26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: динамика: расчетная задача

Обоснование:

Систему отсчета, связанную со столом, считаем инерциальной.
Грузы $M$ и $m_1$ движутся как одно целое, поэтому их можно рассматривать как одно тело массой $M + m.$
Тело движется поступательно, как и груз $m_2,$ поэтому их можно описывать моделью материальной точки.
В инерциальной системе отсчета движение материальной точки описывается вторым законом Ньютона.
Нить легкая и нерастяжимая, поэтому $T_1 = T_2 = T.$
Ускорения тел равны: $a_1 = a_2 = a.$
Груз $m_1$ покоится относительно $M,$ поэтому сила трения покоя удовлетворяет условию $F_{тр} \leq \mu N_1.$

Запишем второй закон Ньютона для системы:

Для тела $M + m$:$$(M + m)a = T$$Для груза $m_2$:
$$ma = mg- T$$Складываем уравнения:
$$(M + 2m)a = mg$$ Отсюда ускорение:$$a = \frac{mg}{M + 2m}$$

Условие для груза $m_1.$

Второй закон Ньютона для $m_1$:
$$ma = F_{тр}$$ $$N_1 = mg$$Условие трения покоя: $$F_{тр} \leq \mu N_1$$ $$ma \leq \mu mg$$Подставляем выражение для $a$:
$$\frac{m^2 g}{M + 2m} \leq \mu m g$$ Упрощаем:
$$\frac{m}{M + 2m} \leq \mu$$ Решаем неравенство относительно $m$:
$$m \leq \frac{\mu M}{1- 2\mu} = \frac{0.2 \cdot 1.2}{1- 0.4} = \frac{0.24}{0.6} = 0.4 \, \text{кг}$$
Ответ: грузы $M$ и $m_1$ движутся как одно целое при $m \leq 0.4 \, \text{кг}.$

Обоснование:

Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
Брусок и доска движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки. В инерциальной системе отсчета движение материальной точки описывается вторым законом Ньютона.
Нить невесома, а блок идеальный (без трения), поэтому сила натяжения нити одинакова по обе стороны блока: $T_1 = T_2 = T.$
Нить нерастяжима, поэтому ускорения бруска и доски равны по модулю: $a_1 = a_2 = a.$
Силы трения скольжения определяются как $F_{тр1} = \mu_1 N_1$ (между бруском и доской) и $F_{тр2} = \mu_2 N_2$ (между доской и поверхностью).

Силы, действующие на тела.

На брусок:
— Сила тяжести: $m\vec{g}$ (вниз).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вправо).
— Сила реакции опоры: $\vec{N}1$ (вверх). — Сила трения между бруском и доской: $\vec{F}{тр1}$ (влево).

На доску:
— Сила тяжести: $M\vec{g}$ (вниз).
— Вес бруска (по третьему закону Ньютона): $\vec{P} = -\vec{N}1$ (вниз). — Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (влево). — Сила трения между доской и поверхностью: $\vec{F}{тр2}$ (влево).
— Внешняя сила: $\vec{F}$ (вправо).
— Сила реакции опоры стола: $\vec{N}_2$ (вверх).

Запишем второй закон Ньютона в проекциях.

Для бруска $( m )$:
$$Ox: ma = T- F_{тр1}$$ $$Oy: 0 = N_1- mg$$
Для доски $(M)$: $$Ox: Ma = F- F_{тр1}- F_{тр2}- T$$ $$Oy: 0 = N_2- N_1- Mg$$Выразим силы трения:
$$F_{тр1} = \mu_1 N_1 = \mu_1 mg$$ $$F_{тр2} = \mu_2 N_2 = \mu_2 (N_1 + Mg) = \mu_2 (mg + Mg)$$

Подставим $F_{тр1}$ и $F_{тр2}$ в уравнения:

$$ma = T- \mu_1 mg \quad (1)$$$$Ma = F- \mu_1 mg- \mu_2 (m + M)g- T \quad (2)$$
Сложим уравнения $(1)$ и $(2),$ чтобы исключить $T$:
$$ma + Ma = F- \mu_1 mg- \mu_2 (m + M)g- \mu_1 mg$$
Упростим: $$a(m + M) = F- 2\mu_1 mg- \mu_2 (m + M)g$$
Выразим $m$: $$m(a + 2\mu_1 g + \mu_2 g) = F- M(a + \mu_2 g)$$
$$m = \frac{F- M(a + \mu_2 g)}{a + g(2\mu_1 + \mu_2)}$$
Подставим числовые значения: $$m = \frac{6- 0.8(1 + 0.3 \cdot 10)}{1 + 10(2 \cdot 0.5 + 0.3)} = \frac{6- 0.8 \cdot 4}{1 + 10 \cdot 1.3}$$ $$= \frac{6- 3.2}{1 + 13} = \frac{2.8}{14} = 0.2 \, \text{кг}$$
Ответ: масса бруска $m = 0.2 \, \text{кг}.$

Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
Грузы движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки.
Нить невесома, а блок идеальный (без трения), поэтому сила натяжения нити одинакова по обе стороны блока: $T_1 = T_2 = T.$
Нить нерастяжима, поэтому ускорения всех грузов равны по модулю: $a_1 = a_2 = a.$
Пружина легкая, поэтому силы упругости, действующие на оба груза, равны: $F_{\text{упр1}} = F_{\text{упр2}} = F_{\text{упр}}.$
Трением пренебрегаем, так как плоскость гладкая.
В инерциальной системе отсчета движение описывается вторым законом Ньютона.

Силы, действующие на тела.

Груз $M$:
— Сила тяжести: $M\vec{g}$ (вниз).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вверх).

Нижний груз $m$:
— Сила тяжести: $m\vec{g}$ (вертикально вниз).
— Сила упругости пружины: $\vec{F}_{\text{упр}}$ (вверх вдоль плоскости).
— Сила реакции опоры: $\vec{N}_1$ (перпендикулярно плоскости).

Верхний груз $m$:
— Сила тяжести: $m\vec{g}$ (вертикально вниз).
— Сила упругости пружины: $\vec{F}_{\text{упр}}$ (вниз вдоль плоскости).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вверх вдоль плоскости).
— Сила реакции опоры: $\vec{N}_2$ (перпендикулярно плоскости).

Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось вдоль наклонной плоскости ($Ox$) и перпендикулярно ей ($Oy$).

Для груза $M$:
$$Ma = Mg- T \quad (1)$$Для нижнего груза $m$: $$ma = F_{\text{упр}}- mg \sin \alpha \quad (2)$$Для верхнего груза $m$:$$ma = T- F_{\text{упр}}- mg \sin \alpha \quad (3)$$

Сложим уравнения $(2)$ и $(3)$:
$$2ma = T- 2mg \sin \alpha \quad (4)$$

Выразим $T$ из уравнения $(1)$:
$$T = Mg- Ma \quad (5)$$

Подставим $(5)$ в $(4)$:
$$2ma = Mg- Ma- 2mg \sin \alpha$$Перенесем все члены с $a$ влево:
$$2ma + Ma = Mg- 2mg \sin \alpha$$ Выразим ускорение $a$:
$$a(2m + M) = g(M- 2m \sin \alpha)$$$$a = \frac{g(M- 2m \sin \alpha)}{2m + M} \quad (6)$$

Из уравнения $(2)$ выразим силу упругости:
$$F_{\text{упр}} = ma + mg \sin \alpha \quad (7)$$

Подставим $(6)$ в $(7)$:
$$F_{\text{упр}} = m \cdot \frac{g(M- 2m \sin \alpha)}{2m + M} + mg \sin \alpha$$Упростим выражение:
$$F_{\text{упр}} = \frac{Mmg- 2m^2 g \sin \alpha}{2m + M} + mg \sin \alpha$$ $$ = \frac{Mmg + 2m^2 g \sin \alpha + Mmg \sin \alpha- 2m^2 g \sin \alpha}{2m + M}$$
$$F_{\text{упр}} = \frac{Mmg (1 + \sin \alpha)}{2m + M} \quad (8)$$

По закону Гука:
$$F_{\text{упр}} = k(L- l) \quad (9)$$

Приравняем $(8)$ и $(9)$ и выразим $L$:
$$k(L- l) = \frac{Mmg (1 + \sin \alpha)}{2m + M}$$
$$L = \frac{Mmg (1 + \sin \alpha)}{k(2m + M)} + l$$

Подставим числовые значения:
$$L = \frac{2 \cdot 0.25 \cdot 10 \cdot (1 + 0.5)}{20 \cdot (2 \cdot 0.25 + 2)} + 0.15$$ $$= \frac{7.5}{50} + 0.15 = 0.15 + 0.15 = 0.3 \, \text{м} = 30 \, \text{см}$$
Ответ: длина пружины во время движения $L = 30 \, \text{см}.$

Обоснование.

Рассмотрим движение бруска и груза относительно Земли, которая является инерциальной системой отсчета.
На брусок действуют силы: приложенная сила $\vec{F},$ сила тяжести $M\vec{g},$ сила трения $\vec{F}_{тр},$ сила реакции опоры $\vec{N}$ и сила натяжения нити $\vec{T}.$ На груз действуют сила тяжести $m\vec{g}$ и сила натяжения нити $\vec{T}.$ Поскольку нить невесома и нерастяжима, ускорения бруска и груза равны по модулю: $a_1 = a_2 = a.$ В инерциальной системе отсчета применяем второй закон Ньютона.

