10 класс Геометрия Параллельность в пространстве Взаимное расположение прямых

Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых. Углы с сонаправленными сторонами

Содержание

В уроке о взаимном расположении двух прямых вы разобрали три случая: прямые в пространстве пересекаются, параллельны или скрещиваются. Напомним: параллельные прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Сегодня докажем три теоремы: через точку вне прямой проходит только одна параллельная ей прямая; две различные прямые, параллельные третьей, параллельны; углы с сонаправленными сторонами равны.

Вопрос к уроку. Забор ставят на склоне, и у угла участка он поворачивает. Каждую следующую стойку строитель выставляет параллельно предыдущей. Будут ли параллельны первая и последняя стойки, если они уже не стоят в одном ряду?

Через точку проходит только одна параллельная прямая

Начнем с куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Через вершину $D$ проведем прямую, параллельную ребру $AB$. Подходит прямая $DC$: обе прямые лежат в грани $ABCD$, а противоположные стороны квадрата параллельны. Есть ли через $D$ другая такая прямая? На плоскости аксиома параллельных отвечает «нет». Но в пространстве прямых через $D$ больше, чем в одной грани, — ответ нужно доказать.

Идея доказательства — стол. Прямая $AB$ — рейка, точка $D$ — гвоздь вне рейки. Вместе они фиксируют одну столешницу, а на столешнице работает планиметрия.

Теорема 1

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Плоскость α, прямая a, точка M вне ее и единственная прямая b через M, параллельная a; прямая b₁ выходит из α и параллельной быть не может — Любая прямая через $M$, параллельная $a$, лежит с $a$ в одной плоскости — а такая плоскость только $\alpha$; красная $c$ выходит из $\alpha$, поэтому не параллельна $a$

Доказательство

Дано: прямая $a$, точка $M \notin a$. Доказать: через $M$ проходит прямая $b \parallel a$, и такая прямая одна.

Шаг 1 (существование). Через прямую $a$ и точку $M$ проходит плоскость $\alpha$, и только одна (теорема о плоскости через прямую и точку из урока урока о следствиях из аксиом). В плоскости $\alpha$ проведем через $M$ прямую $b$, параллельную $a$. Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости и не пересекаются, значит, $b \parallel a$.

Шаг 2 (единственность). Пусть $b_1$ — любая прямая через $M$, параллельная $a$. По определению параллельных прямые $a$ и $b_1$ лежат в некоторой плоскости $\alpha_1$. Плоскость $\alpha_1$ проходит через прямую $a$ и точку $M$, поэтому совпадает с $\alpha$.

Шаг 3. Значит, $b_1$ лежит в $\alpha$, проходит через $M$ и параллельна $a$. По аксиоме параллельных такая прямая в плоскости одна: $b_1$ совпадает с $b$. Что и требовалось доказать.

{"questions":[{"content":"Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит [[fill_choice-1]] прямая, параллельная данной.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["ни одной","бесконечно много","ровно две","ровно одна"],"answer":3}},"hints":["Эта теорема — пространственный аналог аксиомы параллельных.","Параллельная прямая существует и только одна.","Ответ: ровно одна."],"step":1},{"content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через точку $C$ проведены прямые $b$ и $c$, каждая из которых параллельна $AA_1$. Как расположены $b$ и $c$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Параллельны и различны","Совпадают","Пересекаются в $C$","Скрещиваются"],"explanations":["Обе прямые проходят через $C$; различные параллельные прямые общих точек не имеют","","Через $C$ проходит только одна прямая, параллельная $AA_1$","У прямых есть общая точка $C$"],"answer":[1]}},"hints":["Обе прямые проходят через $C$ и параллельны одной и той же прямой $AA_1$.","Через точку $C$ проходит единственная прямая, параллельная $AA_1$ (теорема 1).","Значит, $b$ и $c$ совпадают."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой

В кубе ребра $AA_1$ и $DD_1$ параллельны: это противоположные стороны квадрата $AA_1D_1D$. Ребра $DD_1$ и $CC_1$ тоже параллельны — грань $DD_1C_1C$. А ребра $AA_1$ и $CC_1$ не лежат в одной грани. Параллельны ли они?

В планиметрии ответ известен, но здесь три прямые $AA_1$, $DD_1$, $CC_1$ не лежат в одной плоскости: это три рейки, которые не помещаются на один стол. Сначала нужна вспомогательная теорема — лемма.

Куб: ребра AA₁, DD₁, CC₁ параллельны друг другу, но лежат в двух разных гранях, а не в одной — Ребра $AA_1$ и $CC_1$ не лежат в одной грани, но каждое параллельно $DD_1$

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость (имеет с ней ровно одну общую точку), то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Плоскость α и наклонная плоскость β с параллельными прямыми a и b; m — линия пересечения; a пробивает α в M, b — в N — Плоскость $\beta$ параллельных прямых режет $\alpha$ по прямой $m$, и $m$ пересекает обе прямые

Показать доказательство леммы

Скрыть

Дано: $a \parallel b$, прямая $a$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $M$. Доказать: $b$ пересекает $\alpha$.

Шаг 1. Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\beta$ (определение параллельных). Плоскость $\beta$ не совпадает с $\alpha$: в $\beta$ лежит вся прямая $a$, а у $a$ с $\alpha$ одна общая точка.

Шаг 2. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ имеют общую точку $M$, поэтому пересекаются по прямой $m$ (аксиома А3). Прямая $m$ отлична от $a$: $m \subset \alpha$, а $a \not\subset \alpha$.

Шаг 3. В плоскости $\beta$ прямая $m$ пересекает $a$ в точке $M$, значит, пересекает и параллельную ей прямую $b$ в некоторой точке $N$ (планиметрия). Точка $N$ лежит на $m \subset \alpha$, поэтому $N$ — общая точка $b$ и $\alpha$.

Шаг 4. Других общих точек нет: иначе по аксиоме А2 прямая $b$ лежала бы в $\alpha$, то есть была бы общей прямой плоскостей $\alpha$ и $\beta$ и совпала бы с $m$. Но $m$ пересекает $a$, а $b$ с $a$ общих точек не имеет. Что и требовалось доказать.

Теорема 2 (о трех параллельных прямых)

Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой (иначе: если $a \ne c$, $a \parallel b$ и $b \parallel c$, то $a \parallel c$).

$$a \ne b,\ a \parallel c,\ b \parallel c \ \Rightarrow\ a \parallel b$$

Доказательство

Дано: различные прямые $a$ и $b$, $a \parallel c$, $b \parallel c$. Доказать: $a$ и $b$ лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Шаг 1. Общих точек нет. Если бы $a$ и $b$ имели общую точку, через нее проходили бы две разные прямые, параллельные $c$. Это противоречит теореме 1.

Шаг 2. Плоскость. Отметим на $b$ точку $K$. По шагу 1 $K \notin a$, поэтому через $a$ и $K$ проходит плоскость $\alpha$.

Шаг 3. Прямая $b$ лежит в $\alpha$. Допустим, нет. Тогда у $b$ и $\alpha$ одна общая точка $K$ (иначе по А2 $b \subset \alpha$), то есть $b$ пересекает $\alpha$. По лемме параллельная ей прямая $c$ тоже пересекает $\alpha$. По лемме еще раз пересекает $\alpha$ и прямая $a \parallel c$. Но $a$ лежит в $\alpha$ — противоречие.

Шаг 4. Прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$ и не имеют общих точек, значит, $a \parallel b$. Что и требовалось доказать.

Пример 1

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ докажите, что $A_1B_1 \parallel DC$.

Решение. 1) $A_1B_1 \parallel AB$: это противоположные стороны квадрата $AA_1B_1B$. 2) $AB \parallel DC$: противоположные стороны квадрата $ABCD$. 3) Прямые $A_1B_1$ и $DC$ различны и параллельны одной прямой $AB$, поэтому по теореме 2 $A_1B_1 \parallel DC$.

Ответ: $A_1B_1 \parallel DC$.

{"questions":[{"content":"Даны различные прямые $a$ и $c$ и прямая $b$, причем $a \\parallel b$ и $b \\parallel c$. Что верно для $a$ и $c$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$a$ и $c$ пересекаются","$a \\parallel c$","$a$ и $c$ скрещиваются","Ничего определенного"],"explanations":["Если бы $a$ и $c$ пересекались, через точку пересечения проходили бы две прямые, параллельные $b$","","В пространстве две прямые, параллельные третьей, не могут скрещиваться: теорема 2 верна и в пространстве","Теорема дает определенный ответ — прямые параллельны"],"answer":[1]}},"hints":["Представьте три вертикальных ребра куба. Две данные прямые параллельны одной промежуточной: обязательно ли им лежать в одной грани?","Это теорема 2: если две различные прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.","Ответ: $a \\parallel c$."],"step":1},{"content":"Чтобы доказать $BB_1 \\parallel DD_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$, нужна прямая, параллельная и $BB_1$, и $DD_1$. Выберите промежуточную прямую.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$BD$","$B_1C_1$","$AB$","$CC_1$"],"explanations":["Диагональ $BD$ пересекает и $BB_1$, и $DD_1$","Ребро $B_1C_1$ пересекает $BB_1$ в точке $B_1$, параллельным не является","Ребро $AB$ пересекает $BB_1$ в точке $B$, параллельным не является",""],"answer":[3]}},"hints":["Нужна прямая, параллельная обеим данным.","Ребро $CC_1$ параллельно $BB_1$ (грань $BCC_1B_1$ — квадрат) и $DD_1$ (грань $DCC_1D_1$ — квадрат).","Ответ: $CC_1$."],"step":1}],"mix":1}

