КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
6. Определение результатов работы алгоритма: исполнитель чертежник
Исполнитель Чертёжник передвигается по плоскости и оставляет след в виде линии.
Чертёжник выполнил следующую программу:
Вектор $(5,1)$ Вектор $(-2,10)$ Точка $(0,0)$
Определите площадь фигуры, полученной при этом построении. В ответе запишите целую часть числа, полученного при умножении найденной площади на $100$.
В начальный момент Чертёжник находится в точке $(0;0)$.
После команды Вектор $(5,1)$ он перемещается в точку $(0;0)+(5;1)=(5;1)$.
После команды Вектор $(-2,10)$ он перемещается в точку $(5;1)+(-2;10)=(3;11)$.
Команда Точка $(0,0)$ возвращает Чертёжника в начало координат.
Полученная фигура — треугольник с вершинами $(0;0)$, $(5;1)$, $(3;11)$.
Его площадь найдём с помощью определителя: $S=\dfrac12\left|5\cdot11-1\cdot3\right|=\dfrac12\cdot52=26$.
Умножим найденную площадь на $100$: $26\cdot100=2600$.
Целая часть полученного числа равна $2600$.
20
Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии.
Чертёжнику был дан для исполнения следующий алгоритм:
НАЧАЛО
Сместиться на $(90,-40)$
ПОВТОРИ $N$ РАЗ
Сместиться на $(a,b)$
Сместиться на $(18,14)$
КОНЕЦ ПОВТОРИ
Сместиться на $(-9,-2)$
Сместиться на $(-6,-3)$
Конец
Укажите наибольшее возможное значение числа $N$, для которого найдутся такие значения чисел $a$ и $b$, что после выполнения программы Чертёжник возвратится в исходную точку.
Суммарное смещение вне цикла равно $(90,-40)+(-9,-2)+(-6,-3)=(75,-45)$.
Следовательно, команды цикла должны обеспечить смещение $(-75,45)$.
За одно повторение цикла Чертёжник смещается на $(a,b)+(18,14)=(a+18,b+14)$.
После $N$ повторений:
$N(a+18)=-75$,
$N(b+14)=45$.
Поскольку $a$ и $b$ — целые числа, $N$ должно быть общим делителем чисел $75$ и $45$. Наибольшее возможное значение: $N=\gcd(75,45)=15$.
Проверим:
$a+18=\dfrac{-75}{15}=-5$, откуда $a=-23$;
$b+14=\dfrac{45}{15}=3$, откуда $b=-11$.
Оба значения целые, поэтому $N=15$ возможно.
20
Исполнитель Чертёжник перемещается на координатной плоскости, оставляя след в виде линии.
Чертёжнику, находящемуся в начале координат (точке $(0,0)$), был дан для исполнения следующий алгоритм:
Сместиться на $(10,-1)$
Повтори 3 раза
Сместиться на $(-1,3)$
Сместиться на $(-2,-2)$
Конец
После выполнения алгоритма Чертёжник вернулся в исходную точку.
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом и линией, по которой Чертёжник вернулся в исходную точку. Точки на линии учитывать не следует.
Проследим за перемещением Чертёжника.
Сначала он перемещается из точки $(0,0)$ в точку
$(0,0)+(10,-1)=(10,-1)$.
Далее трижды выполняются две команды:
- Первое повторение:$(10,-1)\rightarrow(9,2)\rightarrow(7,0)$.
- Второе повторение:$(7,0)\rightarrow(6,3)\rightarrow(4,1)$.
- Третье повторение:$(4,1)\rightarrow(3,4)\rightarrow(1,2)$.
Затем Чертёжник возвращается по прямой из точки $(1,2)$ в исходную точку $(0,0)$.
Получена фигура с вершинами $(0,0)$, $(10,-1)$, $(9,2)$, $(7,0)$, $(6,3)$, $(4,1)$, $(3,4)$, $(1,2)$.
Найдём её площадь по формуле площади многоугольника: $S=\dfrac{|69-24|}{2}=\dfrac{45}{2}=22{,}5$.
Для применения формулы Пика определим количество целочисленных точек на границе. Для отрезка с приращениями $(\Delta x,\Delta y)$ количество промежутков между целочисленными точками равно $\gcd(|\Delta x|,|\Delta y|)$.
Для сторон фигуры получаем: $1+1+2+1+2+1+2+1=11$.
Таким образом, на границе находится $B=11$ целочисленных точек.
По формуле Пика $S=I+\dfrac{B}{2}-1$, где $I$ — количество целочисленных точек внутри фигуры.
$I=S-\dfrac{B}{2}+1=22{,}5-\dfrac{11}{2}+1=18$.
20
Чертёжнику, находящемуся в начале координат (точке $(0, 0)$), был дан для исполнения следующий алгоритм:
Сместиться на ($5, 6$)
Повтори $3$ раз
Сместиться на ($-1, -2$)
Сместиться на ($3, 3$)
Конец
Сместиться на ($-5, 0$)
После выполнения алгоритма Чертёжник вернулся в исходную точку.
Определите, сколько точек с целочисленными координатами будут находиться внутри области, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом и линией, по которой Чертёжник вернулся в исходную точку. Точки на линии учитывать не следует.
Выпишем последовательно координаты вершин:
- $(0,0)\rightarrow(5,6)$;
- первое повторение:
$(5,6)\rightarrow(4,4)\rightarrow(7,7)$; - второе повторение:
$(7,7)\rightarrow(6,5)\rightarrow(9,8)$; - третье повторение:
$(9,8)\rightarrow(8,6)\rightarrow(11,9)$; - после последней команды:
$(11,9)\rightarrow(6,9)$.
Затем фигура замыкается отрезком от $(6,9)$ до $(0,0)$.
Площадь многоугольника по формуле координат: $S=\dfrac12|356-323|=\dfrac{33}{2}=16{,}5$.
Количество целочисленных точек на границе найдём с помощью суммирования значений $\gcd(|\Delta x|,|\Delta y|)$ для всех сторон: $B=1+1+3+1+3+1+3+5+3=21$.
По формуле Пика $S=I+\dfrac B2-1$, где $I$ — количество целочисленных точек внутри фигуры.
$I=16{,}5-\dfrac{21}{2}+1=7$.
20
Чертёжнику, находящемуся в начале координат (точке $(0, 0)$), был дан для исполнения следующий алгоритм:
Повтори 3 раз
Сместиться на ($4, 0$)
Сместиться на ($0, 3$)
Конец
Сместиться на ($-24, 0$)
После выполнения алгоритма Чертёжник вернулся в исходную точку.
Определите площадь фигуры, ограниченной линией, заданной данным алгоритмом и линией, по которой Чертёжник вернулся в исходную точку.
Выпишем вершины полученной фигуры: $$(0,0)\rightarrow(4,0)\rightarrow(4,3)\rightarrow(8,3)\rightarrow(8,6)\rightarrow(12,6)\rightarrow(12,9)\rightarrow(-12,9)\rightarrow(0,0).$$
По формуле площади многоугольника: $S=\dfrac12|336-84|=\dfrac{252}{2}=126$.
20