Решение.

Запишем второй закон Ньютона для бруска и груза в проекциях на оси координат.

Для бруска $( M )$:
$$Ox: Ma = F \cos \alpha- T- F_{тр} $$ $$Oy: 0 = N- Mg + F \sin \alpha$$
Для груза $(m)$:
$$ma = T- mg$$
Сила трения скольжения:
$$ F_{тр} = \mu N$$
Из уравнения для оси $Oy$ бруска найдем $N$:
$$N = Mg- F \sin \alpha$$
Подставим $N$ в выражение для силы трения:
$$ F_{тр} = \mu (Mg- F \sin \alpha) $$
Из уравнения для груза выразим $T$:
$$T = ma + mg$$
Подставим $T$ и $F_{тр}$ в уравнение для оси $Ox$ бруска:
$$Ma = F \cos \alpha- (ma + mg) — \mu (Mg- F \sin \alpha)$$
Соберем все слагаемые с $a$ в левой части:
$$Ma + ma = F \cos \alpha- mg- \mu Mg + \mu F \sin \alpha$$
Выразим ускорение $a$:
$$a = \frac{F \cos \alpha- mg- \mu (Mg- F \sin \alpha)}{M + m}$$
Подставим численные значения:
$$ a = \frac{9 \cdot 0.866- 0.5 \cdot 10- 0.3 (1 \cdot 10- 9 \cdot 0.5)}{1 + 0.5} $$ $$= \frac{7.794- 5- 0.3 (10- 4.5)}{1.5} = \frac{2.794- 1.65}{1.5} \approx 0.763 \, \text{м/с}^2$$
Найдем скорость груза при равноускоренном движении из состояния покоя:
$$v = \sqrt{2as} = \sqrt{2 \cdot 0.763 \cdot 0.32} \approx \sqrt{0.488} \approx 0.7 \, \text{м/с}$$
Ответ: $0.7 \, \text{м/с}.$

Обоснование:

Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
Грузы движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки.
Нить невесома, а блок идеальный (без массы и трения), поэтому сила натяжения нити $T$ одинакова по всей ее длине.
Нить нерастяжима, поэтому ускорения грузов равны по модулю: $a_1 = a_2 = a.$
В инерциальной системе отсчета применяем второй закон Ньютона.

Силы, действующие на систему.

На левый груз массой $M$:
— Сила тяжести: $M\vec{g}$ (вниз).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вверх).

На правый груз (масса $M + m$):
— Сила тяжести: $(M + m)\vec{g}$ (вниз).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вверх).

На перегрузок $m$:
— Сила тяжести: $m\vec{g}$ (вниз).
— Сила реакции опоры со стороны груза: $\vec{N}$ (вверх).

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела.
Для левого груза $(M)$:
$$Ma = T- Mg \quad (1)$$Для правого груза $( M + m )$:
$$(M + m)a = (M + m)g- T \quad (2)$$Для перегрузка $(m)$:$$ma = mg- N \quad (3)$$
Сложим $(1)$ и $(2)$:
$$Ma + (M + m)a = (M + m)g- Mg$$$$(2M + m)a = mg$$Выразим ускорение $a$: $$a = \frac{mg}{2M + m} \quad (4)$$

Найдем силу реакции опоры $N$ из уравнения $(3).$
Подставим $(4)$ в $(3)$:
$$N = mg- ma = mg- m \cdot \frac{mg}{2M + m} = mg \left(1- \frac{m}{2M + m}\right)$$Упростим выражение:
$$N = mg \cdot \frac{2M}{2M + m} = \frac{2Mmg}{2M + m}$$
Подставим $M = 0.5 \, \text{кг},$ $m = 0.1 \, \text{кг},$ $g = 10 \, \text{м/с}^2$:
$$N = \frac{2 \cdot 0.5 \cdot 0.1 \cdot 10}{2 \cdot 0.5 + 0.1} = \frac{1}{1.1} \approx 0.91 \, \text{Н}$$

По третьему закону Ньютона сила давления $F$ равна по модулю силе реакции опоры $N$:
$$F = N \approx 0.91 \, \text{Н}$$

Ответ: сила давления перегрузка на груз $F \approx 0.91 \, \text{Н}.$

Обоснование:

Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
Все тела движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки.
Нить невесома и нерастяжима, поэтому:
— Силы натяжения равны: $T_1 = T_2 = T$
— Ускорения тел равны: $a_1 = a_2 = a$
Пружина легкая, поэтому силы упругости на обоих брусках равны: $F_{\text{упр}}$
В $ИСО$ применяем второй закон Ньютона.