Лучи, которые смотрят в одну сторону

Для углов мало знать, что стороны параллельны: важно, куда смотрят лучи. В кубе лучи $BB_1$ и $DD_1$ оба идут от нижнего основания вверх. Лучи $BB_1$ и $D_1D$ лежат на тех же параллельных прямых, но смотрят в разные стороны. Представьте стрелки, нарисованные на параллельных рейках: у первой пары стрелки одинаковые, у второй — встречные.

Как сказать «в одну сторону» без слов «вверх» и «вниз»? Параллельные прямые $BB_1$ и $DD_1$ лежат в одной плоскости. Прямая $BD$ делит ее на две полуплоскости, и точки $B_1$, $D_1$ лежат в одной из них.

Определение

Два луча $OA$ и $O_1A_1$, не лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если они параллельны и лежат в одной полуплоскости с границей $OO_1$. Лучи на одной прямой сонаправлены, если один из них содержит другой. Запись: $OA \uparrow\uparrow O_1A_1$.

Лучи на параллельных прямых, которые не сонаправлены, называются противоположно направленными: $OA \uparrow\downarrow O_1A_1$. Лучи на одной прямой, ни один из которых не содержит другой, тоже противоположно направлены.

Диагональное сечение BB₁D₁D: лучи BB₁ и DD₁ сонаправлены, луч D₁D направлен им навстречу — $BB_1 \uparrow\uparrow DD_1$: точки $B_1$ и $D_1$ по одну сторону от $BD$; луч $D_1D$ смотрит в другую сторону

Еще пример на кубе: лучи $AB$ и $DC$ сонаправлены, а лучи $AB$ и $CD$ противоположно направлены, хотя прямые одни и те же.

{"questions":[{"content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выберите пару сонаправленных лучей.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Лучи $AA_1$ и $AB$","Лучи $AA_1$ и $BB_1$","Лучи $AA_1$ и $C_1C$","Лучи $AB$ и $C_1D_1$"],"explanations":["Лучи не параллельны: они пересекаются в точке $A$","","Параллельные прямые, но лучи направлены в противоположные стороны: вверх и вниз","Лучи на параллельных прямых, но ведут в разные стороны: вправо и влево"],"answer":[1]}},"hints":["Сонаправленные лучи лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону (в предложенных парах лучи лежат на различных прямых).","Лучи $AA_1$ и $BB_1$ идут вверх.","Ответ: $AA_1$ и $BB_1$."],"step":1},{"content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выберите пару сонаправленных лучей.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Лучи $DA$ и $A_1A$","Лучи $DA$ и $CB$","Лучи $DC$ и $D_1A_1$","Лучи $DA$ и $BC$"],"explanations":["Лучи не параллельны: $DA$ идет к зрителю, а $A_1A$ — вниз","","Лучи не параллельны: $DC$ идет вправо, $D_1A_1$ — к зрителю","Параллельные прямые, но лучи направлены в противоположные стороны: к зрителю и вглубь"],"answer":[1]}},"hints":["Сонаправленные лучи лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону (в предложенных парах лучи лежат на различных прямых).","Проверьте направление каждой пары: «вправо», «вверх», «вглубь».","Ответ: лучи $DA$ и $CB$."],"step":1}],"mix":1}

Угольник, перенесенный без поворота, дает равный угол

Возьмем треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. Ее боковые грани — параллелограммы, поэтому $A_1B_1 \uparrow\uparrow AB$ и $A_1C_1 \uparrow\uparrow AC$. Положите угольник углом в вершину $A$, а потом перенесите его, не поворачивая, в вершину $A_1$: стороны пойдут ровно по лучам $A_1B_1$ и $A_1C_1$. Похоже, что $\angle B_1A_1C_1 = \angle BAC$, хотя углы лежат в разных плоскостях. Докажем это в общем виде.

