Карточки
Тесты
Зави
Тест: 2.1
Взаимное расположение двух прямых: пересекающиеся, параллельные, скрещивающиеся
В прошлом модуле, в уроке «Следствия из аксиом стереометрии», вы доказали, что через две пересекающиеся или две параллельные прямые проходит плоскость, и встретили прямые, которые одной плоскостью не накрыть. В этом уроке разберем все три случая расположения двух прямых в пространстве, докажем признак скрещивающихся прямых и научимся не путать их с параллельными — ни в рассуждении, ни на чертеже.
Две нити в комнате встречаются, идут рядом или расходятся по-другому
Две прямые, вдоль которых проходят маршруты самолетов, не имеют общих точек даже при продолжении в обе стороны. Обязательно ли они параллельны? На плоскости — да. Проверим, что меняется в пространстве: вернемся к этому вопросу в конце следующего раздела, а начнем с модели попроще.
Представьте комнату в форме куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$: пол $ABCD$, потолок $A_1B_1C_1D_1$, вертикальные ребра — углы стен. Натянем нить вдоль ребра $AB$ у передней стены, а вторую нить будем натягивать вдоль других ребер. Нить — модель прямой: ребро — только ее отрезок, а прямая продолжается за стены комнаты.
Нить вдоль $AD$ встречается с первой в углу $A$ — у прямых одна общая точка. Нить вдоль $DC$ лежит на том же полу и идет рядом с $AB$, не встречая ее. Нить вдоль $CC_1$ поднимается в дальнем правом углу к потолку. С $AB$ она тоже не встречается, но и на пол вместе с $AB$ не ложится. Это третий случай, и ему нужно свое название.
Определение
Две прямые, имеющие ровно одну общую точку, называют пересекающимися. Две различные прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек, называют параллельными: $a \parallel b$.
В прошлом модуле вы доказали: через две пересекающиеся прямые, как и через две параллельные, проходит плоскость, и притом только одна. Оба случая «плоские»: такие прямые можно нарисовать на одном листе.
Ребра куба идут в трех направлениях: вправо (как $AB$), вглубь (как $AD$) и вверх (как $AA_1$), по четыре ребра в каждом. Ребра одного направления параллельны. Например, $AB$ и $DC$ лежат в плоскости пола, а $AB$ и $D_1C_1$ — в плоскости $ABC_1$, которая режет куб по диагонали.
Нет общих точек — еще не значит параллельны
Вернемся к нити $CC_1$. Для параллельности нужны два условия: общих точек нет, и обе прямые лежат в одной плоскости. Первое у $AB$ и $CC_1$ выполнено. Проверим второе. Любая плоскость, которая содержит прямые $AB$ и $CC_1$, проходит через прямую $AB$ и точку $C$, не лежащую на ней. Такая плоскость одна (теорема 1 прошлого модуля) — это плоскость пола $ABC$. Но точка $C_1$ на полу не лежит: она на потолке. Значит, плоскости, содержащей обе прямые, нет.
Определение
Две прямые называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Знака для скрещивающихся прямых нет, пишут словами: «$AB$ и $CC_1$ скрещиваются».
У скрещивающихся прямых нет общих точек: если бы общая точка была, прямые пересекались бы и по теореме 2 прошлого модуля лежали бы в одной плоскости.
Правило
Две различные прямые в пространстве либо пересекаются, либо параллельны, либо скрещиваются, и выполняется ровно один из трех случаев.
Почему: если прямые лежат в одной плоскости, то по планиметрии они пересекаются или параллельны; если не лежат — скрещиваются по определению.
$$\text{нет общих точек} \;\Rightarrow\; \text{параллельны или скрещиваются}$$
Ошибка
Как ошибаются. «Ребра $AA_1$ и $BC$ куба не имеют общих точек, значит, они параллельны».
Проверка на кубе. $AA_1$ — вертикальный угол комнаты у вершины $A$, $BC$ — линия пола вдоль правой стены. Плоскость, содержащая обе прямые, прошла бы через прямую $AA_1$ и точку $B$. Такая плоскость одна — передняя стена $ABB_1A_1$. Точка $C$ этой стене не принадлежит, поэтому прямая $BC$ в ней не лежит. Общей плоскости нет: прямые скрещиваются.
Где сломалось. На шаге «общих точек нет — значит, параллельны». Это определение из 7 класса, где все прямые заранее лежали в одной плоскости. В пространстве «нет общих точек» значит «параллельны или скрещиваются», и выбрать между ними можно только проверкой общей плоскости.
