Отображение плоскости на себя. Понятие движения и наложения

В геометрии фигуры можно не только измерять и строить. Иногда важно понять, как фигура изменит свое положение на плоскости и какие свойства при этом сохранятся.

Например, фигуру можно перенести, повернуть или отразить. В одних случаях она остается равной самой себе: все расстояния, углы и размеры сохраняются. В других случаях форма или размер меняются, и это уже другое преобразование.

Эта тема помогает понять, почему одни фигуры можно совместить наложением, а другие — нет. В дальнейшем это пригодится при изучении параллельного переноса, поворота, симметрии и при решении задач, где нужно доказать равенство отрезков, углов или целых фигур.

Преобразование точки

В геометрии фигуры состоят из точек. Поэтому, когда мы говорим, что фигура изменила положение или вид, сначала нужно понять, что произошло с ее точками.

Преобразование плоскости — это правило, по которому каждой точке плоскости ставится в соответствие новая точка этой же плоскости.

Для того чтобы понять, что такое преобразование плоскости, рассмотрим, что значит преобразовать точку. Например, можно задать такое правило: каждую точку перенести на $3$ клетки вправо.

Если применить это правило к точке $A$, то получим новую точку $A^{\prime}$. К точке $B$ — получим точку $B^{\prime}$, к точке $C$ — $C^{\prime}$.

В данном случае, мы применили одно правило ко всем трем точкам, но это не обязательно. Правило может быть разным.

Одну точку перенести на $3$ клетки вправо, другую повернуть вокруг точки $O$ на $90^\circ$, третью отразить относительно прямой $l$ и так далее.

Во всех этих случаях каждой исходной точке ставится в соответствие новая точка.

Главное, что нужно понимать: перемещение какой-либо точки или точек по определенному правилу — это и есть преобразование.

Запись $A \rightarrow A^{\prime}$ означает: при данном преобразовании точка $A$ переходит в точку $A^{\prime}$.

Точка, в которую переходит данная точка при преобразовании, называется образом этой точки.

Другими словами, точка $A^{\prime}$ называется образом точки $A$.

{"questions":[{"content":"Что означает преобразовать точку?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["По заданному правилу определить, в какую точку перейдет исходная точка.","Измерить расстояние от точки до другой точки.","Переименовать точку другой буквой.","Провести через точку прямую."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вспомните, что преобразование задается правилом.","Преобразовать точку — значит, применить к ней правило и получить ее новое положение."]}],"mix":1}

Преобразование фигур

Преобразование можно применить не только к одной точке, но и к фигуре. Если дана фигура, то выбранное правило применяют ко всем точкам этой фигуры. В результате получается новая фигура.

Например, если каждую точку треугольника $ABC$ перенести на $6$ клеток вниз, то получится треугольник $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$. И он будет являться образом треугольника $ABC$.

При этом:

• точка $A$ перейдет в точку $A^{\prime}$;
• точка $B$ перейдет в точку $B^{\prime}$;
• точка $C$ перейдет в точку $C^{\prime}$;
• каждая точка стороны $AB$ перейдет в соответствующую точку стороны $A^{\prime}B^{\prime}$;
• каждая точка стороны $BC$ перейдет в соответствующую точку стороны $B^{\prime}C^{\prime}$;
• каждая точка стороны $AC$ перейдет в соответствующую точку стороны $A^{\prime}C^{\prime}$.

В этом примере все точки фигуры сместились в одном направлении и на одно и то же расстояние. Поэтому расстояния между точками не изменились.

Но правило преобразования может быть другим. Например, на координатной плоскости можно задать такое правило: каждая точка $(x; y)$ переходит в точку $(2x; y)$. Это значит, что у каждой точки первая координата увеличивается в $2$ раза, а вторая координата остается прежней.

Для наглядности данного преобразования возьмем первую четверть координатной плоскости и рассмотрим треугольник $ABC$ с вершинами: $A(1; 2)$, $B(3; 3)$, $C(4; 1)$.

Применим к каждой его точке правило:

$(x; y) \rightarrow (2x; y)$.

Тогда вершины треугольника перейдут в точки:

$A(1; 2) \rightarrow A^{\prime}(2; 2)$;

$B(3; 3) \rightarrow B^{\prime}(6; 3)$;

$C(4; 1) \rightarrow C^{\prime}(8; 1)$.

Получится новый треугольник $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$.

Из чертежа видно, что расстояние между соответствующими точками изменилось.

При этом правило было единым для всех точек: каждую точку $(x; y)$ переводили в точку $(2x; y)$. Данное правило изменяет расстояния по горизонтали, поэтому фигура растягивается.

