Построение сечений: метод следов

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Прямую пересечения секущей плоскости с плоскостью основания называют [[fill_choice-1]] секущей плоскости.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["высотой","следом","проекцией","сечением"],"answer":1}},"hints":["Это определение следа.","След — линия в плоскости основания.","Ответ: следом."],"step":1},{"id":"1","content":"В этом уроке след секущей плоскости ищут в плоскости [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["диагонали","высоты","сечения","основания"],"answer":3}},"hints":["След — это линия пересечения секущей плоскости с плоскостью «пола».","В уроке «полом» служит плоскость основания.","Ответ: основания."],"step":1},{"id":"2","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $DD_1$ и $CC_1$, $DM = 2$, $CN = 3$. Прямая $MN$ пересекает прямую $DC$ в точке $X$. Найдите $DX$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Высота растет от $D$ к $C$ с 2 до 3 на длине 4.","Высота равна нулю на расстоянии $x$ от $D$: $\\frac{2}{x} = \\frac{1}{4}$.","$DX = 8$. Ответ: 8."],"step":1},{"id":"2","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $DD_1$ и $AA_1$, $DM = 1$, $AN = 3$. Прямая $MN$ пересекает прямую $DA$ в точке $X$. Найдите $DX$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Высота растет от $D$ к $A$ с 1 до 3 на длине 4.","Высота равна нулю на расстоянии $x$ от $D$ в другую сторону: $\\frac{1}{x} = \\frac{2}{4}$.","$DX = 2$. Ответ: 2."],"step":1},{"id":"3","content":"При построении сечения методом следов найдены точки $X = MN \\cap AB$ и $Y = NK \\cap BC$ плоскости основания. Какой шаг следующий?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Провести прямую $XY$ — след","Соединить $M$ и $K$","Провести через $N$ прямую, параллельную $XY$","Взять $X$ и $Y$ вершинами сечения"],"explanations":["","Сначала нужен след; $M$ и $K$ могут не лежать в одной грани","Эта прямая не нужна: сторона сечения определяется двумя точками одной грани, а не направлением следа","Точки $X$ и $Y$ лежат на продолжениях ребер, а вершины сечения лежат на ребрах"],"answer":[0]}},"hints":["Точки $X$ и $Y$ лежат в плоскости основания и в секущей плоскости.","Значит, они определяют линию пересечения этих плоскостей.","Ответ: провести прямую $XY$ — след."],"step":1},{"id":"3","content":"При построении сечения методом следов на ребрах основания найдены точки пересечения следа $XY$ с ребрами — вершины $P$ и $Q$. Вершины $M$, $N$, $K$ лежат на боковых ребрах. Какой шаг следующий?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Найти еще одну точку следа","Соединить отрезками вершины, лежащие в одной грани","Провести отрезки между всеми пятью вершинами","Продлить след за точки $X$ и $Y$"],"explanations":["След уже построен и дал все вершины на ребрах основания","","Отрезок между вершинами, не лежащими в одной грани, проходит внутри многогранника и стороной не является","След продлевать не нужно: вершины сечения уже найдены"],"answer":[1]}},"hints":["Все вершины сечения уже найдены.","Сторону сечения проводят между вершинами одной грани.","Ответ: соединить отрезками вершины, лежащие в одной грани."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите ошибку. Решавр называет следом плоскости $MNK$ прямую $NK$, где $N \\in BB_1$, $K \\in CC_1$. В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Следом служит прямая $MK$, а не $NK$","Ошибки нет: след проходит через точки сечения","След лежит в плоскости основания, а $N$ и $K$ — над основанием","След должен быть параллелен $BC$"],"explanations":["Прямая $MK$ тоже проходит над основанием, следом она не является","Через точки сечения проходят прямые сечения; след — линия в плоскости основания","","Параллельность $BC$ не требуется: след определяется положением точек"],"answer":[2]}},"hints":["След лежит в плоскости основания.","Точки $N$ и $K$ лежат на боковых ребрах, а не в основании.","Значит, $NK$ следом не является."