Теперь ответ про маршруты самолетов. Если маршруты на карте пересекаются, самолеты разводят по высоте: каждый летит на своем эшелоне. Пусть прямая одного маршрута идет с юга на север на высоте 10 км, а другого — с запада на восток на высоте 11 км. Общих точек у этих прямых нет, но они и не параллельны: лежат в разных горизонтальных плоскостях и идут в разных направлениях. По правилу трех случаев остается один вариант: это скрещивающиеся прямые. В пространстве отсутствие общих точек у прямых не означает параллельности.
Как доказать, что прямые скрещиваются, не перебирая плоскости
В разделе выше мы дважды показывали, что общей плоскости нет, и оба раза рассуждение было одинаковым. Одна прямая лежала в плоскости: $AB$ — в полу, $AA_1$ — в передней стене. Вторая прямая прокалывала эту плоскость в точке, которая не лежит на первой: $CC_1$ проходит через пол в точке $C$, а $BC$ — через стену в точке $B$. Нить, проколовшая столешницу в стороне от нити на столе, не может лечь с ней на одну плоскость. Докажем, что так бывает всегда.
Теорема (признак скрещивающихся прямых)
Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.
$$a \subset \alpha,\quad b \cap \alpha = M,\quad M \notin a \;\Rightarrow\; a \text{ и } b \text{ скрещиваются}$$
Доказательство
Дано: $a \subset \alpha$, прямая $b$ пересекает $\alpha$ в точке $M$, $M \notin a$. Доказать: $a$ и $b$ скрещиваются. Докажем от противного.
Шаг 1. Допустим, что $a$ и $b$ не скрещиваются. Тогда по определению они лежат в одной плоскости; обозначим ее $\beta$.
Шаг 2. Плоскость $\beta$ содержит прямую $a$ и точку $M$: точка $M$ лежит на прямой $b$, а $b \subset \beta$. По условию $M \notin a$.
Шаг 3. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит только одна плоскость (теорема 1 прошлого модуля). Плоскость $\alpha$ тоже содержит прямую $a$ и точку $M$. Значит, $\beta$ совпадает с $\alpha$.
Шаг 4. Тогда $b \subset \alpha$, то есть прямая $b$ лежит в $\alpha$ целиком. Но по условию $b$ пересекает $\alpha$ и имеет с ней только одну общую точку $M$. Противоречие, значит, допущение неверно: $a$ и $b$ скрещиваются. Что и требовалось доказать.
Обратите внимание
Условие $M \notin a$ пропускать нельзя. Если прямая $b$ пересекает $\alpha$ в точке прямой $a$, то $a$ и $b$ пересекаются: так ребро $BB_1$ встречает ребро $AB$ в точке $B$ пола.
Пример 1
В тетраэдре $DABC$ точка $N$ — середина ребра $BC$. Как расположены прямые $DN$ и $AB$?
Решение. Прямая $AB$ лежит в плоскости основания $ABC$. Прямая $DN$ проходит через точку $N$ этой плоскости и через вершину $D$, которая ей не принадлежит. Если бы $DN$ имела с плоскостью $ABC$ две общие точки, она лежала бы в ней по аксиоме А2 вместе с точкой $D$. Значит, $DN$ пересекает плоскость $ABC$ только в точке $N$.
Точка $N$ лежит на прямой $BC$ и отлична от $B$. Прямые $AB$ и $BC$ имеют единственную общую точку $B$, поэтому $N \notin AB$. По признаку прямые $DN$ и $AB$ скрещиваются.
Ответ: скрещиваются.
Чертеж может показать пересечение, которого нет
Чертеж куба — его тень: каждую точку переносят на лист по параллельным лучам. Две разные точки пространства, лежащие на одном луче, дают одну точку тени. Поэтому прямые, которые в пространстве не встречаются, на чертеже могут пересечься. Карта — такая же тень, только лучи идут сверху вниз: маршруты самолетов на ней пересекаются, а в воздухе — нет.
Задание
Найдите на схеме две панели. На левой $A_1C_1$ и $DD_1$ выглядят пересекающимися. Что происходит с этим «пересечением» на правой панели, при взгляде сверху? Изменилось ли расположение самих прямых?
Проверьте себя. При взгляде сверху ребро $DD_1$ превращается в точку $D$, а она лежит в стороне от диагонали. Кажущееся пересечение исчезло, а прямые $A_1C_1$ и $DD_1$ как скрещивались, так и скрещиваются: меняется тень, а не расположение.