Значит, преобразование — это общее понятие. Оно задает новое положение для каждой точки фигуры. Одни преобразования сохраняют расстояния, другие — изменяют их.

{"questions":[{"content":"Что получается при преобразовании фигуры?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Новая фигура, полученная по заданному правилу.","Та же фигура без изменения положения.","Новые обозначения вершин.","Любая фигура с таким же названием."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вспомните, что преобразование задает новое положение для точек фигуры.","После преобразования исходная фигура переходит в новую фигуру."]}],"mix":1}

Преобразование плоскости

Мы рассмотрели, как правило преобразования работает для отдельных точек и фигур. Но фигура — это только часть плоскости. Отрезок, треугольник, окружность состоят из точек, а сама плоскость состоит из всех своих точек.

Поэтому преобразование плоскости понимают шире: правило задают не только для точек одной фигуры, а для любой точки данной плоскости.

Если по этому правилу каждая точка плоскости получает свой образ, причем этот образ тоже лежит на той же плоскости, то говорят, что плоскость отображается сама на себя.

Фраза «плоскость отображается сама на себя» не означает, что каждая точка остается на своем месте. Это означает, что каждая точка плоскости переходит в какую-то точку этой же самой плоскости.

Значит, преобразование плоскости — это правило, по которому каждой точке данной плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости.

То есть отображение плоскости на себя $=$ каждая точка плоскости получила образ на этой же плоскости.

{"questions":[{"content":"Что означает отображение плоскости на себя?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Каждой точке плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости.","Все точки плоскости остаются на своих местах.","Плоскость заменяется другой плоскостью.","Каждая точка плоскости исчезает после преобразования."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Обратите внимание на слова «на себя»: речь идет о той же самой плоскости.","При таком отображении точка может изменить положение, но ее образ находится на этой же плоскости."]}],"mix":1}

Движение

Итак, мы рассмотрели, что такое преобразование плоскости. При преобразовании каждой точке плоскости ставится в соответствие точка этой же плоскости.

Мы увидели, что правило преобразования может действовать по-разному. В одном случае фигура только меняет положение на плоскости. В другом — она может растянуться, сжаться или изменить форму.

Теперь рассмотрим особый вид преобразований, при которых фигура меняет положение, но сохраняет форму и размер.

Например, треугольник $ABC$ при преобразовании перешел в треугольник $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$.

Если это преобразование сохраняет расстояния между точками, то соответствующие стороны треугольников равны:

$AB = A^{\prime}B^{\prime}$, $BC = B^{\prime}C^{\prime}$, $AC = A^{\prime}C^{\prime}$.

В этом случае треугольник не растянулся, не сжался и не изменил форму. Он только перешел в другое положение на плоскости.

Такое преобразование называется движением.

Движение — это отображение плоскости на себя, при котором сохраняется расстояние между любыми двумя точками.

В определении говорится о любых двух точках, потому что фигура состоит не только из вершин.

Например, у треугольника есть вершины, стороны и внутренние точки. При движении сохраняются расстояния не только между вершинами, но и между любыми точками этой фигуры.

Это свойство удобно использовать в задачах. Если известно, что одна фигура получена из другой движением, то можно сразу делать выводы о равенстве соответствующих отрезков и углов.

Решение

Скрыть

Выполним чертеж, соответственно условию задачи.

При движении сохраняются расстояния между соответствующими точками.

Так как $A \rightarrow K$ и $B \rightarrow L$, то стороне $AB$ соответствует сторона $KL$, тогда $KL = AB = 5$ $см$.

Так как $B \rightarrow L$ и $C \rightarrow M$, то стороне $BC$ соответствует сторона $LM$, тогда $LM = BC = 8$ $см$.

Так как $A \rightarrow K$ и $C \rightarrow M$, то стороне $AC$ соответствует сторона $KM$, тогда $KM = AC = 6$ $см$.

Ответ: $KL = 5$ $см$, $LM = 8$ $см$, $KM = 6$ $см$.

Важно понимать: движение — это не обязательно перенос фигуры только в сторону. К движениям также относятся поворот и симметрия. При этих преобразованиях точки могут менять положение по-разному, но расстояния между ними все равно сохраняются.

