет также равен $16$ градусам.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, поэтому угол $ADC$ будет:$$180-16-22=142$$
Искомый угол смежный с углом $ADC,$ их сумма равна $180$ градусам:$$180-142=38$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $16^{\circ}$, $AD$ — биссектриса, угол $BAD$ равен $30^{\circ}$. Найдите угол $ADB.$ Ответ дайте в градусах.
Так как $AD$ — биссектриса, угол $CAD$ будет также равен $16$ градусам.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам, поэтому угол $ADC$ будет:$$180-16-30=134$$
Искомый угол смежный с углом $ADC,$ их сумма равна $180$ градусам:$$180-134=46$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$, угол $B$ равен $81^{\circ},$ $CD$ — медиана. Найдите угол $ACD.$ Ответ дайте в градусах.
Так как сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $A$:$$180-90-81=9$$
Медиана, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $AD=CD,$ значит, треугольник $ACD$ — равнобедренный, значит, угол $ACD$ равен углу $A.$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^{\circ}$, угол $B$ равен $51^{\circ},$ $CD$ — медиана. Найдите угол $ACD.$ Ответ дайте в градусах.
Так как сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $A$:$$180-90-51=39$$
Медиана, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы, значит, $AD=CD,$ значит, треугольник $ACD$ — равнобедренный, значит, угол $ACD$ равен углу $A.$
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $72^{\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Так как сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $HCB$ треугольника $HCB$:$$180-90-72=18$$
Биссектриса $CD$ делит угол $C$ пополам, значит, угол $DCB$ равен $45$ градусам.
Найдем искомый угол: $$45-18=27$$
Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $67^{\circ}.$ Найдите угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD,$ проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Так как сумма углов треугольника равна $180$ градусам, найдем угол $HCB$ треугольника $HCB$:$$180-90-67=23$$
Биссектриса $CD$ делит угол $C$ пополам, значит, угол $DCB$ равен $45$ градусам.
Найдем искомый угол: $$45-23=22$$