Подобные многоугольники. Гомотетия. Связь периметров и площадей подобных фигур

В прошлых главах мы говорили о преобразованиях. Вы уже знаете, что при движении фигура может изменить свое положение на плоскости, но ее форма и размеры сохраняются. Например, фигуру можно перенести, повернуть или отразить, и она останется равной исходной.

Но есть и другие преобразования. При них фигура может стать больше или меньше, но при этом сохранить свою форму. Такие преобразования связаны с подобием и гомотетией.

С идеей подобия мы уже встречались, когда говорили о треугольниках. Теперь посмотрим на данную тему шире: рассмотрим не только треугольники, но и другие фигуры, узнаем, что такое гомотетия.

Подобные многоугольники

Вспомним, что значит подобные треугольники.

Подобными называются треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Записывается это так: $\triangle ABC \sim \triangle KLM$.

В случае подобия важно понимать, какие из сторон являются соответствующими. В данных треугольниках:

$AB \leftrightarrow KL$, $BC \leftrightarrow LM$, $AC \leftrightarrow KM$.

Ведь, если взять отношение соответствующих сторон, то все они будут равны одному и тому же значению. Как вы помните, это значение называется коэффициентом пропорциональности и обозначается буквой $k$.

То есть, если $\triangle ABC \sim \triangle KLM$, то:

$$\dfrac{AB}{KL} = \dfrac{BC}{LM} = \dfrac{AC}{KM} = k.$$

Отношения соответствующих сторон можно записывать и в обратном порядке. Главное — соблюдать единый принцип: в числителях всех отношений должны стоять стороны одного треугольника, а в знаменателях — соответствующие стороны другого треугольника.

$$\dfrac{KL}{AB} = \dfrac{LM}{BC} = \dfrac{KM}{AC} = k.$$

С другими фигурами работает тот же принцип.

Например, любые два квадрата подобны. У каждого квадрата все углы прямые, а все стороны равны между собой.

Поэтому один квадрат можно получить из другого увеличением или уменьшением всех сторон в одно и то же число раз.

Любые две окружности также подобны. Радиусы могут быть разными, но форма самой окружности остается прежней.

У других любых подобных многоугольников сохраняется такая же зависимость между углами и сторонами. Соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Два многоугольника называются подобными, если у них одинаковое число сторон, соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Такую же взаимосвязь имеют и другие линейные элементы подобных многоугольников.

Например, соответствующие диагонали тоже изменяются в одно и то же число раз. Если стороны одного многоугольника в $k$ раз больше соответствующих сторон другого, то и соответствующие диагонали будут больше в $k$ раз.

То есть, если $ABCDE \sim A_1B_1C_1D_1E_1$, то $\dfrac{AB}{A_1B_1} = \dfrac{AC}{A_1C_1} = \dfrac{CE}{C_1E_1} = k$.

Итак, мы перешли от знакомого случая — подобия треугольников — к более общему понятию подобия многоугольников.

Для фигур с большим числом сторон рассуждение остается тем же: нужно правильно сопоставить соответствующие элементы.

{"questions":[{"content":"Пусть $ABCDE \\sim A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}$. Какое равенство отношений записано верно?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{AB}{A_{1}B_{1}} = \\dfrac{BC}{B_{1}C_{1}} = \\dfrac{CD}{C_{1}D_{1}} = \\dfrac{DE}{D_{1}E_{1}} = \\dfrac{EA}{E_{1}A_{1}}$","$\\dfrac{AB}{A_{1}B_{1}} = \\dfrac{B_{1}C_{1}}{BC} = \\dfrac{CD}{C_{1}D_{1}} = \\dfrac{D_{1}E_{1}}{DE} = \\dfrac{EA}{E_{1}A_{1}}$","$\\dfrac{AB}{BC} = \\dfrac{A_{1}B_{1}}{B_{1}C_{1}} = \\dfrac{CD}{DE}$","$\\dfrac{AB}{A_{1}C_{1}} = \\dfrac{BC}{B_{1}D_{1}} = \\dfrac{CD}{C_{1}E_{1}}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["В отношениях нужно сравнивать только соответствующие стороны.","В числителях всех дробей должны стоять стороны одного многоугольника, а в знаменателях — соответствующие стороны другого."]}],"mix":1}

Гомотетия

В предыдущих главах мы знакомились с таким понятием, как преобразование. Преобразования могут быть разными: при одних форма фигуры изменяется, а при других — нет.

