6 класс Математика Рациональные числа Сложение и вычитание рациональных чисел

Сложение рациональных чисел

Содержание

Вы уже знаете, что такое модуль числа, и умеете сравнивать рациональные числа. В этом уроке научимся складывать любые рациональные числа: положительные и отрицательные, целые и дробные. Правило знаков выведем сами — из шагов по шкале термометра.

Прибавить число — значит сделать шаг по шкале

Утром термометр показывал $-7$ °C, а к обеду потеплело на 3 градуса. Какая температура стала в обед? Ответ «10» и ответ «−10» звучат одинаково уверенно, но оба неверны. Чтобы не гадать, посмотрим на сложение как на движение по шкале.

Шкала термометра — это та же координатная прямая, только поставленная вертикально: положительные числа выше нуля, отрицательные — ниже. Число — это положение столбика. Прибавить положительное число — значит подняться вверх на столько делений. Прибавить отрицательное число — опуститься вниз на столько делений, каков его модуль.

Проверим на знакомом. Сумма $2 + 3$: встаем в точку $2$ и поднимаемся на 3 деления — оказываемся в точке $5$. Это совпадает с обычной арифметикой. Сумма $2 + (-5)$: встаем в точку $2$ и опускаемся на 5 делений. Два деления до нуля и еще три ниже нуля — получаем $-3$.

Сложение — шаги по шкале: 2 + 3 = 5 и 2 + (−5) = −3 — Первое слагаемое — точка старта, второе — шаг: плюс ведет вверх, минус — вниз

Правило

Чтобы найти сумму $a + b$, встаньте на шкале в точку $a$ и сделайте шаг длиной $\lvert b \rvert$: вверх, если $b$ положительно, вниз, если $b$ отрицательно. Точка, в которой вы остановились, — значение суммы.

Пример

Найдем $4 + (-6)$ по шкале.

Встаем в точку $4$. Второе слагаемое отрицательное, его модуль равен $6$ — опускаемся на 6 делений. Четыре деления приводят в нуль, оставшиеся два — ниже нуля.

Ответ: $4 + (-6) = -2$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На прямой показаны два шага: от нуля на $-8$, затем еще на $+5$. Чему равна сумма $-8+5$? [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lp80rvetuamj.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"-3"}},"hints":["Складываем шаги: первая стрелка приводит в точку первого слагаемого, вторая сдвигает от нее.","Знаки разные: из большего модуля вычитаем меньший: $8-5=3$.","Знак — у слагаемого с большим модулем ($-8$). Ответ: $-3$."],"step":1}],"mix":1}

Два шага в одну сторону складываются

Пусть ночью было $-3$ °C, а к утру похолодало еще на 4 градуса. Это сумма $-3 + (-4)$. Встаем в точку $-3$ и опускаемся на 4 деления: $-4$, $-5$, $-6$, $-7$. Получили $-7$.

Посмотрите, что произошло. От нуля мы сначала спустились на 3 деления, потом еще на 4 — всего на $3 + 4 = 7$ делений вниз. Длины шагов сложились, а направление осталось прежним. С двумя положительными числами так же: два шага вверх дают один длинный шаг вверх.

−3 + (−4) = −7: одинаковые знаки, длины шагов складываются — Два шага вниз подряд: длины 3 и 4 складываются в 7, результат ниже нуля

Правило

Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, сложите их модули и поставьте перед результатом их общий знак.

Пример

Найдем $-7 + (-5)$ и $-1{,}5 + (-2{,}5)$.

В первой сумме оба слагаемых отрицательные. Модули: $7 + 5 = 12$. Общий знак — минус. Ответ: $-12$.

Во второй сумме тоже оба слагаемых отрицательные. Модули: $1{,}5 + 2{,}5 = 4$. Ответ: $-4$.

Проверка смыслом: сумма двух отрицательных чисел лежит ниже каждого из них — $-12$ ниже и $-7$, и $-5$.