Ошибка
Как ошибаются. «На чертеже куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ диагональ $A_1C_1$ верхней грани и ребро $DD_1$ пересекаются, значит, у этих прямых есть общая точка».
Проверка признаком. Прямая $A_1C_1$ лежит в плоскости потолка $A_1B_1C_1$. Прямая $DD_1$ пересекает эту плоскость в точке $D_1$, а $D_1$ на диагонали $A_1C_1$ не лежит: точки $A_1$, $C_1$, $D_1$ — вершины квадрата. По признаку прямые скрещиваются. Штрих на чертеже лишь показывает, что ребро $DD_1$ скрыто за гранями куба; это еще не доказательство — доказывает признак.
Где сломалось. Свойство тени приняли за свойство фигуры. Точка пересечения на чертеже — тень двух разных точек: одна лежит на диагонали в плоскости потолка, другая — на ребре $DD_1$ ниже потолка.
Важно
Настоящее пересечение на чертеже видно всегда: общая точка прямых дает общую точку их теней. Но не всякое пересечение на чертеже настоящее — его проверяют рассуждением.
Два вопроса раскладывают любую пару прямых
Соберем все в один порядок действий. Он годится для любых двух различных прямых: ребер, диагоналей и других.
Правило
Как определить расположение двух различных прямых:
1. Есть ли у прямых общая точка — по условию, а не по чертежу? Если есть, прямые пересекаются.
2. Если общих точек нет, есть ли плоскость, в которой лежат обе прямые? Если есть, прямые параллельны.
3. Если общей плоскости нет, прямые скрещиваются. Чтобы это доказать, найдите плоскость, в которой лежит одна прямая, и точку, в которой ее пересекает другая, вне первой прямой.
Пример 2
Распределите остальные 11 ребер куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ по расположению относительно прямой $AB$.
Решение. Пересекаются с $AB$ ребра с общей вершиной $A$ или $B$: $AD$, $AA_1$, $BC$, $BB_1$ — 4 ребра.
Параллельны $AB$ ребра того же направления: $DC$, $A_1B_1$, $D_1C_1$ — 3 ребра. Каждое лежит с $AB$ в одной плоскости: пола, передней стены, диагональной плоскости $ABC_1$.
Остаются $CC_1$, $DD_1$, $B_1C_1$, $A_1D_1$. Прямые $CC_1$ и $DD_1$ пересекают плоскость пола, где лежит $AB$, в точках $C$ и $D$ вне $AB$. Ребро $B_1C_1$ лежит в правой стене $BCC_1$, а $AB$ пересекает ее в точке $B$ вне $B_1C_1$. Ребро $A_1D_1$ лежит в левой стене $ADD_1$, а $AB$ пересекает ее в точке $A$ вне $A_1D_1$. По признаку все четыре скрещиваются с $AB$.
Ответ: пересекаются 4 ребра, параллельны 3, скрещиваются 4; $4 + 3 + 4 = 11$.
Вывод
Расположение двух прямых — первый вопрос почти в каждой задаче стереометрии: от него зависят параллельность прямой и плоскости, сечения многогранников и пункт «а» задач ЕГЭ на доказательство. Главное — помнить, что у параллельных и у скрещивающихся прямых нет общих точек, а различает их общая плоскость.
В следующем уроке «Параллельные прямые в пространстве» вы докажете, что две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
Часто задаваемые вопросы
В планиметрии все фигуры лежат в одной плоскости, поэтому для любых двух прямых условие «в одной плоскости» выполнено само собой. Оставалось два случая: общая точка есть или ее нет. Третий случай появляется, только когда прямая может выйти из общей плоскости.
Нет. Пусть $M$ — середина ребра $BC$ куба. Отрезки $AB$ и $DM$ общих точек не имеют, но прямые $AB$ и $DM$ лежат в плоскости $ABC$ и пересекаются на продолжении $AB$ за вершиной $B$. Поэтому расположение определяют для прямых, а не для отрезков.
Нет, это и есть определение скрещивающихся прямых. Через каждую из них по отдельности проходит бесконечно много плоскостей, но ни одна не содержит обе.
Модель и чертеж помогают догадаться, но не доказывают: чертеж — тень, и на нем пересекаются даже скрещивающиеся прямые. В решении нужно назвать плоскость, в которой лежит одна прямая, точку, где ее пересекает другая, и объяснить, почему эта точка не лежит на первой прямой.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий