Карточки
Тесты
Зави
Тетраэдр и параллелепипед: свойства и сечения
Тетраэдр и параллелепипед: свойства и сечения
В уроке о параллельных плоскостях вы доказали: если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Сегодня применим это и другие теоремы модуля к двум главным многогранникам школьного курса — тетраэдру и параллелепипеду. Разберем их элементы, докажем свойства граней и диагоналей параллелепипеда и научимся строить сечения.
Вопрос к уроку. Деревянный брусок распиливают одним прямым пропилом. Срез может оказаться треугольником, четырехугольником, даже шестиугольником. Но если пила вошла по одному ребру бруска и вышла по противоположному, срез всегда параллелограмм — даже у скошенного бруска. Почему?
Тетраэдр: четыре треугольника и три пары противоположных ребер
Возьмем треугольник $ABC$ и точку $D$, которая не лежит в его плоскости. Соединим $D$ с вершинами $A$, $B$, $C$. Получилась фигура из четырех треугольников: $ABC$, $DAB$, $DBC$, $DCA$. Посчитаем: вершин 4, ребер 6 (три в основании и три боковых), граней 4.
Определение
Тетраэдр $DABC$ — поверхность, составленная из четырех треугольников $ABC$, $DAB$, $DBC$, $DCA$, где точка $D$ не лежит в плоскости $ABC$. Треугольники — грани, их стороны — ребра, точки $A$, $B$, $C$, $D$ — вершины.
Два ребра без общей вершины называются противоположными. В тетраэдре три пары противоположных ребер: $AB$ и $DC$, $AC$ и $DB$, $AD$ и $BC$.
Противоположные ребра лежат на скрещивающихся прямых: если бы $AB$ и $DC$ лежали в одной плоскости, в ней оказались бы все четыре вершины. С парами противоположных ребер связан особый отрезок.
Определение
Бимедиана тетраэдра — отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер. Медиана тетраэдра — отрезок, соединяющий вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Параллелепипед: противоположные грани параллельны и равны
Кирпич, коробка, брусок — модели параллелепипеда. Но параллелепипед не обязан быть прямоугольным: брусок может быть скошен, как сдвинутая стопка бумаги. Возьмем два равных параллелограмма $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ в параллельных плоскостях так, чтобы отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ были параллельны. Боковые четырехугольники, например $ABB_1A_1$, тоже параллелограммы.
Определение
Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — поверхность, составленная из двух равных параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, лежащих в параллельных плоскостях, и четырех параллелограммов $ABB_1A_1$, $BCC_1B_1$, $CDD_1C_1$, $DAA_1D_1$. У него 8 вершин, 12 ребер и 6 граней. Грани без общих вершин называются противоположными.
Двенадцать ребер разбиваются на три четверки параллельных и равных ребер: $AB$, $DC$, $A_1B_1$, $D_1C_1$; $AD$, $BC$, $A_1D_1$, $B_1C_1$; $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$. Отсюда главное свойство граней.
Теорема 1
Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Доказательство
Докажем для граней $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$.
Шаг 1. Параллельность. $AB \parallel DC$ (стороны параллелограмма $ABCD$), $AA_1 \parallel DD_1$ (стороны параллелограмма $ADD_1A_1$). Пересекающиеся прямые $AB$ и $AA_1$ одной грани соответственно параллельны прямым $DC$ и $DD_1$ другой. По признаку параллельности плоскостей грани лежат в параллельных плоскостях.
Шаг 2. Равенство. $AB = DC$ и $AA_1 = DD_1$ — противоположные стороны параллелограммов. Лучи $AB$ и $DC$ сонаправлены, лучи $AA_1$ и $DD_1$ тоже, поэтому $\angle A_1AB = \angle D_1DC$ (теорема об углах с сонаправленными сторонами). Параллелограммы с равными сторонами и равными углами между ними равны. Что и требовалось доказать.
Четыре диагонали встречаются в одной точке
Диагональ параллелепипеда — отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани. У каждой вершины одна такая противоположная: у $A$ — $C_1$, у $B$ — $D_1$, у $C$ — $A_1$, у $D$ — $B_1$. Значит, диагоналей четыре: $AC_1$, $BD_1$, $CA_1$, $DB_1$.
Два ребра параллелепипеда, которые параллельны, но не лежат в одной грани, называют противоположными: например, $AB$ и $D_1C_1$, $AA_1$ и $CC_1$. Обратите внимание: у параллелепипеда мало не иметь общей вершины — $AA_1$ и $BC$ не противоположные, они скрещиваются. Распилим брусок через противоположные ребра $AB$ и $D_1C_1$. На срезе — четырехугольник $ABC_1D_1$, и диагонали параллелепипеда $AC_1$ и $BD_1$ оказываются диагоналями этого среза.