{"questions":[{"content":"Какое преобразование называют движением?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Преобразование, при котором сохраняются расстояния между точками.","Преобразование, при котором фигура обязательно становится больше.","Преобразование, при котором все точки остаются на местах.","Преобразование, при котором меняются длины сторон."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вспомните, что при движении фигура может изменить положение, но не должна менять размер.","Движение сохраняет расстояния между любыми двумя точками."]}],"mix":1}

Наложение фигур

Мы уже знаем, что при движении фигура может изменить свое положение на плоскости, но не меняет форму и размер. Поэтому движение удобно использовать для сравнения фигур.

В геометрии часто нужно понять, равны ли две фигуры. Например, на чертеже могут быть два треугольника. Они могут быть расположены по-разному: один выше, другой ниже; один повернут, другой изображен обычным образом. По внешнему виду не всегда сразу ясно, равны они или нет.

Для этого используют понятие наложения.

Наложение — это мысленное совмещение одной фигуры с другой без изменения ее формы и размера.

Если одну фигуру можно совместить с другой так, что все их соответствующие точки совпадут, то такие фигуры равны.

При наложении фигуру можно изменить только по положению: перенести, повернуть или отразить. Но нельзя растягивать, сжимать, увеличивать, уменьшать или менять углы.

Например, пусть даны треугольники $ABC$ и $KLM$. Если треугольник $ABC$ можно совместить с треугольником $KLM$ так, что: точка $A$ совпадет с точкой $K$, $B$ совпадет с $L$, а $C$ совпадет с $M$, то эти треугольники равны.

В этом случае совпадут соответствующие стороны:

$AB = KL$, $BC = LM$, $AC = KM$.

Также совпадут и соответствующие углы:

$\angle A = \angle K$, $\angle B = \angle L$, $\angle C = \angle M$.

Если же для совмещения одну фигуру пришлось бы растянуть или изменить ее углы, то наложение невозможно. Такие фигуры не равны.

Например, два треугольника могут иметь одинаковую форму, но разные размеры. Тогда они подобны, но не равны. Совместить их наложением нельзя, потому что стороны одного треугольника длиннее сторон другого, хотя и имеют равные углы.

Наложение связано с движением так: при наложении фигура меняет только положение на плоскости. А преобразования, которые меняют положение фигуры и сохраняют расстояния, называются движениями.

Поэтому если одну фигуру можно совместить с другой наложением, то одну фигуру можно получить из другой с помощью движения.

Итак, наложение помогает установить равенство фигур. Если фигуры совпадают при наложении, они равны. Если для совпадения нужно изменить форму или размер, фигуры не равны.

{"questions":[{"content":"Что означает наложить одну фигуру на другую?<br /><br />[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Совместить фигуры без изменения формы и размера.","Увеличить одну фигуру до размеров другой.","Изменить углы одной фигуры.","Поставить у фигур одинаковые обозначения."],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Вспомните, что при наложении фигуру нельзя растягивать, сжимать или менять ее углы.","Наложение — это совмещение фигур без изменения их формы и размера."]}],"mix":1}

Это интересно

С преобразованиями фигур люди сталкивались задолго до того, как для них появился строгий геометрический язык.

Архитектор работает с чертежом здания: окно, колонна или арка могут повторяться в разных частях фасада. При этом каждый элемент должен сохранить форму и размер, меняется только его положение.

В геометрии такой случай связан с движением: фигура перемещается, но остается равной самой себе.

Похожая задача возникает в работе портного. Когда создается костюм или платье, отдельные детали сначала строят по лекалам.

Одну и ту же деталь можно по-разному расположить на ткани, но ее нельзя случайно растянуть, сжать или перекосить. Если форма или размеры лекала изменятся, деталь уже не подойдет к изделию.

Поэтому здесь тоже важно различать простое изменение положения и изменение самой фигуры.

С электронными картами происходит почти то же самое. Когда Вы перемещаете карту по экрану, все ее точки получают новые положения, но дороги, реки и границы остаются расположенными относительно друг друга так же, как раньше. Если же карту приблизить или отдалить, меняется масштаб изображения.

Значит, преобразование может по-разному влиять на фигуру: иногда оно сохраняет ее размеры, а иногда изменяет их.

В компьютерной графике эти идеи используются постоянно.

Когда Вы перетаскиваете изображение на экране, поворачиваете фотографию или меняете положение объекта в редакторе, программа пересчитывает координаты множества точек по определенному правилу.

Для пользователя это выглядит как обычное действие с картинкой, а с точки зрения геометрии происходит преобразование плоскости.

Так движения и преобразования помогают описывать не только геометрические фигуры, но и реальные действия: работу с чертежами, лекалами, картами и изображениями. Поэтому эта тема встречается не только в задачах, но и в разных профессиях, где важны точность, форма и расположение объектов.

Часто задаваемые вопросы