Силы, действующие на тела.

Груз $M$ на поверхности:
— Сила тяжести: $M\vec{g}$ (вниз).
— Сила реакции опоры: $\vec{N}$ (вверх).
— Сила трения: $\vec{F}_{\text{тр}} = -\mu N \vec{i}$ (против движения).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вправо).

Верхний брусок $m$:
— Сила тяжести: $m\vec{g}$ (вниз).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вверх).
— Сила упругости пружины: $\vec{F}_{\text{упр}}$ (вверх).

Нижний брусок $m$:
— Сила тяжести: $m\vec{g}$ (вниз).
— Сила упругости пружины: $\vec{F}_{\text{упр}}$ (вверх).

Уравнения движения (в проекциях на вертикальную ось).

Для груза $M$:
$$Ma = T- F_{\text{тр}} \quad (1)$$ $$N = Mg \quad (2)$$Для верхнего бруска $m$:
$$ma = mg- T + F_{\text{упр}} \quad (3)$$Для нижнего бруска $m$:
$$ma = mg- F_{\text{упр}} \quad (4)$$Выразим силу трения из $(2)$: $$F_{\text{тр}} = \mu N = \mu Mg$$
Из уравнения $(4)$ найдем силу упругости:
$$F_{\text{упр}} = mg- ma \quad (5)$$
Подставим $(5)$ в $(3)$:
$$ma = mg- T + (mg- ma)$$ $$2ma = 2mg- T\quad (6)$$
Из уравнения $(1)$ выразим $T$:
$$T = Ma + F_{\text{тр}} = Ma + \mu Mg \quad (7)$$
Подставим $(7)$ в $(6)$:
$$2ma = 2mg- (Ma + \mu Mg)$$$$a(2m + M) = g(2m- \mu M)$$ $$a = \frac{g(2m- \mu M)}{2m + M}\quad (8)$$
Вычислим ускорение:
$$a = \frac{10 \cdot (0.8- 0.2 \cdot 0.8)}{0.8 + 0.8} = \frac{10 \cdot 0.64}{1.6} = 4 \, \text{м/с}^2$$
Найдем удлинение пружины из $(5)$:
$$F_{\text{упр}} = m(g- a) = 0.4 \cdot (10- 4) = 2.4 \, \text{Н}$$
По закону Гука:
$$x = \frac{F_{\text{упр}}}{k} = \frac{2.4}{80} = 0.03 \, \text{м} = 3 \, \text{см}$$
Длина пружины:
$$l = l_0 + x = 10 \, \text{см} + 3 \, \text{см} = 13 \, \text{см}$$
Ответ: длина пружины в процессе движения $l = 13 \, \text{см}.$

Обоснование:

Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
Грузы движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки.
Нить невесома, а блоки идеальны (без массы и трения), поэтому сила натяжения нити $T$ одинакова на всех участках.
Нить нерастяжима, что позволяет установить кинематическую связь между ускорениями грузов.
Поверхность гладкая, поэтому силой трения можно пренебречь.

Силы, действующие на тела.
Груз $m_1$:
— Сила тяжести: $m_1\vec{g}$ (вниз).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}_1$ (вверх).
Груз $m_2$:
— Сила тяжести: $m_2\vec{g}$ (вниз).
— Сила реакции опоры: $\vec{N}$ (вверх).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}_2$ (горизонтально влево).

Кинематическая связь.
Пусть груз $m_1$ перемещается на расстояние $s_1$ вниз, а груз $m_2$ — на расстояние $s_2$ влево. Из геометрии системы (подвижный блок) следует:
$$s_1 = 2s_2$$Дифференцируя дважды по времени, получаем связь ускорений:
$$a_1 = 2a_2$$

Уравнения движения.

Для груза $m_1$ (ось $Oy$ направлена вниз):
$$m_1 a_1 = m_1 g- T_1\quad (1)$$Для груза $m_2$ (ось $Ox$ направлена влево):
$$m_2 a_2 = T_2 \quad (2)$$Для подвижного блока:
$$T_2 = 2T_1 \quad (3)$$
Из $(3)$ выразим $T_1$:
$$T_1 = \frac{T_2}{2} \quad (4)$$Подставим $(4)$ в $(1)$:
$$m_1 a_1 = m_1 g- \frac{T_2}{2} \quad (5)$$Из $(2)$ выразим $T_2$: $$T_2 = m_2 a_2. \quad (6)$$
Подставим $(6)$ в $(5)$: $$m_1 a_1 = m_1 g- \frac{m_2 a_2}{2}\quad (7)$$Используем кинематическую связь $a_1 = 2a_2$:$$m_1 \cdot 2a_2 = m_1 g- \frac{m_2 a_2}{2}$$ $$2m_1 a_2 + \frac{m_2 a_2}{2} = m_1 g$$
$$a_2 \left(2m_1 + \frac{m_2}{2}\right) = m_1 g$$ $$a_2 = \frac{m_1 g}{2m_1 + \frac{m_2}{2}} = \frac{2m_1 g}{4m_1 + m_2}$$ Ускорение груза $m_1$: $$a_1 = 2a_2 = \frac{4m_1 g}{4m_1 + m_2}$$
Подставляем $m_1 = 2 \, \text{кг},$ $m_2 = 4 \, \text{кг},$ $g = 10 \, \text{м/с}^2$:$$a_1 = \frac{4 \cdot 2 \cdot 10}{4 \cdot 2 + 4} = \frac{80}{12} \approx 6.67 \, \text{м/с}^2$$

Ответ: ускорение груза $m_1$ равно $a_1 \approx 6.7 \, \text{м/с}^2.$

Обоснование:

Систему отсчета, связанную со столом, считаем инерциальной.
Тела движутся поступательно, поэтому их можно описывать моделью материальной точки.
Нить нерастяжима, поэтому ускорения бруска и груза равны: $a_1 = a_2 = a.$
Блок невесомый и гладкий, поэтому силы натяжения нити по обе стороны блока равны: $T_1 = T_2 = T.$
Трением в блоке и о воздух пренебрегаем.

Силы, действующие на систему.

На брусок:
— Сила тяжести: $M\vec{g}$ (вниз).
— Сила реакции опоры: $\vec{N}$ (вверх).
— Сила трения: $\vec{F}_{\text{тр}} = -\mu \vec{N}$ (против движения).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вправо).
— Внешняя сила: $\vec{F}$ (под углом $\alpha$ к горизонту).

На груз:
— Сила тяжести: $m\vec{g}$ (вниз).
— Сила натяжения нити: $\vec{T}$ (вверх).

Уравнения движения (в проекциях).

Для бруска (ось $Ox$ — горизонтальная, ось $Oy$ — вертикальная):
$$F \cos \alpha- T- F_{\text{тр}} = Ma \quad (1)$$ $$N + F \sin \alpha = Mg\quad (2)$$
Для груза (ось $Oy$ — вертикальная):
$$T- mg = ma \quad (3)$$
Выразим силу трения из $(2)$:
$$N = Mg- F \sin \alpha$$ $$F_{\text{тр}} = \mu N = \mu (Mg- F \sin \alpha)$$
Подставим $F_{\text{тр}}$ в $(1)$:
$$F \cos \alpha- T — \mu (Mg- F \sin \alpha) = Ma \quad (4)$$
Выразим $T$ из $(3)$: $$T = ma + mg\quad (5)$$
Подставим $(5)$ в $(4)$:
$$F \cos \alpha- (ma + mg) — \mu (Mg- F \sin \alpha) = Ma$$ Раскроем скобки:
$$F \cos \alpha- ma- mg- \mu Mg + \mu F \sin \alpha = Ma$$ Перенесем все члены с $a$ влево:
$$-ma- Ma = -F \cos \alpha + mg + \mu Mg- \mu F \sin \alpha$$ Умножим на $-1$:
$$(M + m)a = F (\cos \alpha + \mu \sin \alpha)- g(m + \mu M)$$
Найдем ускорение $a$:
$$a = \frac{F (\cos \alpha + \mu \sin \alpha)- g(m + \mu M)}{M + m}$$ Подставим числовые значения:
$$a = \frac{9 (\cos 30^\circ + 0.3 \sin 30^\circ)- 10 (0.5 + 0.3 \cdot 1)}{1 + 0.5}$$ Вычислим тригонометрические функции: $$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866, \quad \sin 30^\circ = 0.5$$ Тогда:
$$a = \frac{9 (0.866 + 0.3 \cdot 0.5)- 10 \cdot 0.8}{1.5} = \frac{9 (0.866 + 0.15)- 8}{1.5}$$ $$= \frac{9 \cdot 1.016- 8}{1.5} \approx \frac{9.144- 8}{1.5} \approx 0.763 \, \text{м/с}^2$$

Найдем скорость груза.

