Тетраэдр и параллелепипед: свойства и сечения

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какой отрезок является бимедианой тетраэдра $DABC$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Отрезок, соединяющий вершину $D$ с точкой пересечения медиан грани $ABC$","Ребро $AB$","Отрезок, соединяющий середины ребер $AB$ и $DC$","Отрезок, соединяющий середины ребер $DA$ и $DB$"],"explanations":["Это медиана тетраэдра, а не бимедиана","Ребро не соединяет середины ребер","","Ребра $DA$ и $DB$ имеют общую вершину $D$: это средняя линия грани"],"answer":[2]}},"hints":["Бимедиана соединяет середины противоположных ребер, не имеющих общей вершины.","Ребра $AB$ и $DC$ противоположны.","Ответ: отрезок, соединяющий середины ребер $AB$ и $DC$."],"step":1},{"id":"1","content":"Какой отрезок является бимедианой тетраэдра $DABC$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Отрезок, соединяющий вершину $A$ с точкой пересечения медиан грани $DBC$","Отрезок, соединяющий середины ребер $CA$ и $CB$","Отрезок, соединяющий середины ребер $AC$ и $DB$","Ребро $DB$"],"explanations":["Это медиана тетраэдра, а не бимедиана","Ребра $CA$ и $CB$ имеют общую вершину $C$: это средняя линия грани","","Ребро не соединяет середины ребер"],"answer":[2]}},"hints":["Бимедиана соединяет середины противоположных ребер, не имеющих общей вершины.","Ребра $AC$ и $DB$ противоположны.","Ответ: отрезок, соединяющий середины ребер $AC$ и $DB$."],"step":1},{"id":"2","content":"Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сопоставьте обозначение и элемент параллелепипеда.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AC_1$","$AC$","$AA_1C_1C$","$ABB_1A_1$"],"items":["Диагональ параллелепипеда","Диагональ грани","Диагональное сечение","Грань","Ребро"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Диагональ параллелепипеда соединяет две вершины, не лежащие в одной грани; диагональ грани соединяет противоположные вершины одной грани.","Диагональное сечение проходит через два противоположных ребра, не лежащих в одной грани; грань — один из шести параллелограммов.","Ответ: $AC_1$ — диагональ параллелепипеда, $AC$ — диагональ грани, $AA_1C_1C$ — диагональное сечение, $ABB_1A_1$ — грань."],"step":1},{"id":"2","content":"Дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сопоставьте обозначение и элемент параллелепипеда.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$B_1D$","$B_1D_1$","$BB_1D_1D$","$ADD_1A_1$"],"items":["Диагональ параллелепипеда","Диагональ грани","Диагональное сечение","Грань","Ребро"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Диагональ параллелепипеда соединяет две вершины, не лежащие в одной грани; диагональ грани соединяет противоположные вершины одной грани.","Диагональное сечение проходит через два противоположных ребра, не лежащих в одной грани; грань — один из шести параллелограммов.","Ответ: $B_1D$ — диагональ параллелепипеда, $B_1D_1$ — диагональ грани, $BB_1D_1D$ — диагональное сечение, $ADD_1A_1$ — грань."],"step":1},{"id":"3","content":"Сколько ребер параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ не имеют общих точек с ребром $AB$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["У параллелепипеда 12 ребер. С ребром $AB$ общие точки имеют само $AB$ и по два ребра, выходящих из $A$ и из $B$: $AD$, $AA_1$, $BC$, $BB_1$.","Таких ребер $1 + 4 = 5$.","$12-5=7$. Ответ: 7."],"step":1},{"id":"3","content":"Сколько ребер тетраэдра $DABC$ имеют общую вершину с ребром $AB$ (само $AB$ не считаем)? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["У тетраэдра 6 ребер; кроме $AB$ остается 5.","Из них только $DC$ не содержит $A$ и $B$: это противоположное ребро.","$5-1=4$. Ответ: 4."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-1]]Плоскость проходит через ребра $BB_1$ и $DD_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Какая фигура получается в сечении?[[choice-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/whmagprjuxpl.svg"},"choice-3":{"type":"choice","options":["Прямоугольник","Треугольник","Параллелограмм","Трапеция"],"explanations":["Для произвольного параллелепипеда сечение — параллелограмм; прямоугольник только для прямого","Плоскость проходит через четыре вершины, сечение — четырехугольник","","Две противоположные стороны сечения параллельны и равны: это параллелограмм"],"answer":[2]}},"hints":["$BB_1 \\parallel DD_1$ и $BB_1 = DD_1$.","Значит, $BB_1D_1D$ — параллелограмм.","Ответ: параллелограмм."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"[[image-2]]Плоскость проходит через ребра $AD$ и $B_1C_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Какая фигура получается в сечении?[[choice-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/vw711dexzamr.svg"},"choice-4":{"type":"choice","options":["Параллелограмм","Трапеция","Треугольник","Прямоугольник"],"explanations":["","Две противоположные стороны сечения параллельны и равны: это параллелограмм","Плоскость проходит через четыре вершины, сечение — четырехугольник","Для произвольного параллелепипеда сечение — параллелограмм; прямоугольник только для прямого"],"answer":[0]}},"hints":["$AD \\parallel B_1C_1$ и $AD = B_1C_1$ (оба параллельны и равны $BC$).","Значит, $ADC_1B_1$ — параллелограмм.","Ответ: параллелограмм."