Например, при движении фигура может перенестись, повернуться или отразиться. Ее положение изменится, но форма и размеры останутся прежними. То есть движение связано с равенством фигур.

Гомотетия — это тоже преобразование. Но при гомотетии фигура не просто меняет свое положение на плоскости, а также может увеличиться или уменьшиться. При этом ее форма не искажается.

Следовательно, гомотетия связана с подобием. Чтобы лучше понять, как она работает, рассмотрим ее на примерах точки и треугольника.

Пусть дана точка $O$ и точка $A$.

Построим точку $A_1$ так, чтобы точки $O$, $A$ и $A_1$ лежали на одной прямой, а расстояние от $O$ до точки $A_1$ было в $k$ раз больше расстояния от $O$ до точки $A$.

То есть: $\dfrac{OA_1}{OA} = k$ или $OA_1 = k \cdot OA$.

В этом случае говорят, что точка $A_1$ получена из точки $A$ гомотетией. Причем, точка $O$ называется центром гомотетии, а $k$ — коэффициентом гомотетии.

Если при такой гомотетии каждая точка фигуры переходит в новую точку, то получается новая фигура.

Пусть треугольник $ABC$ переходит в треугольник $A_1B_1C_1$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$.

Тогда точки $A$ и $A_1$ лежат на одной прямой с точкой $O$, точки $B$ и $B_1$ — на одной прямой с точкой $O$, точки $C$ и $C_1$ — на одной прямой с точкой $O$.

При этом:

$$\dfrac{OA_1}{OA} = \dfrac{OB_1}{OB} = \dfrac{OC_1}{OC} = k.$$

Сделаем выводы.

Гомотетия — это преобразование, при котором все точки фигуры перемещаются по прямым, проходящим через одну и ту же точку (центр гомотетии), а расстояния от этой точки до соответствующих точек изменяются в $k$ раз.

Причем, если $k > 1$, фигура увеличивается, если $0 < k < 1$ — уменьшается, а при $k = 1$, фигура не меняет своих размеров.

Гомотетия не искажает форму фигуры. Поэтому фигура и ее образ при гомотетии являются подобными.

{"questions":[{"content":"При гомотетии с центром $O$ точка $A$ переходит в точку $A_{1}$. Какое условие должно выполняться?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Точки $O$, $A$ и $A_{1}$ лежат на одной прямой, и $OA_{1} = k \\cdot OA$.","Точки $A$ и $A_{1}$ лежат на одной прямой, а точка $O$ может быть любой.","Расстояния $OA$ и $OA_{1}$ всегда равны.","Точка $A_{1}$ получается из точки $A$ только поворотом вокруг точки $O$."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вспомните, что при гомотетии каждая точка перемещается по прямой, проходящей через центр гомотетии.","Расстояние от центра гомотетии до новой точки изменяется в $k$ раз: $OA_{1} = k \\cdot OA$."]}],"mix":1}

Периметры подобных многоугольников

Как нам известно, у подобных многоугольников соответствующие стороны пропорциональны. Это позволяет сравнивать не только отдельные стороны, но и периметры фигур.

Пусть многоугольник $A_1B_1C_1D_1$ подобен многоугольнику $ABCD$, а коэффициент подобия равен $k$.

Тогда каждая сторона многоугольника $A_1B_1C_1D_1$ в $k$ раз больше соответствующей стороны многоугольника $ABCD$:

• $A_1B_1 = k \cdot AB$,
• $B_1C_1 = k \cdot BC$,
• $C_1D_1 = k \cdot CD$,
• $D_1A_1 = k \cdot DA$.

По определению, периметр многоугольника равен сумме длин всех его сторон.

Значит, периметр многоугольника $ABCD$ равен:

$$P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA.$$

А периметр многоугольника $A_1B_1C_1D_1$ равен:

$$P_{A_1B_1C_1D_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + C_1D_1 + D_1A_1.$$

Подставим вместо сторон второго многоугольника выражения через стороны первого:

$$P_{A_1B_1C_1D_1} = k \cdot AB + k \cdot BC + k \cdot CD + k \cdot DA.$$

Вынесем общий множитель $k$ за скобки:

$$P_{A_1B_1C_1D_1} = k(AB + BC + CD + DA).$$

Так как

$$AB + BC + CD + DA = P_{ABCD},$$

получаем:

$P_{A_1B_1C_1D_1} = k \cdot P_{ABCD}$.