Ошибка

Как ошибаются. Пишут $-3 + (-4) = -1$: «из большего модуля вычли меньший».

Проверка на шкале. Было $-3$ °C, похолодало еще на 4 градуса. Ответ $-1$ означает, что стало теплее, чем было, — после похолодания так не бывает. Два шага вниз подряд не поднимают столбик термометра.

Где ломается рассуждение. Вычитание модулей нужно, когда шаги идут навстречу друг другу (знаки разные). Здесь знаки одинаковые, шаги идут в одну сторону — модули складываются.

Ошибка −3 + (−4) = −1: сумма выше старта, а оба шага вниз — Ответ −1 оказался выше старта −3, хотя оба шага ведут вниз: при одинаковых знаках модули не вычитают

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $-6+(-9)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-15"}},"hints":["Знаки одинаковые: два шага вниз подряд, модули складываются, знак сохраняется.","$\\lvert -6\\rvert+\\lvert -9\\rvert=6+9=15$.","Оба слагаемых отрицательные, значит, сумма отрицательная. Ответ: $-15$."],"step":1},{"content":"Иксератопс записал: $-5+(-6)=-1$ — «из большего модуля вычли меньший». Что верно?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $-5+(-6)=-1$","Ошибка: верно $-5+(-6)=11$","Ошибка: верно $-5+(-6)=30$","Ошибка: верно $-5+(-6)=-11$"],"explanations":["Два шага вниз подряд дают результат ниже каждого слагаемого, а не ближе к нулю","Сумма двух отрицательных чисел не бывает положительной","Числа умножили, а нужно было сложить",""],"answer":[3]}},"hints":["Одинаковые знаки — два шага в одну сторону.","Модули складываем: $5+6=11$, знак сохраняем.","Ответ: $-11$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Шаги навстречу: знак решает больший шаг

Вернемся к утренней задаче: $-7 + 3$. Встаем в точку $-7$ и поднимаемся на 3 деления: $-6$, $-5$, $-4$. В обед было $-4$ °C.

Теперь разберемся, почему получилось именно так. Первое слагаемое — 7 делений вниз от нуля, второе — 3 деления вверх. Шаги направлены навстречу: подъем на 3 деления «съедает» три деления спуска. Осталось $7-3 = 4$ деления, и они ниже нуля, потому что спуск был длиннее подъема.

−7 + 3 = −4: шаги навстречу, остаток — разность модулей — Шаги навстречу: 3 деления подъема гасят 3 деления спуска, остаток 4 деления — вниз, потому что спуск длиннее

Правило

Чтобы сложить два числа с разными знаками, из большего модуля вычтите меньший и поставьте перед результатом знак того слагаемого, у которого модуль больше.

Пример

Найдем $-9 + 4$ и $13 + (-8)$.

В первой сумме модули $9$ и $4$. Больший модуль у $-9$, значит, знак суммы — минус. Из большего вычитаем меньший: $9-4 = 5$. Ответ: $-5$.

Во второй сумме модули $13$ и $8$. Больший модуль у $13$, знак суммы — плюс. $13-8 = 5$. Ответ: $5$.

Заметьте: знак суммы можно назвать до всякого счета — достаточно сравнить модули.

Почему знак берется у большего модуля

Скрыть

Разделим длинный шаг на две части: одна равна короткому шагу, другая — остаток. Короткий шаг и равная ему часть идут навстречу и возвращают столбик туда, откуда начали — туда и обратно. Остается остаток: он идет в сторону длинного шага. Поэтому знак суммы — знак слагаемого с большим модулем, а модуль суммы — разность модулей. Если модули равны, остатка нет и сумма равна нулю.

