ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
13. Задачи по стереометрии: Цилиндр
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно $2$ и $6,$ а второго — $6$ и $7.$ Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?
Формула объема цилиндра:$$ V = \pi r^2 h $$Найдем объем первого цилиндра:$$ V_1 = \pi \cdot 2^2 \cdot 6 = 24\pi $$Найдем объем второго цилиндра:$$ V_2 = \pi \cdot 6^2 \cdot 7 = 252\pi $$Вычислим отношение объемов:$$ \frac{V_2}{V_1} = \frac{252\pi}{24\pi} = 10.5 $$Объем второго цилиндра больше объема первого в $10.5$ раз.
20
Радиус основания цилиндра равен $26,$ а его образующая равна $9.$ Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное $24.$ Найдите площадь этого сечения.
Теорема Пифагора для нахождения стороны сечения:
$$ AB = 2\sqrt{R^2-d^2} $$Найдем длину стороны сечения:$$ AB = 2\sqrt{26^2-24^2}$$ $$AB = 2\sqrt{676-576} = 2 \cdot 10 = 20 $$Формула площади прямоугольного сечения:$$ S = AB \cdot H $$Вычислим площадь сечения:$$ S = 20 \cdot 9 = 180 $$Площадь сечения цилиндра равна $180.$
20
Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно $4$ и $18,$ а второго — $2$ и $3.$ Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?
Формула площади боковой поверхности цилиндра:$$ S = 2\pi r h $$Вычислим площадь боковой поверхности первого цилиндра:$$ S_1 = 2\pi \cdot 4 \cdot 18 = 144\pi $$Вычислим площадь боковой поверхности второго цилиндра:$$ S_2 = 2\pi \cdot 2 \cdot 3 = 12\pi $$Найдем отношение площадей:$$ \frac{S_1}{S_2} = \frac{144\pi}{12\pi} = 12 $$Площадь боковой поверхности первого цилиндра больше в $12$ раз.
20
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в два раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.
Объем цилиндра находится по формуле: $$V = \pi r^2 \cdot h$$
Изменим высоту и радиус согласно условию задачи: $$V = \pi \cdot (2r)^2 \cdot \frac{h}{2} = \pi \cdot 4r^2 \cdot \frac{h}{2}$$ $$V = 2\cdot \pi r^2 h$$
20
В цилиндрический сосуд налили $ 3\space000\space см^3$ воды. Уровень жидкости оказался равным $12\spaceсм.$ В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на $3\space см.$ Найдите объём детали. Ответ дайте в $см^3.$
В $12\space см$ сосуда умещается $ 3\space000\space см^3$ воды, значит, в $1 \space см$ умещается:$$3\space000:12=250$$
Погружение детали подняло уровень жидкости на $3 \spaceсм$: $$250\cdot 3 = 750$$
20
Цилиндр вписан в прямоугольный параллелепипед. Радиус основания и высота цилиндра равны $3.$ Найдите объём параллелепипеда.
Объем параллелепипеда можно найти, перемножив его длину, ширину и высоту:$$V=abc$$
Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его диаметр совпадает с шириной и длиной параллелепипеда. Диаметр в два раза больше радиуса:$$D=2r = 2 \cdot 3 = 6 $$
Так как цилиндр вписан в параллелепипед, его высота совпадает с высотой параллелепипеда. Найдем объем параллелепипеда: $$V = 6 \cdot 6 \cdot 3 = 108$$
20
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает $36\spaceсм.$ На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в $3$ раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.
Площадь дна второго сосуда будет в $3^2$ раза больше, так как площадь круга зависит от квадрата радиуса:$$S=\pi r^2$$
Значит, высота уровня жидкости будет в $9$ раз меньше:$$36:9=4$$
20