Тест: 2.2

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB$ $\\parallel$ $DC$ и $DC$ $\\parallel$ $D_1C_1$. Что следует для $AB$ и $D_1C_1$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$AB$ и $D_1C_1$ скрещиваются, так как лежат в разных гранях","Ничего нельзя сказать без чертежа","$AB$ и $D_1C_1$ пересекаются","$AB$ $\\parallel$ $D_1C_1$"],"explanations":["Грани разные, но две различные прямые, параллельные третьей, параллельны","Теорема 2 дает определенный ответ","Пересекающиеся прямые не могут быть параллельны одной и той же прямой",""],"answer":[3]}},"hints":["Прямые $AB$ и $D_1C_1$ параллельны одной и той же прямой $DC$.","По теореме 2 они параллельны.","Ответ: $AB$ $\\parallel$ $D_1C_1$."],"step":1},{"id":"1","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AD$ $\\parallel$ $A_1D_1$ и $A_1D_1$ $\\parallel$ $B_1C_1$. Что следует для $AD$ и $B_1C_1$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ничего нельзя сказать без чертежа","$AD$ $\\parallel$ $B_1C_1$","$AD$ и $B_1C_1$ пересекаются","$AD$ и $B_1C_1$ скрещиваются, так как лежат в разных гранях"],"explanations":["Теорема 2 дает определенный ответ","","Пересекающиеся прямые не могут быть параллельны одной и той же прямой","Грани разные, но две различные прямые, параллельные третьей, параллельны"],"answer":[1]}},"hints":["Прямые $AD$ и $B_1C_1$ параллельны одной и той же прямой $A_1D_1$.","По теореме 2 они параллельны.","Ответ: $AD$ $\\parallel$ $B_1C_1$."],"step":1},{"id":"2","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выберите пару сонаправленных лучей.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Лучи $DC$ и $CC_1$","Лучи $DC$ и $B_1A_1$","Лучи $AB$ и $A_1D_1$","Лучи $DC$ и $A_1B_1$"],"explanations":["Лучи не параллельны: один идет вправо, другой — вверх","Параллельные прямые, но лучи идут в противоположные стороны: вправо и влево","Лучи не параллельны: один идет вправо, другой — вглубь",""],"answer":[3]}},"hints":["Сонаправленные лучи лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону (в предложенных парах лучи лежат на различных прямых).","Проверьте направление каждой пары: «вправо», «вверх», «вглубь».","Ответ: лучи $DC$ и $A_1B_1$."],"step":1},{"id":"2","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ выберите пару сонаправленных лучей.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Лучи $BA$ и $B_1C_1$","Лучи $BC$ и $BB_1$","Лучи $BC$ и $D_1A_1$","Лучи $BC$ и $A_1D_1$"],"explanations":["Лучи не параллельны: один идет влево, другой — вглубь","Лучи не параллельны: один идет вглубь, другой — вверх","Прямые параллельны, но лучи идут в противоположные стороны: вглубь и к зрителю",""],"answer":[3]}},"hints":["Сонаправленные лучи лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону (в предложенных парах лучи лежат на различных прямых).","Проверьте направление каждой пары: «вправо», «вверх», «вглубь».","Ответ: лучи $BC$ и $A_1D_1$."],"step":1},{"id":"3","content":"В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ угол $ABC$ равен $115^\\circ$. Найдите угол $A_1B_1C_1$ в градусах. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"115"}},"hints":["Лучи $BA$ и $B_1A_1$, $BC$ и $B_1C_1$ сонаправлены.","Углы с сонаправленными сторонами равны.","Ответ: 115."],"step":1},{"id":"3","content":"В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ угол $DAB$ равен $68^\\circ$. Найдите угол $D_1A_1B_1$ в градусах. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"68"}},"hints":["Лучи $AD$ и $A_1D_1$, $AB$ и $A_1B_1$ сонаправлены.","Углы с сонаправленными сторонами равны.","Ответ: 68."],"step":1},{"id":"4","content":"В тетраэдре $DABC$ точки $M$ и $P$ — середины ребер $DA$ и $CA$. Известно, что $DC = 14$. Найдите $MP$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["Отрезок $MP$ — средняя линия треугольника $ADC$.","Средняя линия параллельна $DC$ и равна его половине.","$MP = 14 : 2 = 7$. Ответ: 7."],"step":1},{"id":"4","content":"В тетраэдре $DABC$ точки $K$ и $L$ — середины ребер $BC$ и $BA$. Известно, что $AC = 22$. Найдите $KL$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"11"}},"hints":["Отрезок $KL$ — средняя линия треугольника $ABC$.","Она параллельна $AC$ и равна его половине.","$KL = 22 : 2 = 11$. Ответ: 11."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите пары лучей куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ по их взаимному направлению.