10 класс Геометрия Параллельность в пространстве Проектирование и построение сечений

Построение сечений: метод следов

Содержание

В уроке о простейших сечениях вы строили сечение так: две точки одной грани соединяли отрезком. В уроке о тетраэдре и параллелепипеде добавился прием с параллельными гранями. В этом уроке разберем метод следов — способ построить сечение, когда этих приемов не хватает.

Вопрос к уроку. В тетраэдре $DABC$ точка $M$ — середина ребра $DA$, точка $N$ лежит на ребре $DB$, точка $K$ — середина ребра $BC$. Как построить сечение плоскостью $MNK$, если в грани $ABC$ известна только одна точка сечения?

Когда точки сечения не лежат в одной грани

Вспомним правило: сторона сечения — отрезок, по которому секущая плоскость режет грань. Провести сторону можно, только если ее концы лежат в одной грани. Представьте, что плоскость $MNK$ — это пила, которая режет тетраэдр. Мы видим, где пила вошла в грани $DAB$ и $DBC$, а дальше нужно угадать, где она выходит.

В тетраэдре из вопроса точки $M$ и $N$ лежат в грани $DAB$ — проводим сторону $MN$. Точки $N$ и $K$ лежат в грани $DBC$ — проводим $NK$. А точки $M$ и $K$ общей грани не имеют: $M$ лежит в гранях $DAB$ и $DAC$, а $K$ — в гранях $ABC$ и $DBC$. Отрезок $MK$ проходит внутри тетраэдра, это не сторона сечения.

Тетраэдр DABC: точки M, N, K; стороны MN и NK построены, отрезок MK через внутренность — не сторона сечения — Стороны $MN$ и $NK$ есть, а в гранях $ABC$ и $DAC$ известно по одной точке — второй точки для стороны нет

В грани $ABC$ нам известна одна точка $K$, в грани $DAC$ — одна точка $M$. Параллельных граней у тетраэдра нет, поэтому прием из прошлого урока не поможет. Нужна вторая точка секущей плоскости в плоскости $ABC$. Ее и дает след.

{"questions":[{"content":"В тетраэдре $DABC$ точки $M$, $N$, $K$ лежат на ребрах $DB$, $DC$, $AB$. Какой отрезок нельзя сразу провести как сторону сечения плоскостью $MNK$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Отрезок $NK$","Отрезок $MN$","Все три отрезка можно провести","Отрезок $MK$"],"explanations":["","Точки $M$ и $N$ лежат в грани $DBC$, отрезок $MN$ — сторона сечения","У точек $N$ и $K$ нет общей грани: отрезок $NK$ проходит внутри тетраэдра","Точки $M$ и $K$ лежат в грани $DAB$, отрезок $MK$ — сторона сечения"],"answer":[0]}},"hints":["Сторону сечения проводят, только если ее концы лежат в одной грани.","$M$ и $N$ — в грани $DBC$, $M$ и $K$ — в грани $DAB$.","$N$ лежит в гранях $DBC$ и $DAC$, $K$ — в гранях $DAB$ и $ABC$: общей грани нет. Ответ: $NK$."],"step":1}],"mix":1}

След — линия, по которой секущая плоскость встречает основание

Начнем с куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4. Точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $AA_1$ и $BB_1$, $AM = 2$, $BN = 1$. Прямые $MN$ и $AB$ лежат в одной грани $ABB_1A_1$ и не параллельны: точки $M$ и $N$ на разной высоте. Значит, они пересекаются в точке $X$.

Посмотрим на высоту над полом-основанием. Над точкой $A$ прямая $MN$ на высоте 2, над точкой $B$ — на высоте 1: она спускается на 1 на каждые 4 единицы длины. До высоты 0 ей нужно пройти еще 4 единицы за точкой $B$. Точка $X$ лежит на продолжении $AB$ за точкой $B$, и $BX = 4$.

Куб ABCDA₁B₁C₁D₁: M на AA₁ (AM = 2), N на BB₁ (BN = 1); прямая MN встречает прямую AB в точке X за точкой B, BX = 4 — Прямая $MN$ спускается к основанию и встречает прямую $AB$ за точкой $B$: точка $X$ лежит в обеих плоскостях

Определение

Следом секущей плоскости на плоскости основания называют прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость основания. Точки этой прямой называют точками следа.

Как найти точку следа

Возьмите прямую секущей плоскости и прямую плоскости основания, которые лежат в одной грани и не параллельны. Их точка пересечения — точка следа: она лежит и в секущей плоскости, и в плоскости основания. Две точки следа задают след.

$$X = MN \cap AB,\ \ MN \subset (MNK),\ \ AB \subset (ABC)$$

Пример 1

В кубе с ребром 4 точки $M \in BB_1$ и $N \in CC_1$, $BM = 3$, $CN = 1$. Найдите, где прямая $MN$ пересекает прямую $BC$.