Теорема 2
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Доказательство
Шаг 1. $AB \parallel DC$ и $DC \parallel D_1C_1$, поэтому $AB \parallel D_1C_1$ (две прямые, параллельные третьей). Кроме того, $AB = DC = D_1C_1$.
Шаг 2. Параллельные прямые $AB$ и $D_1C_1$ лежат в одной плоскости, и в четырехугольнике $ABC_1D_1$ стороны $AB$ и $D_1C_1$ параллельны и равны. Значит, $ABC_1D_1$ — параллелограмм, и его диагонали $AC_1$ и $BD_1$ пересекаются в точке $O$ — середине каждой из них.
Шаг 3. Так же $AA_1C_1C$ — параллелограмм ($AA_1 \parallel CC_1$, $AA_1 = CC_1$): диагональ $CA_1$ проходит через середину $AC_1$, то есть через $O$. Из параллелограмма $AB_1C_1D$ ($AD \parallel B_1C_1$, $AD = B_1C_1$) через $O$ проходит и $DB_1$. Все четыре диагонали проходят через $O$ и делятся ею пополам. Что и требовалось доказать.
Пример 1
Диагонали параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ пересекаются в точке $O$, $DB_1 = 13$. Точки $P$ и $Q$ — середины ребер $AA_1$ и $CC_1$. а) Найдите $OD$. б) Докажите, что $O$ — середина отрезка $PQ$.
Решение. а) По теореме 2 точка $O$ — середина $DB_1$: $OD = 13 : 2 = 6{,}5$.
б) $AA_1C_1C$ — параллелограмм, и $P$, $Q$ — середины его противоположных сторон $AA_1$ и $CC_1$. Тогда $AP = C_1Q$ и $AP \parallel C_1Q$, поэтому $APC_1Q$ — параллелограмм. Его диагонали $AC_1$ и $PQ$ делятся пополам, то есть середина $PQ$ совпадает с серединой $AC_1$ — с точкой $O$.
Ответ: а) $6{,}5$.
Сечение — след пилы на каждой грани
Пила, которая режет брусок, — плоскость. На каждой грани, которую она задела, остается прямой след. Эти следы и есть стороны среза. Внутри бруска пила тоже идет, но там следа на поверхности нет.
Определение
Секущая плоскость многогранника — плоскость, по обе стороны от которой есть его точки. Она пересекает грани по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого служат эти отрезки, называется сечением многогранника.
Правила построения сечения
- Две точки сечения соединяют отрезком, только если они лежат в одной грани: тогда по аксиоме А2 весь отрезок лежит в этой грани и это сторона сечения.
- Если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то стороны сечения на них параллельны (теорема о пересечении двух параллельных плоскостей третьей).
Правило 2 и отвечает на вопрос урока. Проведем секущую плоскость через противоположные ребра $AA_1$ и $CC_1$ (они параллельны и не лежат в одной грани). Такое сечение называется диагональным. Боковые стороны $AA_1$ и $CC_1$ — ребра, они параллельны и равны. Значит, $AA_1C_1C$ — параллелограмм у любого параллелепипеда, а пропил «от ребра до противоположного ребра» всегда дает параллелограмм.
Ошибка
Неверный ход. Нужно построить сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью через вершины $A$, $C_1$ и середину $M$ ребра $BB_1$. Ученик соединяет $A$ с $M$, $M$ с $C_1$, $C_1$ с $A$ и получает треугольник $AMC_1$.
Проверка на числах. Пусть ребро куба равно 4, $A(0;0;0)$, $C_1(4;4;4)$. Середина отрезка $AC_1$ — точка $(2;2;2)$, центр куба. Она не лежит ни на одной грани, значит, отрезок $AC_1$ проходит внутри куба.
Где сломалось. Точки $A$ и $C_1$ не лежат в одной грани — это диагональ куба, а не след пилы. Правильно: $AM$ — сторона в грани $ABB_1A_1$, $MC_1$ — в грани $BCC_1B_1$. Грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$, поэтому по правилу 2 через $A$ проводим $AN \parallel MC_1$; $AMC_1N$ — параллелограмм ($AM \parallel NC_1$ по правилу 2), поэтому $NC_1 = AM$. Прямоугольные треугольники $ND_1C_1$ и $MBA$ равны по гипотенузе и катету ($D_1C_1 = AB$), значит, $D_1N = BM = 2$ и $N$ — середина $DD_1$. Сечение — четырехугольник $AMC_1N$.
Четырехугольник $AMC_1N$ — параллелограмм: по правилу 2 $AM \parallel NC_1$ (параллельные грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$) и $AN \parallel MC_1$. Постройте это сечение сами по шагам: вершину $N$ вы найдете циркулем как четвертую вершину параллелограмма. Раствор берите по рисунку: на изображении параллелограмм остается параллелограммом, его противоположные стороны на рисунке равны, хотя настоящие длины рисунок искажает. Модель сверит ваши шаги с верным построением и отклонит отрезок через точки разных граней.
Сечение тетраэдра через ребро и точку на противоположном ребре
У тетраэдра четыре грани, поэтому пила оставляет не больше четырех следов: сечение — треугольник или четырехугольник. Самый простой случай — плоскость проходит через ребро и точку на противоположном ребре.
Пример 2
Все ребра тетраэдра $DABC$ равны 6. Постройте сечение плоскостью через ребро $AB$ и середину $K$ ребра $DC$ и найдите его периметр.
Решение. 1) Ребро $AB$ лежит в грани $ABC$ — это первая сторона сечения. 2) Точки $A$ и $K$ лежат в грани $DAC$: проводим $AK$. 3) Точки $B$ и $K$ лежат в грани $DBC$: проводим $BK$. Других граней плоскость не пересекает, сечение — треугольник $ABK$.
4) Треугольник $DAC$ равносторонний со стороной 6, $AK$ — его медиана, она же высота: $AK = \sqrt{6^2-3^2} = 3\sqrt{3}$. Так же $BK = 3\sqrt{3}$. Периметр равен $6 + 3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 6 + 6\sqrt{3}$.
Ответ: $6 + 6\sqrt{3}$.
Обратите внимание
Три точки задают секущую плоскость, но не сечение. Если две из них не лежат в одной грани, сечение будет иметь больше трех сторон: недостающие вершины ищут на других ребрах.
Как доказать, что сечение — параллелограмм
В задачах ЕГЭ часто просят доказать, что сечение — параллелограмм. Схема одна: найти две пары противоположных сторон и для каждой пары — прямую, которой обе стороны параллельны. Обычно это ребро многогранника, а стороны сечения — средние линии граней или следы на параллельных гранях.
Пример 3
Плоскость проходит через середины $M$, $N$, $K$ ребер $DA$, $DB$, $BC$ тетраэдра $DABC$. а) Постройте сечение и докажите, что это параллелограмм. б) Найдите его периметр, если $AB = 10$, $DC = 14$.
Решение. а) $MN$ — средняя линия треугольника $DAB$: $MN \parallel AB$, $MN = 5$. $NK$ лежит в грани $DBC$. Точки $K$ и $M$ общей грани не имеют — соединять их нельзя.
Прямая $MN$ параллельна прямой $AB$ из плоскости $ABC$, значит, $MN$ параллельна плоскости $ABC$. Секущая плоскость содержит $MN$ и пересекает плоскость $ABC$ по прямой через $K$, параллельной $MN$, то есть параллельной $AB$. В треугольнике $ABC$ эта прямая проходит через середину $K$ стороны $BC$ и потому пересекает $AC$ в середине $P$. Сечение — $MNKP$.
$KP$ — средняя линия треугольника $ABC$: $KP \parallel AB$, $KP = 5$. $MP$ и $NK$ — средние линии треугольников $DAC$ и $DBC$: обе параллельны $DC$ и равны 7. Противоположные стороны $MNKP$ попарно параллельны — это параллелограмм.
б) $P = 2 \cdot (5 + 7) = 24$.
Ответ: б) $24$.
Ответ на вопрос урока теперь полный. Пропил через два противоположных ребра бруска — диагональное сечение: его стороны на параллельных гранях параллельны по правилу 2, а две другие стороны — сами ребра, параллельные и равные. Поэтому срез — параллелограмм при любом наклоне бруска.
Вывод
Тетраэдр и параллелепипед — фигуры, на которых строятся почти все задачи ЕГЭ по стереометрии. Чтобы не ошибиться в сечении, представляйте пилу: сторона сечения — это ее след на грани, поэтому соединять можно только точки одной грани.
Часто задаваемые вопросы
Сторон у сечения не больше, чем граней, которые задела плоскость. У тетраэдра четыре грани, поэтому сечение — треугольник или четырехугольник. У параллелепипеда шесть граней: сечение может иметь от трех до шести сторон.
Диагонали $AC_1$ и $BD_1$ — диагонали параллелограмма $ABC_1D_1$, поэтому делятся точкой пересечения пополам. Равенство диагоналей из этого не следует: оно верно для прямоугольного параллелепипеда, а это докажем в теме о перпендикулярности прямой и плоскости. У скошенного параллелепипеда диагонали в общем случае разные.
Нет. Чертеж — тень фигуры: два отрезка на нем могут пересечься, хотя в пространстве они скрещиваются. Каждую сторону сечения проверяйте: в какой грани она лежит. Каждую параллельность обосновывайте теоремой.
Тогда продлевают стороны сечения до пересечения с прямыми, на которых лежат ребра, и ищут новые точки. Это метод следов — ему посвящен следующий урок.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий