26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #216119

Обоснование:

$1)$ Задачу решаем в инерциальной системе отсчета, связанной с наклонной плоскостью.

$2)$ Брусок и груз считаем материальными точками.

$3)$ Используем второй закон Ньютона, справедливый в $ИСО.$ Трением в оси блока и о воздух пренебрегаем.

$4)$ Нить нерастяжима, поэтому ускорения тел одинаковы по модулю.

$5)$ Блок и нить невесомы, трения в оси нет, поэтому силы натяжения нити одинаковы по модулю.

Решение:

$1)$ Запишем второй закон Ньютона для груза $M$ в проекции на вертикальную ось, направленную вниз: $$Ma = Mg- T$$

$2)$ Запишем второй закон Ньютона для бруска $m$ в проекциях:
— на ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вверх: $$ma = T- mg \sin \alpha- F_{тр}$$
— на ось $Oy$ перпендикулярно плоскости: $$0 = N- mg \cos \alpha$$

$3)$ Сила трения скольжения: $$F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos \alpha$$

$4)$ Получаем систему уравнений: $$\begin{cases} Ma = Mg- T \ ma = T- mg \sin \alpha- \mu mg \cos \alpha \end{cases}$$

$5)$ Сложим уравнения:$$(M + m)a = Mg- mg(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)$$

$6)$ Выразим ускорение:$$a = \dfrac{M- m(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}{M + m}g$$

$7)$ Подставим числовые значения $\sin 30^\circ = 0.5,$ $\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2},$ $\mu = \dfrac{1}{\sqrt{3}}{:}$ $$\sin \alpha + \mu \cos \alpha = 0.5 + \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0.5 + 0.5 = 1$$

$8)$ Вычислим ускорение: $$a = \dfrac{0.15- 0.1 \cdot 1}{0.15 + 0.1} \cdot 10 = \dfrac{0.05}{0.25} \cdot 10 = 2 \space \text{м/с}^2$$

$9)$ Найдем скорость через $t = 2 \space \text{с}{:}$ $$v = at = 2 \cdot 2 = 4 \space \text{м/с}$$

Ответ: $4 \space \text{м/с}$ скорость бруска через $2$ секунды после начала движения.