Пропорции

После того, как мы познакомились с понятием «отношение», пришло время поговорить о пропорциях. Пропорции были известны еще в Древнем Египте, однако основательно изложил теорию о них Пифагор. С их помощью быстро и легко решаются многие задачи, поэтому они так часто применяются на практике.

Пропорция

Прежде всего вспомним понятие отношения:

Отношение двух чисел есть частное этих чисел.

Два отношения могут быть равны между собой или нет. Например, на следующем рисунке отношение кругов и ромбов в каждом наборе фигур одинаково.

В первом наборе на каждый круг приходятся $3$ ромба, то есть отношение равно  $\frac{1}{3}$. Во втором наборе на каждые два круга приходятся $6$ ромбов, то есть отношение равно  $\frac{2}{6}$. Отношения равны между собой, значит, можно записать их равенство, которое называется пропорцией (от латинского «proportio», что означает «соразмерность частей»).

$$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$$

Приведем еще один пример. Например, частные $12 : 2$ и $30 : 5$ равны одному и тому же числу $6$. Значит, можно записать: $$12 : 2 = 30 : 5.$$

Пропорция — это верное равенство двух отношений.

Пропорцию в общем виде можно записать следующим образом:

Запись читается так: «$a$ относится к $b$, как $c$ относится к $d$», но можно прочесть иначе: «отношение $a$ к $b$ равно отношению $c$ к $d$».  При этом предполагается, что все числа не равны нулю.

Члены пропорции делятся на крайние и средние. Название определяется тем, где стоят эти числа: по краям или в средней части.

{"questions":[{"content":"Укажите крайние  и средние члены пропорции: <br /> $35 : 5 = 70 : 10$.     [[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Крайние члены","Средние члены"],"items":[["$35$ и $10$"],["$5$ и $70$"],["$35$ и $5$","$70$ и $10$"]]}},"hints":["Крайние члены пропорции располагаются по краям.","Средние члены располагаются в середине пропорции."]}]}

Основное свойство пропорции

Как можно проверить, что пропорция верна? Первый способ: найти отношение каждой части равенства, то есть выполнить дважды действие деления. Второй способ: применить основное свойство пропорции.

В пропорции $a : b = с : d$ произведение крайних членов равно произведению ее средних членов: $a\cdot d=b\cdot c.$

Действительно, в описанном выше равенстве $12 : 2 = 30 : 5$ достаточно проверить, что  $12\cdot 5=2\cdot 30$.

Зачем нам два способа, если и первый способ хорошо работает?

Показать ответ

Скрыть

Если записать пропорцию с помощью дробной черты, то крайние и средние члены будут находиться «крест на крест», поэтому часто основное свойство называют правилом «перекрестного» умножения.

Заметим также, что если какие-либо числа $a$, $b$, $c$ и $d$ таковы, что выполняется условие $a\cdot d=b\cdot c$, то из этих чисел можно составить пропорцию $a : b = с : d$.

Пример

Составьте пропорцию из чисел $6$, $8$, $9$, $12$.

Показать решение

Скрыть

Можно сделать вывод еще об одном свойстве пропорции.

В пропорции можно менять местами крайние члены или средние члены между собой; а также можно «перевернуть» каждое отношение.

$$\frac ab=\frac cd\;\;или\;\;\frac ac=\frac bd\;или\;\;\frac db=\frac ca\;или\;\;\frac ba=\frac dc$$

Составляя из верной пропорции новые равенства следует, тем не менее, проверять каждую из них  «перекрестным» умножением.

{"questions":[{"content":"Каково основное свойство для пропорции $$\\frac{m} {n}=\\frac{s} {p}?$$  [[choice-4]]","widgets":{"spell-1":{"type":"spell"},"choice-4":{"type":"choice","options":["$m\\cdot n=p\\cdot s$","$m\\cdot p=n\\cdot s$","$m\\cdot s=n\\cdot p$"],"answer":[1]}},"hints":["Определите крайние и средние члены пропорции.","Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов."]}]}

Нахождение неизвестного числа

Знание основного свойства пропорции позволяет находить ее неизвестный член.

Задача 1

Найдите неизвестный член пропорции $$\frac{15}{N}=\frac{5}{7}.$$

Показать решение

Скрыть

Задача 2

Найдите неизвестный член пропорции: $$А : 14=1.2 : 0.7.$$

Показать решение

Скрыть

Задача 3

Найдите неизвестный член пропорции: $$\frac{2}{3}: 7 = G : 6$$

Показать решение

Скрыть

Пропорции применяются в кулинарии и географии, дизайне, физике и химии, экономике и производстве, поскольку они помогают быстро получать результат, анализировать данные и делать прогнозы. Пожалуй, это самый распространенный инструмент для различных вычислений.

Часто задаваемые вопросы