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Сонаправлены","Противоположно направлены","Не лежат на параллельных прямых"],"items":[["$AB$ и $DC$","$BB_1$ и $CC_1$"],["$AD$ и $CB$","$A_1A$ и $BB_1$"],["$AB$ и $AA_1$","$DC$ и $D_1A_1$"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Параллельные прямые и одно направление («вправо» и «вправо», «вверх» и «вверх») — лучи сонаправлены.","Параллельные прямые, но направления противоположны — лучи противоположно направлены.","Если прямые не параллельны, лучи не относятся ни к тем, ни к другим (в предложенных парах лучи лежат на различных прямых)."],"step":1},{"id":"5","content":"Распределите пары лучей куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ по их взаимному направлению.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Сонаправлены","Противоположно направлены","Не лежат на параллельных прямых"],"items":[["$DA$ и $CB$","$A_1B_1$ и $AB$"],["$AB$ и $CD$","$D_1D$ и $AA_1$"],["$AD$ и $AB$","$B_1C_1$ и $CC_1$"]]}},"instruction":"Распределите пары по группам","hints":["Параллельные прямые и одно направление («к зрителю» и «к зрителю», «вправо» и «вправо») — лучи сонаправлены.","Параллельные прямые, но направления противоположны — лучи противоположно направлены.","Если прямые не параллельны, лучи не относятся ни к тем, ни к другим (в предложенных парах лучи лежат на различных прямых)."],"step":1},{"id":"6","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ докажите, что $\\angle B_1A_1D_1 = \\angle BAD$. Расставьте шаги доказательства.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Боковые грани куба — квадраты, поэтому $A_1B_1 \\parallel AB$ и $A_1D_1 \\parallel AD$","Лучи $A_1B_1$ и $AB$, а также $A_1D_1$ и $AD$ направлены одинаково, то есть сонаправлены","По теореме об углах с сонаправленными сторонами $\\angle B_1A_1D_1 = \\angle BAD$"]}},"hints":["Сначала назовите причину параллельности ребер: какие у куба грани?","Затем уточните направление: назовите две пары сонаправленных лучей.","В конце примените теорему и запишите равенство углов."],"step":1},{"id":"6","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ докажите, что $\\angle C_1B_1A_1 = \\angle CBA$. Расставьте шаги доказательства.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["Боковые грани куба — квадраты, поэтому $B_1C_1 \\parallel BC$ и $B_1A_1 \\parallel BA$","Лучи $B_1C_1$ и $BC$, а также $B_1A_1$ и $BA$ направлены одинаково, то есть сонаправлены","По теореме об углах с сонаправленными сторонами $\\angle C_1B_1A_1 = \\angle CBA$"]}},"hints":["Сначала назовите причину параллельности ребер: какие у куба грани?","Затем уточните направление: назовите две пары сонаправленных лучей.","В конце примените теорему и запишите равенство углов."],"step":1},{"id":"7","content":"Найдите ошибку. Решавр утверждает: «Стороны угла $\\alpha = 35^\\circ$ параллельны сторонам угла $\\beta$, значит $\\beta = 35^\\circ$». Чему может быть равен угол $\\beta$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$35^\\circ$ или $55^\\circ$","$35^\\circ$ или $145^\\circ$","$145^\\circ$ или $325^\\circ$","Только $35^\\circ$"],"explanations":["$55^\\circ$ — дополнение до $90^\\circ$; параллельные стороны дают дополнение до $180^\\circ$","","Угол между лучами не больше $180^\\circ$; $325^\\circ$ быть не может","Значение $35^\\circ$ возможно, если обе пары сторон сонаправлены или обе противоположно направлены. Но если противоположно направлена ровно одна пара, получается $180^\\circ-35^\\circ = 145^\\circ$; поэтому слово «только» неверно"],"answer":[1]}},"hints":["Равенство доказано для сонаправленных сторон.","Если одна пара сторон направлена противоположно, угол $\\beta$ дополняет $\\alpha$ до $180^\\circ$.","Ответ: $35^\\circ$ или $145^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Найдите ошибку. Решавр утверждает: «Стороны угла $\\alpha = 48^\\circ$ параллельны сторонам угла $\\beta$, значит $\\beta = 48^\\circ$». Чему может быть равен угол $\\beta$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Только $48^\\circ$","$132^\\circ$ или $312^\\circ$","$48^\\circ$ или $42^\\circ$","$48^\\circ$ или $132^\\circ$"],"explanations":["Значение $48^\\circ$ возможно, если обе пары сторон сонаправлены или обе противоположно направлены. Но если противоположно направлена ровно одна пара, получается $180^\\circ-48^\\circ = 132^\\circ$; поэтому слово «только» неверно","Угол между лучами не больше $180^\\circ$; $312^\\circ$ быть не может","$42^\\circ$ — дополнение до $90^\\circ$; параллельные стороны дают дополнение до $180^\\circ$",""],"answer":[3]}},"hints":["Равенство доказано для сонаправленных сторон.","Если одна пара сторон направлена противоположно, угол $\\beta$ дополняет $\\alpha$ до $180^\\circ$.","Ответ: $48^\\circ$ или $132^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Стороны угла $\\alpha$ соответственно параллельны сторонам угла $\\beta$, причем $\\alpha = 2\\beta$. Найдите $\\alpha$ в градусах. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["Углы, у которых обе пары сторон сонаправлены или обе противоположно направлены, равны, а $\\alpha = 2\\beta$ — не равенство. Значит, ровно одна пара сторон противоположно направлена.","Тогда $\\alpha + \\beta = 180^\\circ$, то есть $3\\beta = 180^\\circ$.","$\\beta = 60^\\circ$, $\\alpha = 120^\\circ$. Ответ: 120."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Стороны угла $\\alpha$ соответственно параллельны сторонам угла $\\beta$, причем $\\alpha = 4\\beta$. Найдите $\\beta$ в градусах. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["Углы, у которых обе пары сторон сонаправлены или обе противоположно направлены, равны, а $\\alpha = 4\\beta$ — не равенство. Значит, ровно одна пара сторон противоположно направлена.","Тогда $\\alpha + \\beta = 180^\\circ$, то есть $5\\beta = 180^\\circ$.","$\\beta = 36^\\circ$. Ответ: 36."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Решавр доказывает: «Прямые $a$ и $b$ не имеют общих точек, значит, $a \\parallel b$». Какого шага не хватает в рассуждении?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Не показано, что $a$ и $b$ пересекаются","Не показано, что $a$ и $b$ совпадают","Не показано, что $a$ и $b$ лежат в одной плоскости","Ничего: отсутствие общих точек и есть параллельность"],"explanations":["Пересекающиеся прямые не параллельны: у параллельных общих точек нет","Параллельные прямые различны: совпадение исключило бы параллельность","","Скрещивающиеся прямые тоже не имеют общих точек, но не параллельны"],"answer":[2]}},"hints":["Сравните две пары ребер куба: $AA_1, CC_1$ и $AA_1, BC$. У обеих пар нет общих точек. В чем различие?","Отсутствие общих точек есть и у скрещивающихся прямых.","Нужно показать, что $a$ и $b$ лежат в одной плоскости."],"step":1},{"id":"9","content":"Решавр доказывает: «Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости, значит, $a \\parallel b$». Какого шага не хватает в рассуждении?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Не показано, что $a$ и $b$ скрещиваются","Ничего: две прямые в одной плоскости всегда параллельны","Не показано, что $a$ и $b$ совпадают","Не показано, что у $a$ и $b$ нет общих точек"],"explanations":["Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости, а здесь они лежат","Две прямые в одной плоскости могут пересекаться","Параллельные прямые различны: совпадение исключило бы параллельность",""],"answer":[3]}},"hints":["Сравните $AB, DC$ и $AB, AD$ на нижней грани куба: обе пары лежат в одной плоскости. В чем различие?","В одной плоскости прямые могут пересекаться.","Нужно показать, что у $a$ и $b$ нет общих точек."],"step":1},{"id":"10","content":"Различные прямые $a$ и $b$ параллельны прямой $c$. Плоскость $\\alpha$ пересекает $a$ ровно в одной точке. Может ли $b$ лежать в плоскости $\\alpha$?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Может, если $b$ и $c$ лежат в одной плоскости","Может, но только если $b$ совпадает с $a$","Может: $b$ параллельна $a$, а $a$ лишь пересекает $\\alpha$","Нет: $c$, а затем $b$ пересекают $\\alpha$ в одной точке"],"explanations":["Две параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости, но это не помогает: $b$ пересекает $\\alpha$, поэтому в $\\alpha$ не лежит","Прямые $a$ и $b$ различны по условию, и сама $a$ не лежит в $\\alpha$: у нее с $\\alpha$ одна общая точка","Лемма применима к $b \\parallel c$: так как $c$ пересекает $\\alpha$, то и $b$ пересекает ее, а не лежит в ней",""],"answer":[3]}},"hints":["Сначала примените лемму к паре $a \\parallel c$: что можно сказать о $c$ и $\\alpha$?","Теперь примените лемму к паре $c \\parallel b$ и плоскости $\\alpha$.","Ответ: нет, $b$ пересекает $\\alpha$ в одной точке."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Различные прямые $m$ и $n$ параллельны прямой $l$. Плоскость $\\gamma$ пересекает $n$ ровно в одной точке. Может ли $m$ лежать в плоскости $\\gamma$?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Нет: $l$, а затем $m$ пересекают $\\gamma$ в одной точке","Может: $m$ параллельна $n$, а $n$ лишь пересекает $\\gamma$","Может, если $m$ и $l$ лежат в одной плоскости","Может, но только если $m$ совпадает с $n$"],"explanations":["","Лемма применима к $m \\parallel l$: так как $l$ пересекает $\\gamma$, то и $m$ пересекает ее, а не лежит в ней","Две параллельные прямые всегда лежат в одной плоскости, но это не помогает: $m$ пересекает $\\gamma$, поэтому в $\\gamma$ не лежит","Прямые $m$ и $n$ различны по условию, и сама $n$ не лежит в $\\gamma$: у нее с $\\gamma$ одна общая точка"],"answer":[0]}},"hints":["Сначала примените лемму к паре $n \\parallel l$: что можно сказать о $l$ и $\\gamma$?","Теперь примените лемму к паре $l \\parallel m$ и плоскости $\\gamma$.","Ответ: нет, $m$ пересекает $\\gamma$ в одной точке."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>