Теорема 3 (об углах с сонаправленными сторонами)

Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

$$OA \uparrow\uparrow O_1A_1,\ OB \uparrow\uparrow O_1B_1 \ \Rightarrow\ \angle AOB = \angle A_1O_1B_1$$

Для углов в одной плоскости это известно из планиметрии (соответственные углы при параллельных прямых). Докажем для углов в разных плоскостях $\alpha = (AOB)$ и $\alpha_1 = (A_1O_1B_1)$.

Угол AOB и угол A₁O₁B₁ с сонаправленными сторонами: отрезки OO₁, AA₁, BB₁ параллельны и равны, треугольники равны по трем сторонам — Прямые $AA_1$, $OO_1$, $BB_1$ параллельны; $AA_1 = BB_1$, $AB = A_1B_1$, $OA = O_1A_1$, $OB = O_1B_1$ — угол перенесен без поворота

Показать доказательство теоремы 3

Скрыть

Шаг 1. $O_1 \notin \alpha$. Иначе прямые $O_1A_1$ и $O_1B_1$ лежали бы в $\alpha$: если $O_1$ лежит на прямой $OA$, то сонаправленный луч $O_1A_1$ лежит на той же прямой, а если не лежит — в $\alpha$ есть параллельная $OA$ прямая через $O_1$, и других по теореме 1 нет. Для $OB$ так же. Тогда оба угла лежали бы в $\alpha$.

Шаг 2. Прямая $O_1A_1$ не имеет общих точек с $\alpha$. Параллельные прямые $OA$ и $O_1A_1$ лежат в плоскости $\gamma$; она отлична от $\alpha$ (в ней есть $O_1$) и пересекается с $\alpha$ по прямой $OA$. Общая точка $O_1A_1$ и $\alpha$ лежала бы на $OA$, а $O_1A_1 \parallel OA$. Так же прямая $O_1B_1$ не имеет общих точек с $\alpha$.

Шаг 3. Отложим точки так, что $OA = O_1A_1$ и $OB = O_1B_1$. В четырехугольнике $OAA_1O_1$ стороны $OA$ и $O_1A_1$ параллельны и равны, а $A$ и $A_1$ лежат по одну сторону от $OO_1$ (так определена сонаправленность). Значит, $OAA_1O_1$ — параллелограмм: $AA_1 \parallel OO_1$, $AA_1 = OO_1$. Так же $OBB_1O_1$ — параллелограмм: $BB_1 \parallel OO_1$, $BB_1 = OO_1$.

Шаг 4. Прямые $AA_1$ и $BB_1$ различны: иначе точка $A_1$ лежала бы на прямой $AB \subset \alpha$, что запрещает шаг 2. По теореме 2 $AA_1 \parallel BB_1$, и $AA_1 = BB_1$.

Шаг 5. Точки $A_1$ и $B_1$ лежат по одну сторону от прямой $AB$. Иначе отрезок $A_1B_1$ пересек бы $AB$, плоскости $\alpha$ и $\alpha_1$ имели бы общую точку и по А3 пересекались бы по прямой $m$. Прямая $m \subset \alpha_1$ имеет общую точку хотя бы с одной из прямых $O_1A_1$, $O_1B_1$ (иначе через $O_1$ в $\alpha_1$ проходили бы две прямые, параллельные $m$). Эта точка лежит в $\alpha$ — противоречие с шагом 2. Поэтому $ABB_1A_1$ — параллелограмм и $AB = A_1B_1$.

Шаг 6. Треугольники $AOB$ и $A_1O_1B_1$ равны по трем сторонам, поэтому $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$. Что и требовалось доказать.

