Отношение двух чисел

Иногда для решения разных жизненных и математических задач нам приходится сравнивать числа. И в зависимости от задачи, мы сравниваем их, находя разность чисел или частное чисел (во сколько раз одно больше другого). Частное двух чисел мы теперь будем называть отношением этих чисел.

Для чего нужно отношение?

Для строительства, астрономии, торговли и разделения урожая египетские геометры использовали простые отношения для расчета площадей и объемов. До наших времен даже сохранились задачи о разделении хлеба между людьми в определенном отношении.

И мы можем представить, например, что человеку более высокого уровня полагалось больше продукта: допустим, одному в три раза больше, чем другому. Получается отношение $3 : 1$. Отношение — это не дробь, а сравнение.

Что такое отношение?

На столе $4$ яблока и $2$ груши. Как можно сравнить их количество? 

• найти разность: $4 – 2 = 2 $. Значит, яблок на $2$ больше, чем груш (картинка);
• найти частное: $4 : 2 = 2 $. Значит яблок в $2$ раза больше, чем груш.

Частное двух чисел $\frac{a}{b}$ или $a : b$ называют отношением.

Отношение показывает, во сколько раз первое число больше второго, или какую часть первое число составляет от второго.

Так же отношения, как и дроби, можно сокращать, если оба числа делятся на одно и то же: $4 : 2 = 2 : 1$.

{"questions":[{"content":"Отношением двух чисел называют их <br />[[fill_choice_big-1]].","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["сумму","разность","произведение","частное"],"answer":3}}}]}

{"questions":[{"content":"Дано отношение $144:12$. Какое отношение получим, если это сократить?<br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5:1$","$5:2$","$12:1$","$12:4$"],"answer":[2]}}}]}

Практика

В задачах часто бывает сразу дано отношение. Принимая отношение за части, можно с легкостью решить задачу. Например:

Показать решение

Скрыть

{"questions":[{"content":"В магазин доставили конфеты «Ромашка», «Одуванчик» и «Анютины глазки» в отношении $1 : 3 : 7$. Известно, что конфет «Анютины глазки» привезли $14$ $кг$. Сколько $кг$ конфет «Одуванчик» привезли?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$1$","$6$","$7$","$11$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Найдем, сколько килограммов конфет приходится на $1$ часть, разделив массу конфет «Анютины глазки» на число частей: $14:7 = 2$.","Если $1$ часть составляет $2$ $кг$, то конфет «Одуванчик» привезли: $2\\cdot 3 = 6$ $кг$."]}]}

Взаимно обратные отношения

Первое число в отношении — это то, что сравнивают, второе число в отношении — это то, с чем сравнивают.

{"questions":[{"content":"Образавр изучал курс математики и заработал за урок $15$ обракоинов, а Решавр — $9$. Какое отношение получится, если сравнить количество обракоинов Решавра с обракоинами Образавра? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$15:9$","$9:15$","$6:9$","$9:6$"],"answer":[1]}},"hints":["Обратите внимание, чьи обракоины нужно сравнить."]}]}

В задаче с яблоками сравнили яблоки с грушами, поэтому отношение $4 : 2$. Если же сравнить груши с яблоками, то получится отношение $2 : 4$.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте взаимно обратные отношения.[[matcher-168]]","widgets":{"matcher-168":{"type":"matcher","labels":["$144:37$","$60:5$","$3:2$"],"items":["$37:144$","$5:60$","$3:2$","$3:1$"]}}}]}

Виды отношений

Иногда отношение — это просто сравнение, а бывает, отношение создает новую величину.

Машина проехала за $3$ часа $150$ $км$. Если найти отношение расстояния к времени, получится новая величина — скорость:

$150$ : $3$ = $50$ $км/ч$ — скорость машины.

То есть найти отношение можно как у однородных величин (количество к количеству, вес к весу и т. д.), так и разнородных (расстояние на время, площадь на сторону и т. д.).

Получается, в виде отношений можно выразить разные виды величин: концентрация раствора, скорость автомобиля, производительность труда, урожайность полей, цены товаров.

{"questions":[{"content":"Чему равна производительность труда мастера, если он делает $40$ деталей за $5$ часов? [[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$5$ деталей в час","$8$ деталей в час","$0,125$ деталей в час","$0,8$ деталей в час"],"answer":[1]}}}]}

Решение задач

Применим полученные знания при решении задач.

Задача 1

{"questions":[{"content":"Соотнесите одинаковые отношения:[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$18:6$","$21:3$","$450:30$","$72:12$"],"items":["$9:3$","$7:1$","$15:1$","$6:1$"]}}}]}

Задача 2

Собрали $5$ $т$ пшеницы и кукурузы в отношении $1 : 4$. Сколько тонн кукурузы собрали?

Показать решение

Скрыть

Часто задаваемые вопросы