6 класс Математика Рациональные числа Сложение и вычитание рациональных чисел

Вычитание рациональных чисел

Содержание

В уроке про сложение рациональных чисел вы шагали по шкале термометра вверх и вниз. Теперь научимся вычитать любые рациональные числа: сведем вычитание к сложению с противоположным числом, разберем, почему вычесть отрицательное число — значит увеличить результат, и найдем расстояние между точками координатной прямой.

Вопрос, к которому мы вернемся в конце: утром термометр показывал −4 °C, а днем +7 °C. На сколько градусов потеплело?

Вычесть — значит узнать, на сколько изменилось

Начнем с положительных чисел. Утром было $3^\circ$, днем $8^\circ$. Потеплело на $8-3=5$ градусов: из конечного показания вычли начальное. На шкале это стрелка от отметки $3$ до отметки $8$ длиной $5$ делений, направленная вверх.

Теперь пусть утром было $-3^\circ$, а днем $5^\circ$. Посчитаем деления на шкале: от $-3$ до $0$ — три деления, от $0$ до $5$ — еще пять. Стрелка идет вверх на $3+5=8$ делений. Значит, потеплело на $8$ градусов.

Разность как изменение температуры: от −3 до 5 вверх на 8, 5 − (−3) = 8 — Разность — стрелка от вычитаемого к уменьшаемому: от −3 до 5 вверх на 8 делений

Изменение температуры записывают тем же действием, что и раньше: конечное значение минус начальное. Получаем $5-(-3)$, и по шкале видно, что эта разность равна $8$. Правило, по которому такие разности считаются без рисунка, выведем в следующих разделах.

Знак разности тоже читается со шкалы. Стрелка вверх — разность положительная (потеплело). Стрелка вниз — отрицательная (похолодало): с $2^\circ$ до $-4^\circ$ температура изменилась на $-6$ градусов.

Правило

Разность $a-b$ показывает, на сколько делений и в какую сторону надо пройти по шкале от числа $b$ до числа $a$. Вверх — разность положительная, вниз — отрицательная.

{"questions":[{"content":"В 6 часов температура была −13 °C, а в 14 часов — 5 °C. На сколько градусов потеплело? Ответ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Отметьте $-13$ и $5$ на шкале термометра.","От $-13$ до $0$ — 13 делений, от $0$ до 5 — еще 5.","$13+5=18$. Ответ: $18$."],"step":1}],"mix":1}

Вычитание заменяем сложением с противоположным

Посчитаем $3-5$. Встанем на отметку $3$ и спустимся на $5$ делений: окажемся на $-2$. Теперь посчитаем сумму $3+(-5)$ по правилу из прошлого урока: прибавить $-5$ — значит сделать шаг вниз на $5$. Та же стрелка, тот же результат $-2$.

На шкале разность можно увидеть двумя способами. Как в разделе 1 — стрелка от $5$ до $3$: вниз на $2$ деления, то есть $-2$. Или как шаг: от $3$ вниз на $5$ — тоже отметка $-2$. Дальше пользуемся шагом от уменьшаемого: так видно, что вычитание — это сложение.

Вычитание положительного числа и прибавление противоположного ему отрицательного — один и тот же шаг вниз. Поэтому любое вычитание можно переписать сложением, а складывать числа с разными знаками вы уже умеете.

Вычитание 3 − 5 и сложение 3 + (−5) — одна и та же стрелка вниз на 5 — 3 − 5 и 3 + (−5): один и тот же шаг вниз на 5, результат −2

Правило

Чтобы из числа $a$ вычесть число $b$, надо к $a$ прибавить число, противоположное $b$:

Уменьшаемое не меняется; знак меняется только у вычитаемого, а минус между ними становится плюсом.

Почему это верно

В 5 классе вычитание проверяли сложением: $8-3=5$, потому что $5+3=8$. Проверим так же $3-5=-2$: $-2+5=3$ — верно. В общем виде: разность $a-b$ — число, которое в сумме с $b$ дает $a$. Проверим $a+(-b)$: $a+(-b)+b$ — сначала сложим $-b$ и $b$, получим $0$, остается $a$. Значит, $a+(-b)$ и есть разность $a-b$.

Пример 1

Найдите $-2-4$.

Шаг 1. Заменим вычитание сложением с противоположным: $-2-4=-2+(-4)$.

Шаг 2. Знаки одинаковые — складываем модули и ставим общий знак: $2+4=6$, результат $-6$.

Проверка по шкале. От $-2$ спускаемся на $4$ деления: $-3$, $-4$, $-5$, $-6$.

Ответ: $-6$.

{"questions":[{"content":"Вычитание заменили сложением: $9-14=9+$[[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$(-9)$","$\\frac{1}{14}$","$14$","$(-14)$"],"answer":3}},"hints":["Вычесть число — значит прибавить число, противоположное вычитаемому.","Вычитаемое равно $14$, противоположное ему — $-14$.","Ответ: $9-14=9+(-14)$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $-6-9$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-15"}},"hints":["Заменим вычитание сложением с противоположным числом.","$-6-9=-6+(-9)$.","Знаки одинаковые (оба отрицательные): складываем модули: $6+9=15$. Ответ: $-15$."],"step":1}],"mix":1}

Вычесть отрицательное — значит прибавить

Вернемся к разности $5-(-3)$ из первого раздела. По правилу заменяем вычитание сложением с противоположным: противоположное к $-3$ — это $3$, поэтому $5-(-3)=5+3=8$. Ровно столько делений мы насчитали на термометре.

Вторая опора — баланс телефона. Баланс — сумма всех записей оператора. Пусть записей две: пополнение $8$ рублей и долг $-3$ рубля, баланс $8+(-3)=5$. Оператор отменил ошибочный долг, то есть вычеркнул запись $-3$. Остается $8$ рублей: $5-(-3)=8$. Убрать долг — все равно что добавить деньги.

Правило

Вычесть отрицательное число — значит прибавить противоположное ему положительное число:

При вычитании отрицательного числа результат больше уменьшаемого; при вычитании положительного — меньше.

Ошибка

Как ошибаются. Видят два минуса и решают, что оба означают «вычесть»: $5-(-3)=5-3=2$.

Проверка на числах. Если $5-(-3)=2$, то по смыслу вычитания должно быть $2+(-3)=5$. Но $2+(-3)=-1$, а не $5$. А для ответа $8$ проверка сходится: $8+(-3)=5$. С балансом: долг отменили — после отмены долга баланс $8$, а не $2$.

Где ломается рассуждение. Вычитание не заменили сложением: минус перед скобкой оставили, а знак вычитаемого просто выбросили. На шкале это стрелка вниз на $3$ вместо стрелки вверх на $3$.

Ошибка 5 − (−3) = 2: верный шаг идет вверх, до 8 — Шаг от уменьшаемого 5: 5 − (−3): верный шаг — вверх на 3, к отметке 8; шаг вниз к отметке 2 — ошибка

Пример 2

Найдите $-6-(-9)$.

Шаг 1. Противоположное к $-9$ — число $9$: $-6-(-9)=-6+9$.

Шаг 2. Знаки разные — из большего модуля вычитаем меньший: $9-6=3$; знак берем у числа с большим модулем, у $9$, — плюс.

Проверка смысла. Вычитали отрицательное — результат должен стать больше уменьшаемого: $3>-6$. На шкале: от $-6$ вверх на $9$ делений.

Ответ: $3$.

{"questions":[{"content":"Баланс Ани равен 80 рублям, баланс Бори — −30 рублям (у Бори долг). На сколько рублей баланс Ани больше? Ответ в рублях. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"110"}},"hints":["Разница балансов — вычитание: баланс Ани минус баланс Бори.","На шкале: от $-30$ до $0$ — 30, от $0$ до 80 — еще 80; $80-(-30)=80+30$.","Ответ: $110$."],"step":1},{"content":"Иксератопс записал: $6-(-4)=2$ — «два минуса — вычли». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибка: верно $6-(-4)=-10$","Ошибка: верно $6-(-4)=-2$","Ошибки нет: $6-(-4)=2$","Ошибка: верно $6-(-4)=10$"],"explanations":["Модули сложили верно, но поставили минус. К положительному $6$ прибавили положительное $4$ — результат положительный","Знак сменили у уменьшаемого, а не у вычитаемого: $-6+4$ дает $-2$. Противоположное берут только к вычитаемому","Вычитание отрицательного числа дает результат больше уменьшаемого, а не меньше: ${a}-({b})={a}+{-b}$",""],"answer":[3]}},"hints":["Вычесть число — значит прибавить противоположное: ошибка в том, что отрицательное число вычли еще раз.","Противоположное к $-4$ — $4$.","$6-(-4)=6+4=10$. Ответ: $10$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Не вычисляя, распределите разности по группам: результат больше уменьшаемого или меньше его.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Больше уменьшаемого","Меньше уменьшаемого"],"items":[["$4-(-7)$","$-5-(-2)$","$-1-(-6)$"],["$8-3$","$-2-6$","$1{,}5-4$"]]}},"hints":["Вычесть положительное число — шаг вниз по шкале, результат меньше уменьшаемого.","Вычесть отрицательное число — значит прибавить положительное: шаг вверх, результат больше уменьшаемого.","Ответ: $4-(-7)$, $-5-(-2)$, $-1-(-6)$ — больше; $8-3$, $-2-6$, $1{,}5-4$ — меньше."],"step":1}],"mix":1}

Два знака подряд заменяем одним

В записи разности часто стоят два знака подряд: знак действия и знак числа в скобках. Правило замены сводит их к одному знаку. Если знаки одинаковые, получается плюс; если разные — минус. На шкале это видно так: минус перед числом разворачивает шаг, а два разворота возвращают шаг в исходное направление.

Два знака подряд: одинаковые дают плюс, разные — минус — Одинаковые знаки подряд дают плюс, разные — минус

Правило

Знаки подряд заменяем одним знаком:

Правило не зависит от вида чисел: для десятичных и обыкновенных дробей шаги те же. Сначала убираем знаки подряд, потом складываем по правилам сложения. Для обыкновенных дробей, как обычно, нужен общий знаменатель.

Пример 3

Найдите $-2{,}5-(-4{,}1)$.

Шаг 1. Два минуса подряд — плюс: $-2{,}5-(-4{,}1)=-2{,}5+4{,}1$.

Шаг 2. Знаки разные: $4{,}1-2{,}5=1{,}6$; больший модуль у $4{,}1$, знак плюс.

Ответ: $1{,}6$.

Пример 4

Найдите $-\frac{2}{3}-\frac{1}{4}$.

Шаг 1. Заменим вычитание сложением: $-\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{4}\right)$. Знаки одинаковые — складываем модули, знак минус.

Шаг 2. Общий знаменатель $12$: $\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}$.

Ответ: $-\frac{11}{12}$.

Показать: несколько действий в одном выражении

Скрыть

Найдите $-3-(-8)+(-6)$.

Шаг 1. Уберем знаки подряд во всем выражении сразу: $-(-8)$ дает $+8$, $+(-6)$ дает $-6$. Получаем $-3+8-6$.

Шаг 2. Действуем слева направо: $-3+8=5$, затем $5-6=-1$.

Проверка по шкале. От $-3$ вверх на $8$ — отметка $5$, затем вниз на $6$ — отметка $-1$.

Ответ: $-1$. Если знаки подряд оставить и считать «на глаз», легко потерять минус у одного из чисел, поэтому сначала переписываем выражение, а потом считаем.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $-8-(-3)+(-5)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-10"}},"hints":["Выполняем действия слева направо. Сначала заменим вычитание сложением с противоположным.","$-8-(-3)=-8+3=-5$.","$-5+(-5)=-10$. Ответ: $-10$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите значение выражения $-5{,}2-(-1{,}7)$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["-3,5","-3.5"]}},"hints":["Заменим вычитание сложением с противоположным числом.","$-5{,}2-(-1{,}7)=-5{,}2+1{,}7$.","Знаки разные: вычитаем модули и берем знак большего модуля. Ответ: $-3{,}5$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $\\frac{1}{2}-\\frac{3}{4}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1$","$-\\frac{1}{4}$","$\\frac{1}{4}$","$\\frac{5}{4}$"],"explanations":["Числители и знаменатели вычитать нельзя: сначала общий знаменатель","","Из меньшего вычли большее: порядок уменьшаемого и вычитаемого нарушен","Модули складывают, хотя знаки после замены вычитания на сложение разные"],"answer":[1]}},"hints":["Приведем к знаменателю 4: $\\frac{1}{2}=\\frac{2}{4}$, $\\frac{3}{4}=\\frac{3}{4}$.","$\\frac{2}{4}-\\frac{3}{4}=\\frac{-1}{4}$.","Сократим. Ответ: $-\\frac{1}{4}$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Расстояние между точками — модуль разности

Вернемся к вопросу из начала урока. Утром было $-4^\circ$, днем $7^\circ$. Изменение — конечное минус начальное: $7-(-4)=7+4=11$. Потеплело на $11$ градусов. На шкале это стрелка вверх на $11$ делений: $4$ деления до нуля и еще $7$ после него.

Если спросить наоборот, $-4-7=-4+(-7)=-11$: стрелка та же, но идет вниз. Длина стрелки в обоих случаях $11$ — это расстояние между отметками $-4$ и $7$. Расстояние не бывает отрицательным, поэтому его записывают через модуль, который вы знаете из урока «противоположные числа и модуль».

Расстояние между A(−2) и B(5) равно 7: |5 − (−2)| = |−2 − 5| = 7 — Расстояние между точками A(−2) и B(5): |5 − (−2)| = |−2 − 5| = 7

Правило

Расстояние между точками координатной прямой с координатами $a$ и $b$ равно модулю их разности:

Пример 5

Точки $A(-2)$ и $B(5)$. Найдите длину отрезка $AB$.

Шаг 1. Разность координат: $5-(-2)=5+2=7$.

Шаг 2. Модуль: $\lvert 7\rvert=7$. Если вычесть в другом порядке, $-2-5=-7$ и $\lvert -7\rvert=7$ — то же число.

Проверка по шкале. От $-2$ до $0$ — два деления, от $0$ до $5$ — пять, всего $7$.

Ответ: $7$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На координатной прямой отмечены точки $A$ и $B$. Найдите расстояние между ними в единичных отрезках. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ge9j0wk0fzy7.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Расстояние между точками — модуль разности их координат: $\\lvert a-b\\rvert$.","Координаты: $A=-6$, $B=3$.","$\\lvert 3-(-6)\\rvert=\\lvert 9\\rvert=9$. Ответ: $9$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Вечером температура была 3 °C, ночью — −5 °C. Найдите изменение температуры (со знаком). Ответ в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-8"}},"hints":["Изменение — конечное значение минус начальное.","$-5-(3)$ — по шкале: от $3$ вниз до $-5$.","Спуск вниз — изменение отрицательное. Ответ: $-8$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Точки $C(-9)$ и $D(-2)$ лежат на координатной прямой. Найдите длину отрезка $CD$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Расстояние между точками — модуль разности их координат.","$\\lvert -2-(-9)\\rvert=\\lvert -2+9\\rvert=\\lvert 7\\rvert$.","Ответ: $7$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Вычитание рациональных чисел сводится к сложению, которое вы уже умеете выполнять: $a-b=a+(-b)$. Это нужно, чтобы считать изменение температуры, высоты, баланса и расстояние на координатной прямой, а в 7 классе — решать уравнения, где такие разности встречаются в каждой строке.

Часто задаваемые вопросы

Почему при вычитании отрицательного числа результат больше?

Потому что вычитание отрицательного числа заменяется прибавлением положительного: $a-(-b)=a+b$. На шкале это шаг вверх. На примере баланса: если с вас сняли долг, денег стало больше.

Можно ли менять местами уменьшаемое и вычитаемое?

Нет. Разности $a-b$ и $b-a$ — противоположные числа: $3-5=-2$, а $5-3=2$. Одинаковы у них только модули, поэтому для расстояния порядок неважен, а для изменения температуры важен: из конечного вычитают начальное.

Чем «противоположное число» отличается от «отрицательного»?

Противоположное к $b$ — число $-b$; оно может быть и положительным. Например, противоположное к $-3$ — это $3$. Поэтому в правиле $a-b=a+(-b)$ число $-b$ не обязательно отрицательное.

Зачем заменять вычитание сложением, если можно считать по шкале?

Шкала удобна для небольших целых чисел. Для чисел вроде $-2{,}5$ или $-\frac{2}{3}$ деления не посчитаешь, а правило сложения работает для любых чисел. Шкала остается для проверки знака и примерной величины ответа.

Награды за урок