В доказательстве (кнопка выше) шаги 3–5 и есть перенос угольника без поворота: каждая точка угла сдвигается на один и тот же отрезок, равный и параллельный $OO_1$. На чертеже-тени величина угла искажается, но тени двух таких углов все равно равны между собой: тень сохраняет параллельность и направление лучей.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В призме $ABCA_1B_1C_1$ угол $BAC$ равен $58^\\circ$. Найдите угол $B_1A_1C_1$ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pxcvajs2nz6d.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"58"}},"hints":["Лучи $AB$ и $A_1B_1$, $AC$ и $A_1C_1$ сонаправлены (боковые грани — параллелограммы).","Углы с сонаправленными сторонами равны.","Ответ: 58."],"step":1},{"content":"В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выберите угол, равный углу $CBB_1$ по теореме об углах с сонаправленными сторонами.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\angle ADD_1$","$\\angle D_1DC$","$\\angle DAA_1$","$\\angle ABB_1$"],"explanations":["Луч $DA$ противоположно направлен лучу $BC$, а луч $DD_1$ сонаправлен $BB_1$, поэтому условие теоремы о сонаправленных сторонах не выполнено; углы с разными вершинами не смежные","Луч $DC$ не параллелен лучу $BC$","","Луч $BA$ не параллелен лучу $BC$"],"answer":[2]}},"hints":["Нужны лучи, сонаправленные лучам $BC$ и $BB_1$.","Лучи $AD \\uparrow\\uparrow BC$ и $AA_1 \\uparrow\\uparrow BB_1$.","Ответ: $\\angle DAA_1$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Если одна пара сторон смотрит в обратную сторону

Ошибка

Неверный ход. «Стороны угла $B_1A_1P$ параллельны сторонам угла $BAC$, значит, углы равны».

Проверка на числах. В призме $ABCA_1B_1C_1$ угол $BAC = 40^\circ$, точка $P$ лежит на продолжении ребра $C_1A_1$ за точку $A_1$. По теореме 3 $\angle B_1A_1C_1 = 40^\circ$. Углы $B_1A_1C_1$ и $B_1A_1P$ смежные, поэтому $\angle B_1A_1P = 180^\circ-40^\circ = 140^\circ$, а не $40^\circ$.

Где сломалось. Прямая $A_1P$ параллельна $AC$, но луч $A_1P$ противоположно направлен лучу $AC$. Теорема 3 требует сонаправленности обеих пар сторон, а не только параллельности.

Призма ABCA₁B₁C₁: угол BAC равен 40°, угол B₁A₁C₁ тоже 40°; угол B₁A₁P с лучом A₁P, противоположным A₁C₁, равен 140° — Луч $A_1P$ смотрит против луча $AC$: угол $B_1A_1P$ дополняет $40^\circ$ до $180^\circ$

Правило

Пусть стороны двух углов соответственно параллельны. Если обе пары сторон сонаправлены или обе противоположно направлены, углы равны. Если одна пара сонаправлена, а другая противоположно направлена, сумма углов равна $180^\circ$.

Случай «обе пары обратные»: если продлить за $A_1$ ребро $B_1A_1$, получится угол, вертикальный к $B_1A_1C_1$, — снова $40^\circ$. Заменили один луч противоположным — смежный угол, оба — вертикальный.

g10-parallelnye-povorot

{"questions":[{"content":"Найдите ошибку. Решавр утверждает: «Стороны угла $\\alpha = 70^\\circ$ параллельны сторонам угла $\\beta$, значит $\\beta = 70^\\circ$». Чему может быть равен угол $\\beta$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$70^\\circ$ или $20^\\circ$","$70^\\circ$ или $110^\\circ$","Только $70^\\circ$","$110^\\circ$ или $290^\\circ$"],"explanations":["$20^\\circ$ — дополнение до $90^\\circ$; параллельные стороны дают дополнение до $180^\\circ$","","Значение $70^\\circ$ возможно, если обе пары сторон сонаправлены или обе противоположно направлены. Но если противоположно направлена ровно одна пара, получается $180^\\circ-70^\\circ = 110^\\circ$; поэтому слово «только» неверно","Угол между лучами не больше $180^\\circ$; $290^\\circ$ быть не может"],"answer":[1]}},"hints":["Равенство доказано для сонаправленных сторон.","Если одна пара сторон направлена противоположно, угол $\\beta$ дополняет $\\alpha$ до $180^\\circ$.","Ответ: $70^\\circ$ или $110^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"[[image-1]]В призме $ABCA_1B_1C_1$ угол $BAC$ равен $62^\\circ$. Точка $P$ лежит на продолжении ребра $C_1A_1$ за точку $A_1$. Найдите угол $B_1A_1P$ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tv9vkydpgw9d.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"118"}},"hints":["Луч $A_1B_1$ сонаправлен лучу $AB$, а луч $A_1P$ противоположно направлен лучу $A_1C_1$, который сонаправлен лучу $AC$.","Значит, $\\angle B_1A_1P$ и $\\angle B_1A_1C_1 = \\angle BAC$ — смежные углы.","$180^\\circ-62^\\circ = 118^\\circ$. Ответ: 118."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Цепочка параллельных: забор и средние линии тетраэдра

Вернемся к забору (все стойки различны). Стойки 1 и 2 параллельны, стойки 2 и 3 параллельны — по теореме 2 стойки 1 и 3 параллельны, хотя на повороте три стойки не стоят в одной плоскости. Дальше цепочка продолжается: из «1 параллельна 3» и «3 параллельна 4» получаем «1 параллельна 4», и так до последней стойки. Значит, первая и последняя стойки параллельны, как бы ни шел забор.