Следовательно,

$$\dfrac{P_{A_1B_1C_1D_1}}{P_{ABCD}} = k.$$

{"questions":[{"content":"Стороны одного многоугольника в $5$ раз больше соответствующих сторон подобного ему многоугольника. Как относятся их периметры?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Периметры тоже относятся как $5$.","Периметры относятся как $25$.","Периметры равны.","По сторонам нельзя определить отношение периметров."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Периметр — это сумма длин всех сторон многоугольника.","Если все стороны увеличились в $5$ раз, то и сумма этих сторон увеличится в $5$ раз."]}],"mix":1}

Площади подобных многоугольников

Мы уже выяснили: если соответствующие стороны подобных многоугольников относятся как $k$, то их периметры тоже относятся как $k$. С площадями связь другая.

Площадь зависит не от одного линейного размера, а от двух, так как площадь — это перемножение двух линейных величин: стороны фигуры и высоты, которая опущена на эту сторону.

Поэтому при подобии площадь изменяется не в $k$ раз, а в $k^2$ раз.

Рассмотрим это на примере квадратов.

Пусть сторона одного квадрата равна $a$, а сторона подобного ему квадрата в $k$ раз больше, то есть равна $ka$.

Тогда площадь первого квадрата равна:

$S_1 = a^2$, а площадь второго:

$S_2 = (ka)^2 = k^2a^2$.

Так как $a^2 = S_1$, получаем:

$$S_2 = k^2 \cdot S_1.$$

Значит,

$$\dfrac{S_2}{S_1} = k^2.$$

Такой же вывод верен не только для квадратов, но и для любых подобных многоугольников, потому что площадь, как уже было сказано выше, это перемножение двух линейных величин.

Следовательно, если один многоугольник подобен другому с коэффициентом подобия $k$, то его площадь в $k^2$ раз больше площади другого многоугольника.

Поэтому площади подобных многоугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

$$\dfrac{S_2}{S_1} = k^2.$$

Например, если стороны одного многоугольника в $3$ раза больше соответствующих сторон другого, то его площадь будет больше в $3^2 = 9$ раз.

{"questions":[{"content":"Стороны одного многоугольника в $4$ раза больше соответствующих сторон подобного ему многоугольника. Как относятся их площади?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Площади тоже относятся как $4$.","Площади относятся как $8$.","Площади относятся как $16$.","Площади равны."],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Площади подобных многоугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.","Если соответствующие стороны относятся как $4$, то площади относятся как $4^2 = 16$."]}],"mix":1}

Это интересно

Подобие фигур встречается не только в чертежах и задачах. Иногда именно оно помогает объяснить работу удивительных приборов.

Один из самых древних примеров связан с камерой-обскурой. Это темная комната или коробка с маленьким отверстием. Через него проходит свет, и на противоположной стенке появляется перевернутое изображение предмета.

Такой опыт изучал арабский ученый Ибн аль-Хайсам, живший примерно в $965–1040$ годах. В своем труде «Книга оптики», написанном в $1011–1021$ годах, он исследовал, как свет проходит через маленькое отверстие и образует изображение.

Здесь работает знакомая нам геометрия. Лучи света образуют подобные треугольники: один связан с настоящим предметом, другой — с его изображением на стенке. Поэтому размер изображения зависит от расстояний до отверстия.

Спустя несколько веков похожая идея появилась уже в механическом приборе. В $1603$ году немецкий ученый Кристоф Шайнер $(1573–1650)$ изобрел пантограф — устройство для копирования рисунков в увеличенном или уменьшенном виде.

Пантограф состоял из подвижных планок, соединенных в особую конструкцию. Один конец прибора велся по исходному рисунку, а другой одновременно чертил такую же фигуру, но уже в другом размере.

Получалось почти маленькое геометрическое чудо: рука двигалась по одному рисунку, а на бумаге появлялась его увеличенная или уменьшенная копия. Форма не искажалась, потому что соответствующие расстояния изменялись в одно и то же число раз.

Так подобие связывает очень разные вещи: свет в темной камере, старинный прибор для художников и строгие геометрические формулы.

Часто задаваемые вопросы