Груз движется равноускоренно из состояния покоя. Пройденный путь $L = 0.32 \, \text{м}$ Тогда:
$$V = \sqrt{2aL} = \sqrt{2 \cdot 0.763 \cdot 0.32} \approx \sqrt{0.488} \approx 0.7 \, \text{м/с}$$
Ответ: скорость груза при достижении края стола $V \approx 0.7 \, \text{м/с}.$

Обоснование:

Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.
Движение бруска и клина поступательное, поэтому их можно описывать моделью материальной точки.
Брусок движется равномерно относительно клина, значит, клин и брусок относительно Земли движутся с одинаковым ускорением $a.$
В инерциальной системе отсчета применяем второй закон Ньютона.
Силы трения между бруском и клином являются парными (третий закон Ньютона).

Силы, действующие на систему.

На брусок:
— Сила тяжести: $m\vec{g}$ (вертикально вниз).
— Сила реакции опоры клина: $\vec{N}1$ (перпендикулярно поверхности клина). — Сила трения: $\vec{F}{\text{тр}} = \mu N_1$ (вдоль поверхности клина вверх, так как брусок скользит вниз).

На клин:
— Сила тяжести: $M\vec{g}$ (вертикально вниз).
— Сила реакции опоры стола: $\vec{N}2$ (вертикально вверх). — Сила трения со стороны бруска: $\vec{F}{\text{тр}}$ (вдоль поверхности клина вниз, по третьему закону Ньютона).
— Внешняя сила: $\vec{F}$ (горизонтально вправо).

Уравнения движения.

Для бруска (в проекциях на оси, параллельную и перпендикулярную поверхности клина):
$$N_1 \sin \alpha- F_{\text{тр}} \cos \alpha = ma \quad (1)$$$$N_1 \cos \alpha + F_{\text{тр}} \sin \alpha- mg = 0 \quad (2)$$Для клина (горизонтальная ось):
$$F- F_{\text{тр}} \cos \alpha- N_1 \sin \alpha = Ma \quad (3)$$
Выразим силу трения:
$$F_{\text{тр}} = \mu N_1$$

Решим систему уравнений для бруска.

Подставим $F_{\text{тр}}$ в $(2)$:
$$N_1 \cos \alpha + \mu N_1 \sin \alpha = mg$$ $$N_1 (\cos \alpha + \mu \sin \alpha) = mg$$
$$N_1 = \frac{mg}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}\quad (4)$$Подставим $(4)$ в $(1)$:
$$\frac{mg \sin \alpha}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha}- \frac{\mu mg \cos \alpha}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha} = ma$$ $$a = g \cdot \frac{\sin \alpha- \mu \cos \alpha}{\cos \alpha + \mu \sin \alpha} = g \cdot \frac{\tg \alpha- \mu}{1 + \mu \tg \alpha} \quad (5)$$
Подставим $(4)$ и $(5)$ в $(3)$:
$$F = (M + m)a = (M + m) \cdot g \cdot \frac{\tg \alpha- \mu}{1 + \mu \tg \alpha}$$
Ответ: $$F = \frac{(M + m)g (\tg \alpha- \mu)}{1 + \mu \tg \alpha}$$

Физическая модель и обоснование:

Систему отсчета связываем со столом (инерциальная система).
При совместном движении $M$ и $m_1$ рассматриваем как единое тело массой $M + m.$
Нить невесома и нерастяжима ⇒ $T_1 = T_2 = T,$ $a_1 = a_2 = a.$
Блок идеальный (трение отсутствует).
Для $m_1$ сила трения покоя $F_{тр} ≤ μN_1.$

Уравнения движения.

Для системы $M + m$:
$$(M + m)a = T \quad (1)$$Для груза $m_2$: $$ma = mg- T \quad (2)$$

Решение системы уравнений.
Складываем $(1)$ и $(2)$:
$$(M + 2m)a = mg$$$$a = \frac{mg}{M + 2m} \quad (3)$$

Условие для груза $m_1.$

В проекции на горизонтальную ось:
$$ma = F_{тр} ≤ μN_1 = μmg$$ Подставляем ускорение из $(3)$:
$$\frac{m^2g}{M + 2m} ≤ μmg$$ $$\frac{m}{M + 2m} ≤ μ$$
Находим предельное значение массы:
$$m ≤ \frac{μM}{1- 2μ} = \frac{0.2 \cdot 1.2}{1- 0.4} = \frac{0.24}{0.6} = 0.4\,\text{кг}$$

Ответ: грузы $M$ и $m_1$ будут двигаться как одно целое при $m ≤ 0.4\,\text{кг}.$

Кинематика движения до столкновения.