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите ошибку. Решавр называет следом плоскости $MNK$ прямую $MK$, где $M \\in AA_1$, $K \\in CC_1$. В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Следом служит прямая $MN$, а не $MK$","След лежит в плоскости основания, а $M$ и $K$ — над основанием","След должен быть параллелен $AC$","Ошибки нет: след проходит через точки сечения"],"explanations":["Прямая $MN$ тоже проходит над основанием, следом она не является","","Параллельность $AC$ не требуется: след определяется положением точек","Через точки сечения проходят прямые сечения; след — линия в плоскости основания"],"answer":[1]}},"hints":["След лежит в плоскости основания.","Точки $M$ и $K$ лежат на боковых ребрах, а не в основании.","Значит, $MK$ следом не является."],"step":1},{"id":"5","content":"Найдите ошибку. В кубе с ребром 4 точки $M$, $N$ лежат на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $AM = 2$, $BN = 3$. Решавр говорит, что $X = MN \\cap AB$ лежит на ребре $AB$. Где в действительности лежит $X$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["На продолжении $AB$ за точкой $B$, $BX = 8$","На продолжении $BA$ за точкой $A$, $AX = 8$","На ребре $AB$, $AX = 2$","В точке $A$"],"explanations":["За точкой $B$ высота продолжает расти, нуля там нет","","Число 2 — высота точки $M$, а не расстояние до $X$","В точке $A$ высота равна 2, а не 0"],"answer":[1]}},"hints":["Высота растет от $A$ к $B$ с 2 до 3 на длине 4.","Высота равна нулю на расстоянии $x$ от $A$: $\\frac{2}{x} = \\frac{1}{4}$, $x = 8$.","Это на продолжении $BA$ за точкой $A$, $AX = 8$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Найдите ошибку. В кубе с ребром 4 точки $M$, $N$ лежат на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $AM = 3$, $BN = 1$. Решавр говорит, что $X = MN \\cap AB$ лежит на ребре $AB$. Где в действительности лежит $X$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["На продолжении $AB$ за точкой $B$, $BX = 2$","На ребре $AB$, $BX = 1$","В точке $B$","На продолжении $BA$ за точкой $A$, $AX = 2$"],"explanations":["","Число 1 — высота точки $N$, а не расстояние до $X$","В точке $B$ высота равна 1, а не 0","Высота убывает от $A$ к $B$, нуль — за точкой $B$"],"answer":[0]}},"hints":["Высота убывает от $A$ к $B$ с 3 до 1 на длине 4.","Высота равна нулю на расстоянии 6 от $A$: $3-\\frac{2}{4} \\cdot 6 = 0$.","Это на продолжении $AB$ за точкой $B$, $BX = 2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В тетраэдре $DABC$ точка $M$ на ребре $DA$, $DM : MA = 1 : 3$, точка $N$ на ребре $DB$, $DN : NB = 1 : 2$. Где лежит точка $X = MN \\cap AB$?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Прямые $MN$ и $AB$ не пересекаются","На ребре $AB$ между $A$ и $B$","На продолжении $AB$ за точкой $B$","На продолжении $BA$ за точкой $A$"],"explanations":["Они лежат в грани $DAB$ и не параллельны: $DM : DA \ne DN : DB$","Точки $M$ и $N$ над основанием, отрезок $MN$ до ребра $AB$ не доходит","","Ниже точка $N$, а не $M$: прямая спускается к основанию за $N$"],"answer":[2]}},"hints":["Расстояние от точки до основания: у $M$ это $\\frac{3}{4}$ высоты $D$, у $N$ это $\\frac{2}{3}$.","Ниже точка $N$ ($\\frac{2}{3} < \\frac{3}{4}$), поэтому прямая $MN$ доходит до основания за точкой $N$.","Ответ: на продолжении $AB$ за точкой $B$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В тетраэдре $DABC$ точка $M$ на ребре $DB$, $DM : MB = 1 : 2$, точка $N$ на ребре $DC$, $DN : NC = 1 : 3$. Где лежит точка $X = MN \\cap BC$?