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Диагонали параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ пересекаются в точке $O$. Найдите $OB$, если $BD_1 = 18$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Диагонали параллелепипеда пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.","$O$ — середина $BD_1$.","$OB = 18 : 2 = 9$. Ответ: 9."],"step":1},{"id":"5","content":"Диагонали параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ пересекаются в точке $O$. Найдите $OA_1$, если $A_1C = 20$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Диагонали параллелепипеда пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.","$O$ — середина $A_1C$.","$OA_1 = 20 : 2 = 10$. Ответ: 10."],"step":1},{"id":"6","content":"Найдите ошибку. Решавр строит сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и соединяет отрезком точку $M$ ребра $BB_1$ с точкой $K$ ребра $DD_1$. В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Точки на ребрах соединять нельзя","Ошибки нет: любые две точки сечения соединяют","Точки не лежат в одной грани, поэтому отрезок идет внутри многогранника","Точки надо соединять только через вершины"],"explanations":["Можно, если обе точки лежат в одной грани","Соединять можно только точки одной грани","","Вершины не обязательны: сторона сечения идет по грани"],"answer":[2]}},"hints":["Сторона сечения — линия пересечения секущей плоскости с гранью.","Ребра $BB_1$ и $DD_1$ не лежат в одной грани.","Значит, $MK$ идет внутри куба и стороной сечения быть не может."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Найдите ошибку. Решавр строит сечение тетраэдра $DABC$ и соединяет отрезком точку $M$ ребра $DA$ с точкой $K$ ребра $BC$. В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Точки на ребрах соединять нельзя","Точки надо соединять только через вершины","Ошибки нет: любые две точки сечения соединяют","Точки не лежат в одной грани, поэтому отрезок идет внутри многогранника"],"explanations":["Можно, если обе точки лежат в одной грани","Вершины не обязательны: сторона сечения идет по грани","Соединять можно только точки одной грани",""],"answer":[3]}},"hints":["Сторона сечения — линия пересечения секущей плоскости с гранью.","Ребра $DA$ и $BC$ не лежат в одной грани.","Значит, $MK$ идет внутри тетраэдра и стороной сечения быть не может."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Распределите утверждения: какие верны для любого параллелепипеда, а какие — не для любого.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно для любого параллелепипеда","Верно не для любого параллелепипеда"],"items":[["Противоположные грани параллельны и равны","Диагонали пересекаются в одной точке","Диагональное сечение — параллелограмм"],["Диагонали равны","Все грани — прямоугольники","Диагональное сечение — прямоугольник"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Для любого параллелепипеда доказаны: грани — параллелограммы, противоположные грани параллельны и равны, диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам, диагональное сечение — параллелограмм.","Прямые углы, равные диагонали, равные ребра или грани — признаки прямоугольного параллелепипеда или куба; у наклонного параллелепипеда их нет.","Ответ: верны для любого — Противоположные грани параллельны и равны; Диагонали пересекаются в одной точке; Диагональное сечение — параллелограмм. Не для любого — Диагонали равны; Все грани — прямоугольники; Диагональное сечение — прямоугольник."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Распределите утверждения: какие верны для любого параллелепипеда, а какие — не для любого.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно для любого параллелепипеда","Верно не для любого параллелепипеда"],"items":[["Каждая грань — параллелограмм","Диагонали делятся точкой пересечения пополам","Ребра $AB$ и $C_1D_1$ параллельны и равны"],["Все ребра равны","Боковые ребра перпендикулярны основанию","Все грани равны"]]}},"instruction":"Распределите по группам","hints":["Для любого параллелепипеда доказаны: грани — параллелограммы, противоположные грани параллельны и равны, диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам, диагональное сечение — параллелограмм.","Прямые углы, равные диагонали, равные ребра или грани — признаки прямоугольного параллелепипеда или куба; у наклонного параллелепипеда их нет.","Ответ: верны для любого — Каждая грань — параллелограмм; Диагонали делятся точкой пересечения пополам; Ребра $AB$ и $C_1D_1$ параллельны и равны. Не для любого — Все ребра равны; Боковые ребра перпендикулярны основанию; Все грани равны."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В тетраэдре $DABC$ точки $M$, $N$, $K$, $P$ — середины ребер $AB$, $BD$, $DC$, $CA$. Какой факт доказывает, что $MNKP$ — параллелограмм?