Для первого шарика (брошенного под углом):
$$y_1(t) = v_0 \sin \alpha \cdot t- \frac{gt^2}{2}$$ $$v_{1y}(t) = v_0 \sin \alpha- gt$$
Для второго шарика (свободное падение):
$$v_{2y}(t) = -gt$$

Условие столкновения.

В момент столкновения $t = t_1$ выполняется:
$$y_1(t_1) = h- \frac{gt_1^2}{2}$$
Из сохранения импульса по вертикали (так как после удара скорость горизонтальна):
$$v_{1y}(t_1) + v_{2y}(t_1) = 0$$ $$(v_0 \sin \alpha- gt_1) + (-gt_1) = 0$$$$t_1 = \frac{v_0 \sin \alpha}{2g}$$

Высота столкновения.

Подставляем $t_1$ в уравнение для $y_1(t)$:
$$h = \frac{3v_0^2 \sin^2 \alpha}{8g}$$

Время падения после столкновения.
После удара шарики движутся горизонтально, их вертикальная скорость равна нулю. Время падения с высоты $h$:
$$\tau = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \frac{v_0 \sin \alpha}{2g} \sqrt{3}$$

Находим $v_0$:
$$v_0 = \frac{2g\tau}{\sqrt{3} \sin \alpha}$$
Ответ: $v_0 = \frac{2g\tau}{\sqrt{3} \sin \alpha}.$

Обоснование:

$1)$ Задачу решаем в инерциальной системе отсчета, связанной с наклонной плоскостью.

$2)$ Брусок и груз считаем материальными точками.

$3)$ Используем второй закон Ньютона, справедливый в $ИСО.$ Трением в оси блока и о воздух пренебрегаем.

$4)$ Нить нерастяжима, поэтому ускорения тел одинаковы по модулю.

$5)$ Блок и нить невесомы, трения в оси нет, поэтому силы натяжения нити одинаковы по модулю.

Решение:

$1)$ Запишем второй закон Ньютона для груза $M$ в проекции на вертикальную ось, направленную вниз: $$Ma = Mg- T$$

$2)$ Запишем второй закон Ньютона для бруска $m$ в проекциях:
— на ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вверх: $$ma = T- mg \sin \alpha- F_{тр}$$
— на ось $Oy$ перпендикулярно плоскости: $$0 = N- mg \cos \alpha$$

$3)$ Сила трения скольжения: $$F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha$$

$4)$ Получаем систему уравнений: $$\begin{cases} Ma = Mg- T \ ma = T- mg \sin \alpha- \mu mg \cos \alpha \end{cases}$$

$5)$ Сложим уравнения:$$(M + m)a = Mg- mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)$$

$6)$ Выразим ускорение:$$a = \dfrac{M- m(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{M + m}g$$

$7)$ Подставим числовые значения $\sin 30^\circ = 0.5,$ $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2},$ $\mu = \dfrac{1}{\sqrt{3}}{:}$ $$\sin \alpha + \mu \cos \alpha = 0.5 + \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0.5 + 0.5 = 1$$

$8)$ Вычислим ускорение: $$a = \dfrac{0.15- 0.1 \cdot 1}{0.15 + 0.1} \cdot 10 = \dfrac{0.05}{0.25} \cdot 10 = 2 \space \text{м/с}^2$$

$9)$ Найдем скорость через $t = 2 \space \text{с}{:}$ $$v = at = 2 \cdot 2 = 4 \space \text{м/с}$$

Ответ: $4 \space \text{м/с}$ скорость бруска через $2$ секунды после начала движения.

Обоснование:

$1)$ Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

$2)$ Тела считаем материальными точками, так как их размеры малы.

$3)$ Применяем второй закон Ньютона для материальных точек в $ИСО.$

$4)$ Для пружины используем закон Гука, так как деформации упругие.

Решение:

$1)$ Найдем силу упругости пружины сразу после пережигания нити. По закону Гука: $$F_{\text{упр}} = k(l_0- l)$$
$2)$ Подставим числовые значения: $$F_{\text{упр}} = 50 \cdot (0.2- 0.1) = 50 \cdot 0.1 = 5 \space \text{Н}$$
$3)$ Рассмотрим систему обоих тел как единое целое. По второму закону Ньютона: $$(m_1 + m_2)a = (m_1 + m_2)g + F_{\text{упр}}$$
$4)$ В проекции на вертикальную ось (направленную вниз): $$(m_1 + m_2)a = (m_1 + m_2)g + F_{\text{упр}}$$
$5)$ Выразим ускорение системы: $$a = g + \dfrac{F_{\text{упр}}}{m_1 + m_2}$$

$6)$ Теперь рассмотрим нижнее тело массой $m_1.$
На него действуют:
— сила тяжести $m_1g$ (вниз);
— сила реакции стержня $T$ (вниз).

