Параллельный перенос, поворот, симметрия

На прошлом уроке вы познакомились с преобразованием фигур и узнали, что такое движение. Напомним: движение — это преобразование, которое сохраняет расстояния между точками.

Это значит, что при движении фигура может изменить свое положение на плоскости, но ее форма и размеры остаются прежними. Сегодня рассмотрим основные виды движения, которые чаще всего встречаются в геометрии.

Параллельный перенос

Название данного преобразования говорит само за себя: все отрезки при параллельном переносе становятся параллельны друг другу.

Параллельный перенос — это такое движение, при котором каждая точка фигуры перемещается в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Проще говоря, вся фигура просто сдвигается по плоскости. Она не меняет форму, не меняет размеры и не поворачивается. Меняется только ее положение.

Посмотрим, как получается образ отрезка при таком переносе.

Рассмотрим отрезок $AB$. Перенесем точку $A$ на $3$ клетки вправо и на $2$ клетки вверх. Получим точку $A_1$. Для этого сначала от точки $A$ отложим вправо $3$ клетки и получим точку $C$, а затем от точки $C$ поднимемся вверх на $2$ клетки до точки $A_1$.

Точно так же перенесем точку $B$. От точки $B$ отложим вправо $3$ клетки и получим точку $C_1$, а затем от точки $C_1$ поднимемся вверх на $2$ клетки до точки $B_1$.

Теперь докажем, что образ отрезка $AB$, то есть отрезок $A_1B_1$, равен исходному отрезку и параллелен ему.

Доказательство

Скрыть

Рассмотрим прямоугольные треугольники $ACA_1$ и $BC_1B_1$. У них:

$AC = BC_1 = 3$, $CA_1 = C_1B_1 = 2$.

Значит, треугольники $ACA_1$ и $BC_1B_1$ равны по двум катетам. Тогда их гипотенузы тоже равны. Следовательно, $AA_1 = BB_1$.

Кроме того, из равенства этих треугольников следует, что $\angle CAA_1 = \angle C_1BB_1$.

Отрезки $AC$ и $BC_1$ параллельны, так как оба они отложены вправо на $3$ клетки. Поэтому из равенства углов следует, что $AA_1 \parallel BB_1$.

Теперь заметим, что отрезки $A_1C$ и $B_1C_1$ параллельны, так как оба они направлены вертикально вверх на $2$ клетки.

Из равенства треугольников также следует и равенство углов $BB_1C_1$ и $AA_1C$. Данные углы образованы прямыми $AA_1$ и $BB_1$ с параллельными прямыми $A_1C$ и $B_1C_1$. Значит,
$AA_1 \parallel BB_1$.

Следовательно, четырехугольник $AA_1B_1B$ — параллелограмм.

А у параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны. Поэтому
$AB = A_1B_1$ и $AB \parallel A_1B_1$.

Что и требовалось доказать.

Мы получили важный вывод: при таком переносе образ отрезка равен исходному отрезку и параллелен ему.

Именно поэтому такой перенос и называется параллельным.

Если переносить таким способом не две точки, а все точки фигуры, то вся фигура просто сдвинется на плоскости. При этом длины ее сторон и величины углов сохранятся. Значит, параллельный перенос является движением.

{"questions":[{"content":"Что происходит с отрезком при параллельном переносе?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Он становится только равным исходному.","Он становится только параллельным исходному.","Его образ равен исходному и параллелен ему.","Он обязательно увеличивается."],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Вспомните, что при параллельном переносе все точки фигуры сдвигаются одинаково.","Образ отрезка при параллельном переносе и равен исходному, и параллелен ему."]}],"mix":1}

Поворот

Рассмотрим следующий вид движения: поворот.

Поворот — это такое движение, при котором каждая точка фигуры поворачивается вокруг одной и той же точки на один и тот же угол.

Точка, вокруг которой выполняется поворот, называется центром поворота.

Представьте, что на плоскости отмечена точка $O$. Возьмем точку $A$ и повернем ее вокруг точки $O$, например, на $90^\circ$. Тогда точка $A$ перейдет в новую точку $A_1$.

Что важно при таком повороте?

• Во-первых, расстояние от точки до центра поворота не меняется. Значит, $OA = OA_1$.
• Во-вторых, угол поворота тоже фиксирован. В нашем примере $\angle AOA_1 = 90^\circ$.

Это значит, что точка не двигается как придется. Она перемещается по определенному правилу: сохраняет расстояние до центра и поворачивается на заданный угол.

Теперь рассмотрим какую-нибудь фигуру, например треугольник $ABC$. Повернем каждую его вершину вокруг точки $O$ на один и тот же угол, например, на $90^\circ$ против часовой стрелки.

Причем каждый из углов: $\angle AOA_1$, $\angle BOB_1$ и $COC_1$ будет являться прямым. Тогда точка $A$ перейдет в точку $A_1$, точка $B$ — в точку $B_1$, а точка $C$ — в точку $C_1$.

