Золотое сечение

Мы уже знакомы с различными пропорциями. Но существует пропорция, получившая название золотого сечения и ставшая синонимом красоты и гармонии. Что она из себя представляет? Возможно ли красоту выразить математически? На эти вопросы поможет дать ответ наш сегодняшний урок.

Что называют золотым сечением?

Наш мир связан с числами. Некоторые из этих чисел имеют собственные имена, например, «число пи» ($\pi$) или «гугол». Сегодня мы поговорим о золотом сечении и связанном с ним «числе фи» ($\Phi$). Его можно обнаружить, рассматривая картины, архитектурные здания, геометрические фигуры, а также растения и животные.

Из работ древнегреческого математика Евклида до нас впервые дошла задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, которое впоследствии стали называть золотым сечением.

Золотое сечение — это пропорциональное деление отрезка на  две неравные части, при котором большая ее часть относится к меньшей так, как весь отрезок относится к ее большей части.
$$\frac ab=\frac{a+b}a$$

Точка $C$ не делит отрезок $AB$ на две равные части, но именно ее называют также «золотой серединой».

При этом проведенные вычисления показали, что каждое из отношений равно бесконечной десятичной дроби $1.6180339… \space.$ На практике пользуются ее приближенным значением в виде $1.618$ или $1.62$. Это число стали обозначать греческой буквой «фи» ($\Phi$).

Числа Фибоначчи

Также с числом $\Phi$ связано имя итальянского математика Леонардо Пизанского по прозвищу Фибоначчи, жившего в $XII$ веке. Именно он познакомил нас с последовательностью чисел, известной как ряд Фибоначчи: $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 …$$

Каждое число в этом ряду, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих чисел, а отношение соседних чисел постепенно приближается к числу $\Phi$.

{"questions":[{"content":"Укажите следующее число в ряду Фибоначчи: $21, 34, 55$, [[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$68$","$76$","$89$","$110$"],"answer":2}},"hints":["Каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел.","Сложите два последних числа."]}]}

Золотой прямоугольник и спираль

Еще в прошлом веке был проведен эксперимент, в котором предлагалось среди различных прямоугольников выбрать наиболее привлекательный для восприятия. Тогда большинство участников выбрало прямоугольник, отношение длины и ширины которого было равно $1.618$. Такой прямоугольник стали называть «золотым».

Если взять золотой прямоугольник и вписать в него квадрат, сторона которого равна ширине прямоугольника, то мы получим новый «золотой» прямоугольник меньшего размера. Если повторить это действие несколько раз, то получим ряд вложенных друг в друга прямоугольников. Соединяя вершины квадратов дугой, получим «золотую» спираль.

$$\frac{a+b}a=\frac ab\approx1.618$$

{"questions":[{"content":"Выберите длину и ширину «золотого» прямоугольника.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$15$ и $7$","$34$ и $21$","$100$ и $50$","$13$ и  $6$"],"answer":[1]}},"hints":["Эти числа следует искать среди соседних чисел ряда Фибоначчи.","Отношение чисел должно быть равно числу $\\Phi$."]}]}

Золотая пропорция в природе

Люди еще в древности заметили закономерности, присущие многим природным формам.  Ветви деревьев и листья на стебле растения не растут один над другим. Они располагаются по спирали, чтобы обеспечить оптимальный рост и максимум солнечного света новым побегам. Похожее расположение мы видим у плодов ананаса, сосновой шишки и соцветий подсолнечника.

Так, семена подсолнечника растут по спиралям двух видов: по часовой стрелке и против нее. Число спиралей этих двух видов могут быть разными, но чаще всего они являются соседними числами ряда Фибоначчи, а значит их отношение примерно равно $1.618$.

Заметим, что размеры частей тела человека также содержат число $\Phi$. Гениальный Леонардо да Винчи соединял в своих творениях математику и живопись. На его рисунке «Витрувианский человек» (1492) изображена мужская фигура, вписанная в круг и в квадрат, которая демонстрирует идеальные пропорции человеческого тела.

Согласно этим представлениям тело человека линией талии делится в отношении золотого сечения, так же как и брови делят все лицо человека; а ширина рта относится к ширине носа также как число $\Phi$.

Отношение частей тела человека также соответствует золотому сечению.

Очертания «золотой» спирали  можно увидеть в раковинах различных моллюсков, формах плодов и строении галактик.

Золотое сечение в архитектуре и живописи

Прекрасные творения античности часто основаны на «золотых» соотношениях. Так, фасад древнегреческого храма Парфенон ($V$ век до н. э) является золотым прямоугольником. От первой буквы в имени его создателя, архитектора Фидия, и произошло название числа $\Phi$.

Художники эпохи Возрождения строго следовали канонам золотого сечения. Леонардо да Винчи использовал это отношение во многих своих произведениях, например, в «Моне Лизе» и в «Тайной вечере».

Живописцы знали, что картина будет смотреться лучше, если главный объект находится на линии золотого сечения. Так, на картине художника Николая Ге «А. С. Пушкин в селе Михайловском» фигура поэта находится на линии золотого сечения, также как и центральная сосна на картине Ивана Шишкина «Корабельная роща».

Таким образом, золотое сечение столетиями интересовало математиков, художников, архитекторов, поэтов и музыкантов. Можно привести в качестве примеров много объектов, близких к пропорции золотого сечения, однако в природе сложно найти абсолютно точные значения.

Представления  о том, что во всех древних архитектурных сооружениях этот принцип использовался неукоснительно, являются скорее заблуждениями. Однако человек может создавать предметы, подчиняющиеся этому правилу, если желает сделать свои творения красивыми и гармоничными.

Часто задаваемые вопросы