$7)$ Запишем второй закон Ньютона для тела $m_1{:}$ $$m_1a = m_1g + T$$

$8)$ Выразим силу реакции стержня: $$T = m_1a- m_1g = m_1(a- g)$$

$9)$ Подставим выражение для ускорения из пункта $5){:}$ $$T = m_1\left(g + \dfrac{F_{\text{упр}}}{m_1 + m_2}- g\right) = \dfrac{m_1 F_{\text{упр}}}{m_1 + m_2}$$

$10)$ Подставим числовые значения $m_1 = 0.2 \space \text{кг},$ $m_2 = 0.3 \space \text{кг},$ $F_{\text{упр}} = 5 \space \text{Н}{:}$ $$T = \dfrac{0.2 \cdot 5}{0.2 + 0.3} = \dfrac{1}{0.5} = 2 \space \text{Н}$$

Ответ: $2 \space \text{Н}$ сила реакции стержня, действующая на груз массой $m_1.$

Обоснование:

$1)$ Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

$2)$ Тележку и груз считаем материальными точками.

$3)$ Применяем второй закон Ньютона для материальных точек в $ИСО.$

$4)$ Нить невесома и нерастяжима, блок идеален (без трения и массы), поэтому силы натяжения нити одинаковы.

$5)$ Используем закон для силы трения скольжения $F_{\text{тр}} = \mu N.$


Решение:

$1)$ В первом опыте тележка движется равнозамедленно под действием силы трения. По второму закону Ньютона: $$F_{\text{тр}} = Ma$$
$2)$ Сила трения скольжения: $$F_{\text{тр}} = \mu N = \mu Mg$$
$3)$ Приравниваем выражения для силы трения: $$\mu Mg = Ma$$
$4)$ Сокращаем массу $M{:}$ $$\mu g = a$$
$5)$ Во втором опыте система движется равномерно ($a = 0$). Рассмотрим силы:
— На тележку: сила натяжения $T$ и сила трения $F_{\text{тр}}$
— На груз: сила натяжения $T$ и сила тяжести $mg$

$6)$ Запишем второй закон Ньютона для каждого тела:

Для тележки (горизонтальная ось): $$T- F_{\text{тр}} = 0$$

Для груза (вертикальная ось): $$mg- T = 0$$

$7)$ Из уравнений получаем: $$T = F_{\text{тр}} = \mu Mg$$ $$T = mg$$
$8)$ Приравниваем выражения для силы натяжения: $$mg = \mu Mg$$
$9)$ Выражаем массу груза: $$m = \mu M$$
$10)$ Подставим числовые значения: $$m = 0.2 \cdot 1 = 0.2 \space \text{кг}$$

Ответ: $0.2 \space \text{кг}$ масса груза.

Обоснование:

$1)$ Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

$2)$ Гири считаем материальными точками.

$3)$ Применяем второй закон Ньютона для материальных точек в $ИСО.$

$4)$ Нить невесома и нерастяжима, блок идеален (без трения и массы), поэтому:
— силы натяжения нити одинаковы;
— ускорения гир одинаковы по модулю.

Решение:

$1)$ Обозначим массы: $m_1 = 7 \space \text{кг},$ $m_2 = 11 \space \text{кг}.$

$2)$ Запишем второй закон Ньютона для каждой гири. Направим ось $y$ вертикально вниз.

Для гири $m_1{:}$ $$m_1g- T = m_1a$$

Для гири $m_2{:}$ $$m_2g- T = -m_2a$$

$3)$ Вычтем первое уравнение из второго: $$(m_2g- T)- (m_1g- T) = -m_2a- m_1a$$ $$m_2g- m_1g = -a(m_1 + m_2)$$

$4)$ Выразим ускорение:$$a = \dfrac{g(m_2- m_1)}{m_1 + m_2}$$
$5)$ Подставим числовые значения: $$a = \dfrac{10 \cdot (11- 7)}{7 + 11} = \dfrac{10 \cdot 4}{18} = \dfrac{40}{18} \approx 2.22 \space \text{м/с}^2$$
$6)$ Путь при равноускоренном движении из состояния покоя: $$s = \dfrac{at^2}{2}$$

$7)$ Выразим время:$$t = \sqrt{\dfrac{2s}{a}}$$
$8)$ Подставим $s = 0.1 \space \text{м}{:}$ $$t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 0.1}{2.22}} = \sqrt{\dfrac{0.2}{2.22}} = \sqrt{0.09} = 0.3 \space \text{с}$$

Ответ: $0.3 \space \text{с}$ время, через которое каждая гиря пройдет путь $10 \space \text{см}.$