Проценты
В рамках данного урока мы расскажем о том, что такое проценты, как они связаны с десятичными дробями, как найти процент от числа и целое число по известному проценту, а также что такое процентное соотношение.
Наверняка вы не раз встречали слово «процент». Например, на бутылках молока пишут «$2.5\%$», «$3.2\%$», на баночках сметаны – «$15\%$», «$20\%$». Вы знаете, что в банке кредит дают под проценты, а в прогнозе погоды говорится о влажности воздуха – тоже в процентах. Что из себя представляют проценты и как они вычисляются в математике?
Что такое проценты
Слово «процент» происходит от латинского «pro centum», которое обозначает «на сто», то есть – сотая доля. Проценты обозначаются при помощи специального значка «$\%$».
Процент — это сотая доля числа, принимаемого за целое.
Почему именно такой знак?
Скрыть
Знак «$\%$» произошёл от сокращения – сначала употребляли итальянский термин per cento, потом его сократили до pco.
В те времена много записей велось от руки, и в какой-то момент буква «с», похожая на «о», тоже превратилась в кружочек, а между ними стали писать знак дроби.
Важно
Читая примеры и задачи с значком процента, важно правильно склонять это слово. Например:
- «влажность воздуха $20\%$» будет звучать как «влажность воздуха двадцать процентов»,
- «молоко $3,2\%$» означает «молоко с жирностью три целых, две десятых процента».
Процент как сотая часть
В повседневной жизни вы часто сталкиваетесь с необходимостью использования процентов. Например, результаты теста могут быть выражены в процентах ($85\%, 55\%$), новая стоимость товара со скидкой (минус $20\%$).
$$1\% = 0.01$$
При сравнении двух величин за $100\%$ чаще всего принимается та величина, которая больше. Например, если мы говорим «$5\%$ учащихся школы», значит, $100\%$ — это все учащиеся школы.
Иногда за $100\% $ принимают исходную величину. Например, если говорится, что прибыль от фильма составила $134\%$, значит, расходы на фильм полностью окупились (на $100\%$), и плюс он принёс доход в размере $34\%$ от потраченных на съёмки денег.
Десятичные дроби и проценты
Бросается в глаза сходство процентов и сотых: действительно, и там, и там мы говорим о сотой доле.
Таким образом, можно легко переводить десятичные дроби в проценты и наоборот.
На рисунке показано, что закрашенная часть прямоугольника равна $\frac{1}{10}$ или $0.10$. Также этот участок составляет $10\%$ от целого.
Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать значок процентов и разделить число на 100.
Давайте рассмотрим другой рисунок. Закрашено $25\%$ квадрата. Какая это доля?
Показать решение
Скрыть
Разделим $25$ на $100$. У нас получится $0.25. $
Можно проверить: $0.25$ – это $\frac{1}{4}$. По клеточкам видно, что это действительно так – $25\%$ составляют $\frac{1}{4}$ квадрата.
Чтобы перевести десятичную дробь в проценты, нужно умножить число на $100$ и добавить значок процентов.
Например, $0.2$ от числа – это $20\%$
Нахождение процентов от числа
Задача
В зале кинотеатра «Орбита» $300$ мест. Сейчас $12\%$ мест свободно.
Сколько ещё зрителей может вместить зал?
Сначала определим, что мы принимаем за $100\%$. Это будет наибольшее число – то есть $300$. Теперь нам нужно найти $1\%$.
Так как $300$ мест – это $100\%$, то, чтобы найти $1%$, нам нужно разделить $300$ на $100$. Это $3$, то есть $3$ места составляют $1$ процент посадочных мест.
Чтобы найти $12\%$ нужно умножить $12$ на $3$. У нас получится $36$. Следовательно, ещё $36$ зрителей могут сесть в зале.
Чтобы найти процент от числа, нам нужно число разделить на $100$ (так мы узнаем, сколько содержится в одном проценте), а затем умножить полученный результат на число процентов.
Нахождение целого по известным процентам
Задача
В аквариуме $5$ золотых рыбок, что составляет $25\%$ от общего числа рыбок в аквариуме.
Сколько всего рыбок в аквариуме?
Общее число рыбок – это $100\%$. Чтобы найти их, нужно сначала найти $1\%$.
$1\%$ – это не одна рыбка. Это сколько-то рыбок, составляющих сотую долю всех рыбок в аквариуме. Чтобы найти, сколько рыбок составляет эту долю, нужно разделить $5$ на $25$, получится $0.2$.
Здесь легко совершить ошибку
Скрыть
Ведь удобнее (и логичнее!) было бы разделить $25$ на $5$. В этом случае у нас получится целое число, $5$ рыбок. Почему же мы делим меньшее на большее?
Предположим, что нам действительно нужно было делить проценты на число, которое их составляет. Тогда один процент – это $5$ рыбок, а $100\%$ – это $500$ рыбок. Но ведь тогда получится, что $25$ процентов – это $25 \cdot 5 = 125$ рыбок! А у нас в задаче сказано, что $25\%$ – это всего лишь $5$.
Следовательно, всё-таки нужно было делить $5$ на $25$. Не беспокойтесь, что в результате получатся «кусочки» рыбок. Это просто какое-то количество от общего числа.
Чтобы узнать, чему равны $100\%$, умножим полученное число на $100$. У нас получится $20$ — это и будет общее число рыбок.
Для нахождения одного процента нужно разделить число, составляющее $N$ процентов, на $N$.
Зная, какое число составляет один процент, мы можем вычислить целое, умножив это число на $100$.
Вычисление процентного соотношения
Чтобы найти процентное соотношение двух чисел, нужно одно число разделить на другое, а результат умножить на $100$.
Процентное соотношение – это то, какой процент от целого составляет данное число.
Задача
В книге $120$ страниц. Образавр прочитал $60$ страниц.
Сколько процентов книги он прочитал?
$120$ страниц – это вся книга, то есть $100\%$. Образавр прочитал $\frac{60}{120}$ книги. Нам нужно вычислить, сколько это. Разделим $60$ на $120$, получается $0.5$
Каждая сотая равна $1\%$ книги, значит, сколько сотых прочитал Образавр, столько и процентов. Умножаем $0.5$ на $100$, у нас получается $50\%.$
Часто задаваемые вопросы
Чтобы перевести проценты в дробь, нужно убрать значок процентов и разделить число на $100$.
нам нужно число разделить на $100$, а затем умножить полученный результат на число процентов.
Зная, какое число составляет один процент, мы можем вычислить целое, умножив это число на $100$.
Понимание процентов помогает принимать более осознанные решения в повседневной жизни, планировать свои расходы и оценивать результаты своей учебной деятельности. Это важный навык, который пригодится не только в школе, но и во взрослой жизни.
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти