Линейная функция. Прямая пропорциональность

Из прошлого урока вы узнали многое о функциях, но далеко не все. Вспомним основные знания, которые нам будут нужны для понимания линейной функции:

• функция – это зависимость между двумя величинами, при которой каждому значению независимой переменной $x$ соответствует одно единственное значение другой зависимой переменной $y$;
• зависимость может быть прямой и обратной
• любая функция имеет область определения и область значений;
• графически функция может убывать и/или возрастать, может выглядеть как прямой, так и кривой линией.

Вот о функциях, график которых выглядит как прямая линия, и пойдет речь в данном уроке.

Примеры линейных функций

Представим ситуацию: в копилке лежит $500$ рублей, мама дает дочке каждый день на обеды и другие мелкие расходы $100$ рублей, но она тратит только $50$, а $50$ рублей кладет в копилку. Таким образом, через $10$ дней в копилке девочки будет уже на $500$ рублей больше: $50\times 10$. Всего же в копилке через $10$ дней будет $1000$ рублей: $500$ рублей накоплено за эти $10$ дней и $500$ рублей уже было.

Посмотрим, сколько же будет в копилке через $20$ дней: ${50\times 20} + 500 = 1500$ рублей.

Возьмем за функцию (зависимую переменную $y$) общее количество денег в копилке. Число дней, когда откладывались деньги, обозначим за $x$ (независимая переменная). Тогда наша функция (зависимость количества денег в копилке от количества прошедших дней) будет выглядеть в виде формулы: $y = {50\times x} + 500$. 

Посмотрим, как будет выглядеть график нашей функции. Для этого найдем несколько значений $y$ и заполним таблицу для $x$, например, равных $4$, $5$, $6$, $7$ (дней):

Найдем $y_1 = {50\times 4} + 500 = 700$

Тогда $y_2 = {50\times 5} + 500 = 750$

$y_3 = {50\times 6} + 500 = 800$

$y_4 = {50\times 7} + 500 = 850$

По точкам с координатами $(4, 700)$; $(5, 750)$; $(6, 800)$ и $(7, 850)$ построим график:

Как видим, график функции $y = {50\times x} + 500$ выглядит как прямая линия.

Таким образом, увеличение денег в копилке будет напрямую зависеть от количества дней, в которые она пополнялась на одну и ту же сумму. При этом, зависимая переменная $y$ меняется на одну и ту же величину (в нашем случае ежедневное приращение суммы равно $50$ рублям). 

Другой пример. Летом отключили горячую воду. Водонагреватель сломался, а помыться нужно. В ванну сначала налили два ведра кипятка, каждое по $10$ литров. Затем в нее пустили холодную воду из крана. В течение каждой минуты в ванну добавлялось еще 5 литров воды. Зависимость количества воды в ванной в нашем случае можно выразить с помощью формулы $y = {5\times x} + 20$, где $y$ – количество воды в ванной, а $x$ – время в минутах, которое прошло с момента включения крана.

Что такое линейная функция

Итак, зависимость, подобная нашим примерам выше, функцию которой можно найти с помощью формулы вида $y = kx + b$, и называется линейной.

В данной формуле $k$ и $b$ – некоторые числа, называемые коэффициентами. 

В наших случаях коэффициент $k$ был равен $50$ в примере с копилкой и $5$ в примере с ванной. Коэффициент $b$ в описанных примерах был равен $500$ рублям, уже лежавшим в копилке, и $20$ литрам, налитым в ванну до включения крана.

Запомним определение:

Если функцию можно задать формулой вида $y = kx + b$, где  $k$ и $b$ – некоторые числа, а $x$ – независимая переменная, то ее называют линейной

Числовые коэффициенты $k$ и $b$ могут быть любыми числами: дробными и даже отрицательными.

Прямая пропорциональность и другие особые случаи

Давайте посмотрим, какие функции также будут линейными:

• $y = -3\times x- b$, в данном случае оба числовых коэффициента имеют отрицательные значения;
• другой пример: $y = 2-x$, здесь коэффициент $k$ равен $-1$, а $b = 2$;
• $y = 5$, тут коэффициент $k$ равен $0$, а коэффициент $b=5$ (в подобных случаях функция совсем не зависит от значения аргумента $x$, а лишь от числовой величины коэффициента $b$);
• а в функции $y = 4\times x$ коэффициент $b$ уже равен $0$.

Последний пример линейной функции (когда коэффициент $b$ равен $0$) – вариант прямой пропорциональности. Ранее вы уже изучали прямую зависимость. Такая зависимость – частный случай линейной функции, при котором формула будет выглядеть, как $y = kx$.

Вспомнить, что такое прямая зависимость

Вспомнил, спасибо!

Если при увеличении одной величины, увеличивается другая, то величины называют прямо пропорциональными, у них прямая зависимость.

Вернемся снова к нашим примерам: если бы в копилке и в ванной изначально было пусто, то функция $y$ увеличивалась бы прямо пропорционально увеличению количества потраченного на наполнение копилки или ванны времени. Коэффициент $b$ в таких случаях равен нулю.

Обратите внимание, что в формуле прямо пропорциональной функции коэффициент $b = 0$, но коэффициент $k$ не равен нулю.