Если соединить точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$, получится треугольник $A_1B_1C_1$. Это и есть образ треугольника $ABC$ при повороте.

При повороте фигура не меняет ни форму, ни размеры. Меняется только ее положение на плоскости.

Почему так происходит? Потому что все точки фигуры поворачиваются вокруг одного и того же центра на один и тот же угол, а расстояния от точек до центра сохраняются. Поэтому длины сторон и величины углов у фигуры тоже сохраняются.

Значит, поворот является движением.

Поворот можно увидеть и в жизни. Например, если стрелка часов движется вокруг центра циферблата, то каждая ее точка поворачивается вокруг одной и той же точки. Или если приоткрыть дверь, то она поворачивается вокруг петель.

Итак, при повороте каждая точка фигуры перемещается вокруг одного и того же центра на один и тот же угол. При этом форма и размеры фигуры сохраняются. Поэтому поворот относят к движениям.

{"questions":[{"content":"Что обязательно должно быть одинаковым для всех точек фигуры при повороте?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Только расстояние, на которое сдвинулась точка.","Один и тот же центр поворота и один и тот же угол поворота.","Только направление движения точек.","Разные углы поворота, но одинаковые расстояния."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Вспомните, вокруг чего выполняется поворот фигуры.","При повороте все точки поворачиваются по одному и тому же правилу."]}],"mix":1}

Симметрия

С симметрией мы уже знакомы по более ранним урокам, в которых рассматривалась осевая и центральная симметрия. Теперь посмотрим на нее как на один из видов преобразования плоскости.

Симметрия — это такое преобразование, при котором каждая точка фигуры переходит в новую точку по определенному правилу.

Если речь идет об осевой симметрии, то точки фигуры отражаются относительно прямой. И такая прямая называется осью симметрии.

Если речь идет о центральной симметрии, то точки фигуры отражаются относительно точки — центра симметрии.

И в том и в другом случае получается новая фигура — образ исходной фигуры при симметрии.

Что при этом важно? При симметрии сохраняются расстояния между точками. А значит, сохраняются длины сторон, величины углов и форма фигуры. Фигура может изменить свое положение на плоскости, но ее размеры остаются теми же.

Именно поэтому симметрия относится к движениям.

Например, при осевой симметрии одна половина фигуры как будто отражается в зеркале. При центральной симметрии каждая точка фигуры переходит в точку, расположенную по другую сторону от центра на таком же расстоянии.

Хотя осевая и центральная симметрия строятся по разным правилам, у них есть общее свойство: они сохраняют форму и размеры фигуры.

Значит, и осевая, и центральная симметрия являются движениями.

{"questions":[{"content":"Почему симметрия относится к движениям?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Потому что при симметрии фигура обязательно увеличивается.","Потому что при симметрии сохраняются расстояния между точками.","Потому что при симметрии меняются длины сторон.","Потому что при симметрии фигура всегда поворачивается."],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Вспомните, что происходит с формой и размерами фигуры при симметрии.","Если расстояния между точками сохраняются, значит, сохраняются и размеры фигуры."]}],"mix":1}

Это интересно

Еще в III веке до н. э. Архимед изучал кривую, которая получается сразу двумя движениями.

Точка не только поворачивается вокруг центра, но и одновременно удаляется от него. Так получается спираль Архимеда — одна из самых известных кривых в истории математики.

Итак, идеи поворота и движения интересовали математиков еще в глубокой древности.

Позже оказалось, что такие преобразования важны не только в задачах на чертеже. Они помогают понимать, как устроены орнаменты и повторяющиеся рисунки.

Например, если посмотреть на плитку, мозаику или кирпичную кладку, можно заметить, что одни и те же элементы сдвигаются, располагаются зеркально или поворачиваются, но при этом образуют единый рисунок.

Именно на таких преобразованиях построены многие геометрические орнаменты.

Эти идеи очень любил Мауриц Эшер — нидерландский художник-график, чьи работы легко узнать с первого взгляда. Его особенно интересовали симметрия, бесконечность, оптические эффекты и то, как плоское изображение может создавать ощущение объема и пространства.

В его гравюрах математическая точность соединяется с художественным замыслом, поэтому многие его работы одновременно напоминают и произведения искусства, и геометрические эксперименты.

Похожие идеи работают и в науке о кристаллах. В кристалле частицы расположены не хаотично, а в строгом повторяющемся порядке. Поэтому для описания кристаллов ученые тоже используют перенос, поворот и симметрию.

Есть и любопытная особенность. Не любой поворот подходит для такой повторяющейся структуры. Например, рисунок может совместиться сам с собой после поворота на половину оборота, на треть оборота, на четверть оборота или на шестую часть оборота.

А вот поворот на пятую часть полного оборота для обычной кристаллической решетки не подходит. Поэтому в кристаллах встречаются не любые варианты симметрии, а только те, которые согласуются с их строением.

Так история математики, искусство орнамента и строение кристаллов показывают, что геометрические преобразования встречаются гораздо чаще, чем может показаться на первый взгляд.

Часто задаваемые вопросы