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Все вершины — середины ребер","$MN$ и $PK$ лежат в разных гранях","$MN$ и $PK$ параллельны $AD$ и равны его половине","$MN = NK$"],"explanations":["Четырехугольник из середин ребер еще надо обосновать: нужны параллельность и равенство сторон","Расположение в гранях ничего не доказывает; нужна параллельность общей прямой","","Равенство соседних сторон не дает параллелограмма и не требуется"],"answer":[2]}},"hints":["$MN$ — средняя линия треугольника $ABD$: $MN \\parallel AD$, $MN = \\frac{1}{2}AD$.","$PK$ — средняя линия треугольника $ACD$: $PK \\parallel AD$, $PK = \\frac{1}{2}AD$.","Значит, $MN \\parallel PK$ и $MN = PK$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В тетраэдре $DABC$ точки $P$, $Q$, $N$, $R$ — середины ребер $DA$, $DB$, $BC$, $CA$. Какой факт доказывает, что $PQNR$ — параллелограмм?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$PQ$ и $RN$ лежат в разных гранях","$PQ$ и $RN$ параллельны $AB$ и равны его половине","$PQ = QN$","Все вершины — середины ребер"],"explanations":["Расположение в гранях ничего не доказывает; нужна параллельность общей прямой","","Равенство соседних сторон не дает параллелограмма и не требуется","Четырехугольник из середин ребер еще надо обосновать: нужны параллельность и равенство сторон"],"answer":[1]}},"hints":["$PQ$ — средняя линия треугольника $DAB$: $PQ \\parallel AB$, $PQ = \\frac{1}{2}AB$.","$RN$ — средняя линия треугольника $CAB$: $RN \\parallel AB$, $RN = \\frac{1}{2}AB$.","Значит, $PQ \\parallel RN$ и $PQ = RN$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Диагонали параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ пересекаются в точке $O$. Точки $P$ и $Q$ — середины ребер $AA_1$ и $CC_1$. Найдите $PO$, если $PQ = 14$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$AA_1C_1C$ — параллелограмм, $P$ и $Q$ — середины его противоположных сторон, поэтому $APC_1Q$ — параллелограмм.","Диагональ $AC_1$ проходит через $O$, а $O$ — середина $PQ$ (пример 1).","$PO = 14 : 2 = 7$. Ответ: 7."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Диагонали параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ пересекаются в точке $O$. Точки $K$ и $L$ — середины ребер $BB_1$ и $DD_1$. Найдите $KL$, если $KO = 9$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["$BB_1D_1D$ — параллелограмм, $K$ и $L$ — середины его противоположных сторон, поэтому $BKD_1L$ — параллелограмм.","Диагональ $BD_1$ проходит через $O$, а $O$ — середина $KL$.","$KL = 2 \\cdot 9 = 18$. Ответ: 18."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите ошибку. Решавр пишет: «В параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра $BB_1$ и $DD_1$ параллельны и равны, значит, сечение $BB_1D_1D$ — прямоугольник». В чем ошибка?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Отсюда следует только, что $BB_1D_1D$ — параллелограмм; прямых углов может не быть","Ошибки нет: диагональное сечение всегда прямоугольник","Ребра $BB_1$ и $DD_1$ не параллельны","Сечение $BB_1D_1D$ — трапеция, а не прямоугольник"],"explanations":["","Из $BB_1 \\parallel DD_1$ и $BB_1 = DD_1$ прямой угол не следует: у наклонного параллелепипеда сечение $BB_1D_1D$ может не быть прямоугольником","Боковые ребра параллелепипеда параллельны и равны — это верная часть рассуждения","Две противоположные стороны параллельны и равны, значит, это параллелограмм, а не трапеция"],"answer":[0]}},"hints":["Противоположные стороны $BB_1$ и $DD_1$ параллельны и равны — это признак параллелограмма.","Для прямоугольника нужен прямой угол $B_1BD$, а из условия он не следует: у наклонного параллелепипеда он может быть не прямым.","Ответ: можно утверждать лишь, что $BB_1D_1D$ — параллелограмм."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите ошибку. Решавр пишет: «Диагонали $AC_1$ и $BD_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ пересекаются и делятся точкой пересечения пополам, значит, они равны». В чем ошибка?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: диагонали параллелепипеда всегда равны","Отсюда следует только, что $ABC_1D_1$ — параллелограмм; равенства диагоналей может не быть","Диагонали $AC_1$ и $BD_1$ не пересекаются","Диагонали делятся в отношении $1 : 2$, а не пополам"],"explanations":["Из деления диагоналей пополам равенство не следует: у наклонного параллелепипеда диагонали могут быть разными","","Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке — это верная часть рассуждения","В отношении $1 : 2$ делятся медианы треугольника; диагонали параллелепипеда делятся пополам"],"answer":[1]}},"hints":["Диагонали $AC_1$ и $BD_1$ — диагонали четырехугольника $ABC_1D_1$; деление пополам — признак параллелограмма.","Равные диагонали бывают у прямоугольника, а из деления пополам прямоугольник не следует.","Ответ: можно утверждать лишь, что $ABC_1D_1$ — параллелограмм, равенства диагоналей может не быть."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>