Тест: 2.1

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Как расположены прямые $BB_1$ и $AD$ (ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$)?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/rikn7fnyjyz8.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Скрещиваются","Нельзя определить без измерения углов","Параллельны","Пересекаются"],"explanations":["","Расположение прямых в кубе определяют по плоскостям, а не измерением","Параллельные прямые лежат в одной плоскости, а эти — нет: они не имеют общих точек, но плоскости у них общей нет","У прямых нет общей точки: если продлить ребра, они все равно не встретятся в пространстве"],"answer":[0]}},"hints":["Проверьте, есть ли общая точка у прямых.","Проверьте, лежат ли прямые в одной плоскости: ребра, не лежащие в одной грани и не параллельные, в одной плоскости лежать не могут.","Общих точек нет, общей плоскости нет: прямые скрещиваются."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Как расположены прямые $A_1D_1$ и $AB$ (ребра куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$)?[[choice-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/zd1qckesrwg0.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["Параллельны","Скрещиваются","Пересекаются","Нельзя определить без измерения углов"],"explanations":["Параллельные прямые лежат в одной плоскости, а эти — нет: они не имеют общих точек, но плоскости у них общей нет","","У прямых нет общей точки: если продлить ребра, они все равно не встретятся в пространстве","Расположение прямых в кубе определяют по плоскостям, а не измерением"],"answer":[1]}},"hints":["Проверьте, есть ли общая точка у прямых.","Проверьте, лежат ли прямые в одной плоскости: ребра, не лежащие в одной грани и не параллельные, в одной плоскости лежать не могут.","Общих точек нет, общей плоскости нет: прямые скрещиваются."],"step":1},{"id":"2","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выберите пару пересекающихся ребер.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$AB$ и $C_1D_1$","$A_1B_1$ и $BC$","$DD_1$ и $DC$","$BC$ и $C_1D_1$"],"explanations":["Эти ребра параллельны: общей точки у них нет","Эти ребра скрещиваются: общей точки у них нет","","Ребра лежат в разных гранях и общей вершины не имеют"],"answer":[2]}},"hints":["Пересекающиеся ребра имеют общую вершину.","Найдите пару с общей вершиной.","Ответ: $DD_1$ и $DC$."],"step":1},{"id":"2","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выберите пару пересекающихся ребер.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$BC$ и $A_1A$","$A_1B_1$ и $B_1C_1$","$AD$ и $B_1C_1$","$CD$ и $AA_1$"],"explanations":["Ребро $BC$ не проходит через $A$ или $A_1$: ребра скрещиваются","","Эти ребра параллельны: общей точки у них нет","Ребро $CD$ лежит в основании, $AA_1$ вертикально; общей вершины нет"],"answer":[1]}},"hints":["Пересекающиеся ребра имеют общую вершину.","Найдите пару с общей вершиной.","Ответ: $A_1B_1$ и $B_1C_1$."],"step":1},{"id":"3","content":"Плоскость $\\alpha$ — плоскость $ABC$. Прямая $AB$ лежит в $\\alpha$, а прямая $CC_1$ пересекает $\\alpha$ в точке $C$. Что можно утверждать о $AB$ и $CC_1$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Ничего нельзя утверждать","Пересекаются в точке $C$","Скрещиваются, так как $C\\notin AB$","Параллельны, так как у $AB$ и $CC_1$ нет общих точек"],"explanations":["Признак применим: точка пересечения не лежит на $AB$","Точка $C$ принадлежит $CC_1$, но не принадлежит $AB$","","Отсутствие общих точек еще не дает параллельности: нужна и общая плоскость, а плоскость, содержащая $AB$ и точку $C$, — это $ABC$, и $CC_1$ в ней не лежит"],"answer":[2]}},"hints":["Точка $C$ не лежит на прямой $AB$.","$CC_1$ пересекает $\\alpha$ вне $AB$.","По признаку $AB$ и $CC_1$ скрещиваются."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Плоскость $\\alpha$ — плоскость $A_1B_1C_1$. Прямая $B_1C_1$ лежит в $\\alpha$, а прямая $AA_1$ пересекает $\\alpha$ в точке $A_1$. Что можно утверждать о $B_1C_1$ и $AA_1$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Пересекаются в точке $A_1$","Ничего нельзя утверждать","Пересекаются в точке, лежащей на продолжении ребер","Скрещиваются, так как $A_1\\notin B_1C_1$"],"explanations":["Точка $A_1$ принадлежит $AA_1$, но не принадлежит прямой $B_1C_1$","Признак применим: точка пересечения не лежит на $B_1C_1$","Любая общая точка лежала бы в плоскости $A_1B_1C_1$ и на $AA_1$, то есть была бы точкой $A_1$, а $A_1$ не лежит на $B_1C_1$",""],"answer":[3]}},"hints":["Точка $A_1$ не лежит на прямой $B_1C_1$.","$AA_1$ пересекает $\\alpha$ вне $B_1C_1$.","По признаку $B_1C_1$ и $AA_1$ скрещиваются."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Значит, они [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["пересекаются","скрещиваются","параллельны","совпадают"],"answer":2}},"hints":["Общая плоскость есть.","Общих точек нет.","Ответ: параллельны."],"step":1},{"id":"4","content":"Прямые $a$ и $b$ не лежат в одной плоскости. Значит, они [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["параллельны","пересекаются","совпадают","скрещиваются"],"answer":3}},"hints":["Общей плоскости нет, поэтому прямые не параллельны и не пересекаются.","Остается третий случай.","Ответ: скрещиваются."],"step":1},{"id":"5","content":"Сколько пар скрещивающихся ребер у тетраэдра $DABC$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["В тетраэдре скрещиваются в точности те пары ребер, у которых нет общей вершины.","Пары: $AB$ и $DC$, $AC$ и $DB$, $BC$ и $DA$.","Ответ: 3."],"step":1},{"id":"5","content":"Сколько пар скрещивающихся ребер у тетраэдра $SABC$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["В тетраэдре скрещиваются в точности те пары ребер, у которых нет общей вершины.","Пары: $AB$ и $SC$, $AC$ и $SB$, $BC$ и $SA$.","Ответ: 3."],"step":1},{"id":"6","content":"Распределите пары ребер куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ по взаимному расположению прямых.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Пересекаются","Параллельны","Скрещиваются"],"items":[["$AB$ и $BB_1$","$C_1D_1$ и $DD_1$"],["$AD$ и $BC$","$AA_1$ и $CC_1$"],["$AB$ и $DD_1$","$A_1D_1$ и $CC_1$"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Сначала найдите у каждой пары общую вершину. Что наличие общей точки говорит о расположении прямых?","Если общей точки нет, проверьте, лежат ли ребра в одной плоскости: параллельны ребра одного направления.","Пересекаются $AB$ и $BB_1$, $C_1D_1$ и $DD_1$; параллельны $AD$ и $BC$, $AA_1$ и $CC_1$; скрещиваются $AB$ и $DD_1$, $A_1D_1$ и $CC_1$."],"step":1},{"id":"6","content":"Распределите пары ребер куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ по взаимному расположению прямых.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Пересекаются","Параллельны","Скрещиваются"],"items":[["$AD$ и $CD$","$BB_1$ и $B_1C_1$"],["$A_1B_1$ и $C_1D_1$","$BB_1$ и $DD_1$"],["$AD$ и $BB_1$","$CD$ и $AA_1$"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Сначала найдите у каждой пары общую вершину. Что наличие общей точки говорит о расположении прямых?","Если общей точки нет, проверьте, лежат ли ребра в одной плоскости: параллельны ребра одного направления.","Пересекаются $AD$ и $CD$, $BB_1$ и $B_1C_1$; параллельны $A_1B_1$ и $C_1D_1$, $BB_1$ и $DD_1$; скрещиваются $AD$ и $BB_1$, $CD$ и $AA_1$."],"step":1},{"id":"7","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сопоставьте пару ребер и расположение их прямых.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AD$ и $BC$","$AD$ и $AA_1$","$AD$ и $CC_1$"],"items":["Параллельны","Пересекаются","Скрещиваются"]}},"instruction":"Соедините пару ребер с расположением","hints":["Сопоставляйте два признака: число общих точек и наличие общей плоскости.","Если общей точки нет, проверьте, лежат ли ребра в одной плоскости.","$AD$ и $BC$ лежат в одной плоскости и общих точек не имеют — параллельны; $AD$ и $AA_1$ имеют общую вершину $A$ — пересекаются; $AD$ и $CC_1$ не имеют ни общей точки, ни общей плоскости — скрещиваются."],"step":1},{"id":"7","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сопоставьте пару ребер и расположение их прямых.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$CD$ и $A_1B_1$","$CD$ и $DD_1$","$CD$ и $BB_1$"],"items":["Параллельны","Пересекаются","Скрещиваются"]}},"instruction":"Соедините пару ребер с расположением","hints":["Сопоставляйте два признака: число общих точек и наличие общей плоскости.","Если общей точки нет, проверьте, лежат ли ребра в одной плоскости.","$CD$ и $A_1B_1$ лежат в одной плоскости и общих точек не имеют — параллельны; $CD$ и $DD_1$ имеют общую вершину $D$ — пересекаются; $CD$ и $BB_1$ не имеют ни общей точки, ни общей плоскости — скрещиваются."],"step":1},{"id":"8","content":"Найдите ошибку. Точка $M$ принадлежит отрезку $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Решавр утверждает: «У прямых $AM$ и $CC_1$ нет общих точек, значит, они параллельны». Что верно на самом деле?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Параллельны при любом $M$, ведь $CC_1$ вертикальна","Всегда скрещиваются","При $M = C$ прямые пересекаются, при остальных $M$ скрещиваются","Всегда пересекаются в точке $C$"],"explanations":["Параллельными они не бывают: при $M = C$ у прямых есть общая точка $C$; при $M \\ne C$ общая плоскость содержала бы $AM$ и точку $C$, то есть совпала бы с плоскостью $ABC$, а $CC_1$ в ней не лежит","При $M = C$ точка $C$ лежит и на $AM$, и на $CC_1$: прямые пересекаются","","Точка $C$ лежит на $AM$ только при $M = C$"],"answer":[2]}},"hints":["Для параллельности нужны общая плоскость и отсутствие общих точек. Проверьте, что получается при $M = C$ и при $M \\ne C$.","Прямая $AM$ лежит в плоскости $ABC$, а $CC_1$ пересекает эту плоскость в точке $C$. Прямая $AM$ пересекает прямую $BC$ только в точке $M$, поэтому при $M \\ne C$ точка $C$ на $AM$ не лежит.","При $M = C$ прямые пересекаются в точке $C$, при $M \\ne C$ скрещиваются; параллельными они не бывают."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Найдите ошибку. Точка $N$ принадлежит ребру $AD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Решавр утверждает: «У прямых $BN$ и $DD_1$ нет общих точек, значит, они параллельны». Что верно на самом деле?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["При $N = D$ прямые пересекаются, при остальных $N$ скрещиваются","Всегда скрещиваются","Всегда пересекаются в точке $D$","Параллельны при любом $N$, ведь $DD_1$ вертикальна"],"explanations":["","При $N = D$ точка $D$ лежит и на $BN$, и на $DD_1$: прямые пересекаются","Точка $D$ лежит на $BN$ только при $N = D$","Параллельными они не бывают: при $N = D$ у прямых есть общая точка $D$; при $N \\ne D$ общая плоскость содержала бы $BN$ и точку $D$, то есть совпала бы с плоскостью $ABC$, а $DD_1$ в ней не лежит"],"answer":[0]}},"hints":["Для параллельности нужны общая плоскость и отсутствие общих точек. Проверьте, что получается при $N = D$ и при $N \\ne D$.","Прямая $BN$ лежит в плоскости $ABC$, а $DD_1$ пересекает эту плоскость в точке $D$. Прямая $BN$ пересекает прямую $AD$ только в точке $N$, поэтому при $N \\ne D$ точка $D$ на $BN$ не лежит.","При $N = D$ прямые пересекаются в точке $D$, при $N \\ne D$ скрещиваются; параллельными они не бывают."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Найдите ошибку. Решавр смотрит на чертеж куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$: «Ребра $A_1B_1$ и $DD_1$ пересекаются, ведь на чертеже они сходятся в одной точке». Как они расположены на самом деле?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Пересекаются: общая точка видна на чертеже","Параллельны: оба ребра идут «вглубь» куба","Скрещиваются","Расположение зависит от ракурса"],"explanations":["Общая точка на чертеже — тень двух разных точек","Ребро $A_1B_1$ идет вправо, а $DD_1$ — вверх; они не параллельны","","Ракурс меняет тень, но не расположение прямых"],"answer":[2]}},"hints":["Чертеж — тень: разные точки пространства дают одну точку тени.","$A_1B_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1$, а $DD_1$ пересекает ее в точке $D_1$, не лежащей на $A_1B_1$.","По признаку прямые скрещиваются."],"step":1},{"id":"9","content":"Найдите ошибку. Решавр смотрит на чертеж куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$: «Диагональ $AC$ основания и ребро $BB_1$ пересекаются, ведь на чертеже они перекрещиваются». Как они расположены на самом деле?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Скрещиваются","Параллельны: обе «стоят» над основанием","Пересекаются в вершине $B$","Пересекаются: общая точка видна на чертеже"],"explanations":["","Параллельными они не бывают: $BB_1$ пересекает плоскость $ABC$ в точке $B$, которая не лежит на $AC$, поэтому по признаку прямые скрещиваются","Вершина $B$ не лежит на диагонали $AC$","Общая точка на чертеже — тень двух разных точек"],"answer":[0]}},"hints":["Диагональ $AC$ лежит в плоскости $ABC$.","Прямая $BB_1$ пересекает эту плоскость в точке $B$, а $B$ не лежит на $AC$.","По признаку прямые скрещиваются."],"step":1},{"id":"10","content":"Найдите ошибку. Решавр утверждает: «Если $a$ и $b$ скрещиваются и $b$ и $c$ скрещиваются, то $a$ и $c$ тоже скрещиваются». Какая тройка ребер куба опровергает это утверждение?[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$a = AA_1$, $b = BC$, $c = A_1B_1$","$a = AB$, $b = CC_1$, $c = A_1D_1$","$a = BB_1$, $b = AD$, $c = C_1D_1$","$a = AA_1$, $b = BC$, $c = C_1D_1$"],"explanations":["","Здесь $AB$ и $A_1D_1$ тоже скрещиваются: утверждение не опровергнуто","Здесь $BB_1$ и $C_1D_1$ тоже скрещиваются: утверждение не опровергнуто","Здесь $AA_1$ и $C_1D_1$ тоже скрещиваются: утверждение не опровергнуто"],"answer":[0]}},"hints":["Нужна тройка, где $a$ и $b$ скрещиваются, $b$ и $c$ скрещиваются, а $a$ и $c$ — нет.","Для $a = AA_1$, $b = BC$, $c = A_1B_1$: $AA_1$ и $BC$ скрещиваются, $BC$ и $A_1B_1$ скрещиваются, а $AA_1$ и $A_1B_1$ пересекаются в $A_1$.","Ответ: тройка $AA_1$, $BC$, $A_1B_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите ошибку. Решавр утверждает: «Если $a$ и $b$ скрещиваются и $b$ и $c$ скрещиваются, то $a$ и $c$ тоже скрещиваются». Какая тройка ребер куба опровергает это утверждение?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$a = AA_1$, $b = BC$, $c = C_1D_1$","$a = BB_1$, $b = AD$, $c = C_1D_1$","$a = AA_1$, $b = CD$, $c = A_1D_1$","$a = AB$, $b = CC_1$, $c = A_1D_1$"],"explanations":["Здесь $AA_1$ и $C_1D_1$ тоже скрещиваются: утверждение не опровергнуто","Здесь $BB_1$ и $C_1D_1$ тоже скрещиваются: утверждение не опровергнуто","","Здесь $AB$ и $A_1D_1$ тоже скрещиваются: утверждение не опровергнуто"],"answer":[2]}},"hints":["Нужна тройка, где $a$ и $b$ скрещиваются, $b$ и $c$ скрещиваются, а $a$ и $c$ — нет.","Для $a = AA_1$, $b = CD$, $c = A_1D_1$: $AA_1$ и $CD$ скрещиваются, $CD$ и $A_1D_1$ скрещиваются, а $AA_1$ и $A_1D_1$ пересекаются в $A_1$.","Ответ: тройка $AA_1$, $CD$, $A_1D_1$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>