Та же цепочка работает в задачах ЕГЭ, где нужно доказать параллельность отрезков из разных граней.

Тетраэдр DABC, M, N, K, P — середины DA, DB, CB, CA; MNKP — параллелограмм: MN и KP параллельны AB, MP и NK параллельны DC — $MN$ и $KP$ лежат в разных гранях, но обе параллельны $AB$ — значит, параллельны друг другу

Вспомним: средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Пример 2

В тетраэдре $DABC$ точки $M$, $N$, $K$, $P$ — середины ребер $DA$, $DB$, $CB$, $CA$; $AB = 12$, $DC = 8$. а) Докажите, что $MNKP$ — параллелограмм. б) Найдите его периметр.

Решение. а) $MN$ — средняя линия треугольника $DAB$: $MN \parallel AB$, $MN = 6$. $KP$ — средняя линия треугольника $CAB$: $KP \parallel AB$, $KP = 6$. Прямые $MN$ и $KP$ различны ($M$ не лежит в плоскости $ABC$, где лежит $KP$), поэтому по теореме 2 $MN \parallel KP$. Так же $MP \parallel DC$ и $NK \parallel DC$, значит, $MP \parallel NK$, $MP = NK = 4$. Параллельные прямые $MN$ и $KP$ задают плоскость, в ней лежат все четыре точки. Противоположные стороны четырехугольника $MNKP$ попарно параллельны — это параллелограмм.

б) Периметр равен $2 \cdot (6+4) = 20$.

Ответ: б) $20$.

{"questions":[{"content":"В тетраэдре $DABC$ точки $N$ и $Q$ — середины ребер $DB$ и $DC$. Известно, что $BC = 18$. Найдите $NQ$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Отрезок $NQ$ — средняя линия треугольника $DBC$.","Средняя линия параллельна $BC$ и равна его половине.","$NQ = 18 : 2 = 9$. Ответ: 9."],"step":1},{"content":"В тетраэдре $DABC$ точки $N$, $Q$, $S$, $P$ — середины ребер $DB$, $DC$, $AB$, $AC$. Какой набор фактов доказывает, что $NQ \\parallel SP$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$NQ$ и $SP$ лежат в одной плоскости, значит параллельны","$NQ$ и $SP$ не пересекаются, значит параллельны","$NQ = SP$, значит $NQ \\parallel SP$","Различные прямые $NQ$ и $SP$ параллельны $BC$, значит $NQ \\parallel SP$"],"explanations":["Лежать в одной плоскости мало: прямые могут пересекаться","Не пересекаются и скрещивающиеся прямые; нужна общая плоскость или теорема 2","Равные отрезки не обязаны быть параллельными",""],"answer":[3]}},"hints":["$NQ$ — средняя линия треугольника $DBC$, значит $NQ \\parallel BC$.","$SP$ — средняя линия треугольника $ABC$, значит $SP \\parallel BC$.","Обе прямые параллельны $BC$, по теореме 2 $NQ \\parallel SP$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Три теоремы урока — главный инструмент, чтобы доказывать параллельность в пространстве, когда прямые не лежат в одной грани: найдите третью прямую, параллельную обеим, или угол, перенесенный без поворота.

Часто задаваемые вопросы

Зачем доказывать параллельность трех прямых, если в планиметрии она уже есть?

В планиметрии все три прямые лежат в одной плоскости. В пространстве это не так: ребра $AA_1$, $DD_1$, $CC_1$ куба не лежат в одной плоскости. Поэтому понадобились лемма и аксиомы стереометрии.

Можно ли так же рассуждать о скрещивающихся прямых?

Нет. В кубе $AA_1$ и $BC$ скрещиваются, $BC$ и $DD_1$ скрещиваются, а $AA_1 \parallel DD_1$. Цепочка работает только для параллельных прямых.

Почему величина угла на чертеже может отличаться от его величины в пространстве?

Чертеж — тень фигуры: косая проекция сохраняет параллельность и направление лучей, но искажает величину углов. Тени двух таких углов равны между собой, но могут отличаться от настоящего угла. Поэтому углы находят по теореме, а не транспортиром по чертежу.

Награды за урок