Проверьте себя в модели ниже. Для каждой пары слагаемых сначала предскажите сумму или ее знак, а потом посмотрите, как шаги на шкале приведут к ответу.

m6-slozhenie-racionalnyh-predskazhi-znak

{"questions":[{"content":"Не вычисляя, определите знак суммы $-47+25$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Зависит от порядка слагаемых","Отрицательный","Нуль","Положительный"],"explanations":["Сложение переместительно: $a+b=b+a$, порядок не влияет","","Нуль получается только у противоположных чисел","Знак суммы — знак слагаемого с большим модулем: $\\lvert -47\\rvert$ больше"],"answer":[1]}},"hints":["При разных знаках знак суммы такой же, как у слагаемого с большим модулем.","$\\lvert -47\\rvert=47$, $\\lvert 25\\rvert=25$; больший модуль у $-47$.","Ответ: отрицательный."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В 8 часов утра температура была −11 °C, к полудню она повысилась на 6 градусов. Какая температура была в полдень? Ответ в градусах Цельсия. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-5"}},"hints":["Повышение — шаг вверх по шкале, понижение — шаг вниз.","$-11+6=-5$.","Ответ: $-5$."],"step":1}],"mix":1}

Шаг туда и такой же обратно возвращают в нуль

Что будет, если модули слагаемых с разными знаками равны? Например, $2{,}5 + (-2{,}5)$: поднялись на 2,5 деления от нуля и опустились на столько же. Мы вернулись в нуль. По правилу то же самое: $2{,}5-2{,}5 = 0$, а у нуля знака нет.

Еще одно наблюдение. Сравните $-6 + 9$ и $9 + (-6)$. В первом случае стартуем из $-6$ и поднимаемся на 9 делений, во втором — стартуем из $9$ и опускаемся на 6. Пути разные, а конец один: точка $3$. Шаги можно делать в любом порядке, итог от этого не зависит.

Туда и обратно — нуль; порядок слагаемых не меняет сумму — Слева: шаг вверх и равный шаг вниз дают нуль. Справа: два разных порядка шагов приводят в одну точку 3

Свойства сложения

Сумма противоположных чисел равна нулю:

От перестановки слагаемых сумма не меняется — и для чисел с разными знаками тоже:

Если слагаемых три и больше, складывайте по порядку: результат первого сложения становится стартом для следующего шага. Например, $-2 + (-3) + 6$: сначала $-2 + (-3) = -5$, затем $-5 + 6 = 1$.

{"questions":[{"content":"Какое число надо прибавить к числу $12$, чтобы получить нуль? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"-12"}},"hints":["Сумма равна нулю, когда слагаемые отличаются только знаком: два шага туда и обратно.","Число, противоположное $12$, — $-12$.","Проверка: $12+(-12)=0$. Ответ: $-12$."],"step":1},{"content":"Найдите значение выражения $-8+5+(-3)$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"-6"}},"hints":["Складываем по порядку слева направо.","$-8+5=-3$.","$-3+(-3)=-6$. Ответ: $-6$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Дроби и долги складываются по тем же правилам

Правило знаков ничего не говорит о том, целые числа или дробные. Шаг может быть длиной в четверть деления — направление и сравнение модулей работают так же. Нужно лишь уметь складывать и вычитать сами модули, то есть обыкновенные и десятичные дроби.

−3/4 + 1/4 = −1/2 на шкале с делениями по четвертям — Шкала, разделенная на четверти: от −3/4 шаг вверх на 1/4 приводит в −1/2

Пример

Найдем $-\frac{3}{4} + \frac{1}{4}$ и $-\frac{5}{6} + \frac{1}{2}$.

В первой сумме знаки разные. Модули $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{4}$; больший — у $-\frac{3}{4}$, знак суммы — минус. $\frac{3}{4}-\frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$. Ответ: $-\frac{1}{2}$.

Во второй сумме сначала приведем дроби к общему знаменателю $6$: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$. Модули $\frac{5}{6}$ и $\frac{3}{6}$, больший — у $-\frac{5}{6}$. $\frac{5}{6}-\frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. Ответ: $-\frac{1}{3}$.

Вторая опора для знаков — деньги. Долг удобно записывать отрицательным числом: баланс телефона $-150$ рублей означает, что вы должны оператору 150 рублей. Пополнение счета — прибавление положительного числа.

Задача

Баланс телефона был $-150$ рублей. Сначала на счет положили 100 рублей, потом еще 80 рублей. Каким стал баланс?

После первого пополнения: $-150 + 100$. Знаки разные, больший модуль у $-150$: $150-100 = 50$, баланс $-50$ рублей — долг уменьшился, но остался.

После второго пополнения: $-50 + 80$. Больший модуль у $80$: $80-50 = 30$. Ответ: баланс $30$ рублей, долга больше нет.

{"questions":[{"content":"Найдите значение выражения $-\\frac{2}{3}+\\frac{1}{6}$.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$-\\frac{1}{9}$","$-\\frac{5}{6}$","$-\\frac{1}{2}$","$\\frac{1}{2}$"],"explanations":["Числители и знаменатели складывать нельзя: сначала общий знаменатель","Складывают модули при разных знаках: здесь знаки разные, модули надо вычесть","","Знак результата взят неверно: он у слагаемого с большим модулем"],"answer":[2]}},"hints":["Приведем к знаменателю 6: $-\\frac{2}{3}=-\\frac{4}{6}$, $\\frac{1}{6}=\\frac{1}{6}$.","Знаки разные: вычитаем модули: $\\frac{4}{6}-\\frac{1}{6}=\\frac{3}{6}$.","Знак — у слагаемого с большим модулем. Ответ: $-\\frac{1}{2}$ (после сокращения)."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите значение выражения $-3{,}6+1{,}9$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["-1,7","-1.7"]}},"hints":["Знаки разные: из большего модуля вычитаем меньший.","$3{,}6-1{,}9=1{,}7$.","Знак — у слагаемого с большим модулем ($-3{,}6$). Ответ: $-1{,}7$."],"step":1},{"content":"Баланс телефона равен −120 рублей (это долг). На счет положили 200 рублей. Каков баланс после пополнения? Ответ в рублях. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"80"}},"hints":["Долг — отрицательное число, пополнение — положительное: нужно сложить.","$-120+200$: знаки разные, из 200 вычитаем 120.","$200-120=80$. Ответ: $80$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Сложение рациональных чисел встречается всюду, где есть «выше и ниже нуля»: температура, баланс счета, высота над уровнем моря. Дальше на этом правиле будет держаться вычитание: в следующем уроке разность сведем к сложению. Если правило забылось, представьте шкалу термометра и сделайте шаги.

Часто задаваемые вопросы

Почему при одинаковых знаках модули складывают, а при разных — вычитают?

При одинаковых знаках оба шага идут в одну сторону, и их длины складываются. При разных знаках шаги идут навстречу: один гасит часть другого, поэтому остается разность длин.

Как быстро понять, какой знак будет у суммы?

Если знаки слагаемых одинаковые, у суммы тот же знак. Если разные, сравните модули: знак суммы такой же, как у слагаемого с большим модулем. Например, в $-23 + 15$ больший модуль у $-23$, значит, сумма отрицательная.

Может ли сумма двух чисел быть меньше каждого из них?

Да, если оба числа отрицательные: $-3 + (-4) = -7$, и $-7$ меньше и $-3$, и $-4$. Прибавление отрицательного числа всегда уменьшает: это шаг вниз по шкале.

Зачем ставить скобки в записи $5 + (-3)$?

Два знака действия подряд читаются неоднозначно: в записи $5+-3$ непонятно, где знак сложения, а где знак числа. Скобки показывают, что $-3$ — это одно число, второе слагаемое.

Нужен ли отдельный способ для дробей?

Нет. Правило знаков то же самое, меняется только счет модулей: дроби приводят к общему знаменателю, а у десятичных выравнивают запятые.

Награды за урок