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Прямые $MN$ и $BC$ не пересекаются","На ребре $BC$ между $B$ и $C$","На продолжении $CB$ за точкой $B$","На продолжении $BC$ за точкой $C$"],"explanations":["Они лежат в грани $DBC$ и не параллельны: $DM : DB \\ne DN : DC$","Точки $M$ и $N$ над основанием, отрезок $MN$ до ребра $BC$ не доходит","","Ниже точка $M$, а не $N$: прямая спускается к основанию за $M$"],"answer":[2]}},"hints":["Расстояние от точки до основания: у $M$ это $\\frac{2}{3}$ высоты $D$, у $N$ это $\\frac{3}{4}$.","Ниже точка $M$ ($\\frac{2}{3} < \\frac{3}{4}$), поэтому прямая $MN$ доходит до основания за точкой $M$, то есть за $B$.","Ответ: на продолжении $CB$ за точкой $B$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точки $M$, $N$, $K$ лежат на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $AM = BN = 1$, $CK = 3$. Какая прямая — след плоскости $MNK$ на плоскости основания?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Следа нет — прямая $MN$ не пересекает прямую $AB$","Прямая $MN$ — она параллельна плоскости основания","Прямая $AB$ — она лежит в плоскости основания","Прямая через точку $Y = NK \\cap BC$, параллельная $AB$"],"explanations":["Плоскость $MNK$ не параллельна основанию: $CK \ne BN$, поэтому след есть","Прямая $MN$ лежит над основанием, а след лежит в плоскости основания","Секущая плоскость через $AB$ не проходит: точки $M$ и $N$ на высоте 1",""],"answer":[3]}},"hints":["$AM = BN$, поэтому $MN \\parallel AB$ и $MN$ параллельна плоскости основания.","След параллелен $MN$; одна точка следа — $Y = NK \\cap BC$. Точка $N$ ниже, поэтому $Y$ за точкой $B$: $\\frac{YB}{YC} = \\frac{1}{3}$, $YC = YB + 4$, $YB = 2$.","Ответ: прямая через $Y$, параллельная $AB$ ($BY = 2$)."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точки $M$, $N$, $K$ лежат на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $AM = BN = 2$, $CK = 1$. Какая прямая — след плоскости $MNK$ на плоскости основания?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Прямая через точку $Y$ за $B$ ($BY = 4$), параллельная $AB$","Прямая через $K$, параллельная $AB$","Следа нет — прямая $MN$ не пересекает прямую $AB$","Прямая через точку $Y = NK \\cap BC$, параллельная $AB$"],"explanations":["Высота убывает от $B$ к $C$ (с 2 до 1), поэтому нуль за точкой $C$, а не за $B$","Точка $K$ лежит над основанием, а след лежит в плоскости основания","Плоскость $MNK$ не параллельна основанию: $CK \\ne BN$, поэтому след есть",""],"answer":[3]}},"hints":["$AM = BN$, поэтому $MN \\parallel AB$ и $MN$ параллельна плоскости основания.","След параллелен $MN$; одна точка следа — $Y = NK \\cap BC$. Высота убывает от $B$ к $C$ с 2 до 1, нуль — за точкой $C$: $\\frac{CY}{CY + 4} = \\frac{1}{2}$, $CY = 4$.","Ответ: прямая через $Y$, параллельная $AB$ ($CY = 4$)."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $AA_1$ и $BB_1$. Где лежит точка $X = MN \\cap AB$ при данных длинах?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["На продолжении $BA$ за точкой $A$","На продолжении $AB$ за точкой $B$","Точки нет: $MN \\parallel AB$"],"items":[["$AM = 1$, $BN = 4$","$AM = 2$, $BN = 4$"],["$AM = 4$, $BN = 1$","$AM = 4$, $BN = 3$"],["$AM = BN = 2$","$AM = BN = 4$"]]}},"instruction":"Распределите случаи по группам","hints":["Прямая $MN$ спускается к основанию со стороны нижней точки.","Если $AM < BN$, то $X$ за точкой $A$; если $AM > BN$ — за точкой $B$; если $AM = BN$, то $MN \\parallel AB$.","Ответ: за $A$ — $1$ и $4$, $2$ и $4$; за $B$ — $4$ и $1$, $4$ и $3$; нет точки — $AM = BN$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $AA_1$ и $DD_1$. Где лежит точка $X = MN \\cap AD$ при данных длинах?[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["На продолжении $DA$ за точкой $A$","На продолжении $AD$ за точкой $D$","Точки нет: $MN \\parallel AD$"],"items":[["$AM = 2$, $DN = 3$","$AM = 3$, $DN = 4$"],["$AM = 3$, $DN = 2$","$AM = 4$, $DN = 1$"],["$AM = DN = 1$","$AM = DN = 3$"]]}},"instruction":"Распределите случаи по группам","hints":["Прямая $MN$ спускается к основанию со стороны нижней точки.","Если $AM < DN$, то $X$ за точкой $A$; если $AM > DN$ — за точкой $D$; если $AM = DN$, то $MN \\parallel AD$.","Ответ: за $A$ — $2$ и $3$, $3$ и $4$; за $D$ — $3$ и $2$, $4$ и $1$; нет точки — $AM = DN$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB = AD = 4$, $AA_1 = 6$. Точки $M$, $N$, $K$ лежат на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $AM = 2$, $BN = 5$, $CK = 1$. Плоскость $MNK$ пересекает ребро $AD$ в точке $P$. Найдите $AP$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Высота над $D$ равна $2 + 1-5 = -2 < 0$: плоскость пересекает основание, сечение — пятиугольник.","Над $A$ высота 2; вдоль $AD$ высота убывает на $\\frac{5-1}{4} = 1$ на единицу длины: $2-AP = 0$.","$AP = 2$. Ответ: 2."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB = AD = 4$, $AA_1 = 6$. Точки $M$, $N$, $K$ лежат на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $AM = 3$, $BN = 5$, $CK = 1$. Плоскость $MNK$ пересекает ребро $CD$ в точке $Q$. Найдите $CQ$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Высота над $D$ равна $3 + 1-5 = -1 < 0$: плоскость пересекает основание, сечение — пятиугольник.","Вдоль $AB$ высота растет на 2 на длине 4; вдоль $DC$ она растет так же, от $-1$ над $D$ до $1$ над $C$. Нуль — на середине $DC$: $CQ = 2$.","Ответ: 2."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите ошибку. В кубе с ребром 4 точки $M$, $N$ лежат на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $AM = 3$, $BN = 2$. Решавр нашел $X = MN \\cap AB$ ($BX = 8$) и объявил точку $X$ вершиной сечения. В чем ошибка?[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["Точка $X$ должна лежать на ребре $AA_1$","Точка $X$ лежит вне ребра $AB$, а вершины сечения лежат на ребрах","Точка $X$ лежит не в плоскости сечения","Точка $X$ должна быть серединой $AB$"],"explanations":["Ребро $AA_1$ с прямой $AB$ пересекается только в точке $A$, а там высота 3","","$X$ лежит на прямой $MN$, а значит, в секущей плоскости","Середина $AB$ не связана с положением точки пересечения прямых"],"answer":[1]}},"hints":["Вершины сечения — точки пересечения плоскости с ребрами многогранника.","Точка $X$ лежит на продолжении $AB$ за точкой $B$, а не на ребре.","Ответ: $X$ лежит вне куба и вершиной сечения быть не может."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Найдите ошибку. В кубе с ребром 4 точки $M$, $N$ лежат на ребрах $BB_1$ и $CC_1$, $BM = 1$, $CN = 3$. Решавр нашел $X = MN \\cap BC$ ($BX = 2$) и объявил точку $X$ вершиной сечения. В чем ошибка?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Точка $X$ должна быть серединой $BC$","Точка $X$ лежит вне ребра $BC$, а вершины сечения лежат на ребрах","Точка $X$ должна лежать на ребре $BB_1$","Точка $X$ лежит не в плоскости сечения"],"explanations":["Середина $BC$ не связана с положением точки пересечения прямых","","Ребро $BB_1$ с прямой $BC$ пересекается только в точке $B$, а там высота 1","$X$ лежит на прямой $MN$, а значит, в секущей плоскости"],"answer":[1]}},"hints":["Вершины сечения — точки пересечения плоскости с ребрами многогранника.","Точка $X$ лежит на продолжении $CB$ за точкой $B$, а не на ребре.","Ответ: $X$ лежит вне куба и вершиной сечения быть не может."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>