Решение. 1) Прямые $MN$ и $BC$ лежат в грани $BCC_1B_1$, $BM \ne CN$, поэтому они пересекаются в точке $X$. 2) Точка $N$ ниже точки $M$, значит, $X$ лежит за точкой $C$. 3) $CN \parallel BM$, поэтому треугольники $XCN$ и $XBM$ подобны: $\frac{XC}{XB} = \frac{CN}{BM} = \frac{1}{3}$. 4) $XB = XC + 4$, откуда $3XC = XC + 4$, $XC = 2$.

Ответ: на продолжении $BC$ за точкой $C$, $CX = 2$.

Почему след — прямая и почему он один? Секущая плоскость и плоскость основания имеют общую точку $X$ и не совпадают. По аксиоме А3 они пересекаются по прямой, и эта прямая единственная.

{"questions":[{"content":"След секущей плоскости на плоскости основания — это прямая, по которой секущая плоскость [[fill_choice-1]] плоскость основания.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["пересекает","перпендикулярна","касается","параллельна"],"answer":0}},"hints":["След — это линия пересечения двух плоскостей.","Одна из них секущая, вторая — плоскость основания.","Ответ: пересекает."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $AA_1$ и $BB_1$ куба. Почему прямые $MN$ и $AB$ пересекаются (или параллельны), хотя $M$ и $N$ не лежат на $AB$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pyvsokjuuo56.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["Обе прямые лежат в плоскости грани $ABB_1A_1$","Любые две прямые пересекаются","Обе прямые лежат в плоскости основания","Параллельны $AA_1$ и $BB_1$, поэтому $MN \\parallel AB$ при любых $AM$ и $BN$"],"explanations":["","В пространстве прямые могут скрещиваться; здесь важна общая грань","Прямая $MN$ в плоскость основания не входит: точки $M$ и $N$ над ней","Параллельны $AA_1$ и $BB_1$, а не $MN$ и $AB$: при $AM \ne BN$ прямые $MN$ и $AB$ пересекаются"],"answer":[0]}},"hints":["Точки $M$, $N$, $A$, $B$ лежат в одной грани $ABB_1A_1$.","Две прямые одной плоскости либо пересекаются, либо параллельны.","Если $AM \\ne BN$, они пересекаются в точке $X$ — точке следа."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $AA_1$ и $BB_1$, $AM = 1$, $BN = 2$. Прямая $MN$ пересекает прямую $AB$ в точке $X$. Найдите $AX$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Высота растет от $A$ к $B$ с 1 до 2 на длине 4.","Высота равна нулю на расстоянии $x$ от $A$: $\\frac{1}{x} = \\frac{1}{4}$.","$AX = 4$. Ответ: 4."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Метод следов на тетраэдре по шагам

Вернемся к тетраэдру из вопроса. За основание возьмем грань $ABC$. Секущая плоскость уже встречает пол в точке $K$ — она лежит на ребре $BC$. Не хватает второй точки следа.

Пример 2

В тетраэдре $DABC$ точка $M$ — середина $DA$, точка $N$ на $DB$, $DN : NB = 1 : 3$, точка $K$ — середина $BC$. Постройте сечение плоскостью $MNK$.

Шаг 1. Точка следа. Прямые $MN$ и $AB$ лежат в грани $DAB$. Опустим перпендикуляры из $M$, $N$ и $D$ на основание: по теореме о пропорциональных отрезках (Фалес) высоты относятся как $AM : AD$, $BN : BD$. Высота точки $M$ — половина высоты вершины $D$, высота $N$ — три четверти: $NB = \frac{3}{4}DB$. Точка $M$ ниже, поэтому прямая $MN$ встречает прямую $AB$ за точкой $A$. Это точка $X = MN \cap AB$.

Шаг 2. След. Точки $X$ и $K$ лежат и в плоскости $MNK$, и в плоскости $ABC$. Прямая $XK$ — след.

Шаг 3. Вершина на основании. След $XK$ пересекает ребро $AC$ в точке $P$. Точка $P$ лежит в секущей плоскости и на ребре — это вершина сечения.

Шаг 4. Сечение. Соединяем точки одной грани: $KP$ в грани $ABC$, $PM$ в грани $DAC$. Сечение — четырехугольник $MNKP$.

Тетраэдр DABC: прямая MN встречает прямую AB в точке X за точкой A; след XK лежит в плоскости основания ABC — Шаги 1–2: продолжаем $MN$ и $AB$ до точки $X$ и проводим след $XK$ в плоскости основания

Тетраэдр DABC: след XK пересекает ребро AC в точке P; сечение MNKP — Шаги 3–4: след дает вершину $P$ на ребре $AC$, и сечение $MNKP$ замыкается по граням

Алгоритм метода следов

Найдите две точки следа: в гранях, где есть прямая секущей плоскости и ребро основания, продолжите их до пересечения (или возьмите точку сечения, лежащую на основании).
Проведите через эти точки след.
Отметьте точки, где след пересекает ребра основания, — это вершины сечения.
Соедините отрезками вершины, лежащие в одной грани.

Ответ на вопрос урока: вторая точка в грани $ABC$ берется со следа. Пила проходит через $M$ и $N$, ее продолжение упирается в пол в точке $X$, а линия $XK$ на полу показывает, где пила режет основание.

g10-metod-sledov-prognoz

{"questions":[{"content":"В тетраэдре $DABC$ точка $M$ на ребре $DA$, $DM : MA = 2 : 1$, точка $N$ — середина ребра $DB$. Где лежит точка $X = MN \\cap AB$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Прямые $MN$ и $AB$ не пересекаются","На продолжении $BA$ за точкой $A$","На ребре $AB$ между $A$ и $B$","На продолжении $AB$ за точкой $B$"],"explanations":["Они лежат в грани $DAB$ и не параллельны: $DM : DA \ne DN : DB$","","Точки $M$ и $N$ над основанием, отрезок $MN$ до ребра $AB$ не доходит","Ниже точка $M$, а не $N$: прямая спускается к основанию за $M$"],"answer":[1]}},"hints":["Высота точки над основанием пропорциональна ее расстоянию до основания по ребру: у $M$ — треть высоты $D$, у $N$ — половина.","Точка $M$ ниже, поэтому прямая $MN$ доходит до основания за точкой $M$.","Ответ: на продолжении $BA$ за точкой $A$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Расставьте шаги построения сечения куба плоскостью $MNK$ методом следов, где точки $M$, $N$, $K$ лежат на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Найдите точки $X = MN \\cap AB$ и $Y = NK \\cap BC$ — это точки следа","Проведите прямую $XY$ — след секущей плоскости, значит, вершины ищут на ней","Отметьте точки пересечения следа с ребрами основания — по определению это вершины сечения","Соедините отрезками вершины, лежащие в одной грани, — после этого сечение построено"]}},"instruction":"Расставьте шаги в верном порядке","hints":["Сначала найдите точки следа.","Затем проведите след.","Потом найдите вершины сечения и соедините их."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"При построении сечения методом следов проведен след $XY$ на плоскости основания. Какой шаг следующий?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Провести через $M$ прямую, параллельную следу","Найти точки пересечения следа с ребрами основания","Найти $X$ и $Y$ еще раз","Соединить $X$ и $Y$ с точками $M$, $N$, $K$"],"explanations":["Параллельная следу прямая не дает вершин: вершины сечения — точки следа на ребрах основания","","Точки следа уже найдены","$X$ и $Y$ — точки следа на продолжениях ребер, вершинами сечения они не являются"],"answer":[1]}},"hints":["След пересекает ребра основания в вершинах сечения.","Нужно найти эти точки.","Ответ: найти точки пересечения следа с ребрами основания."],"step":1}],"mix":1}

Сечение параллелепипеда через три точки на ребрах

В параллелепипеде есть параллельные грани, и иногда хватает прошлого приема. Но он может привести к точке, которой на ребре нет. Тогда секущая плоскость уходит в основание, и нужен след.

Пример 3

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB = AD = 4$, $AA_1 = 6$. Точки $M$, $N$, $K$ лежат на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$: $AM = 1$, $BN = 5$, $CK = 1$. Постройте сечение плоскостью $MNK$.

Проверка приема с гранями. Через $K$ в грани $CDD_1C_1$ ведем прямую, параллельную $MN$. Высота падает на $5-1 = 4$ от $B$ к $A$, так же она падает от $C$ к $D$: $1-4 = -3$. Точка ниже $D$ — вне ребра $DD_1$. Значит, плоскость пересекает основание.

Шаг 1. $X = MN \cap AB$: точка $M$ ниже, $X$ за точкой $A$. Из подобия $\frac{XA}{XB} = \frac{1}{5}$ и $XB = XA + 4$ получаем $XA = 1$. $Y = NK \cap BC$: точка $K$ ниже, $Y$ за точкой $C$, так же $YC = 1$.

Шаг 2. Проводим след $XY$.

Шаг 3. След пересекает ребро $AD$ в точке $P$ и ребро $CD$ в точке $Q$. Из подобия треугольников $XAP$ и $XBY$: $AP = \frac{1}{5}BY = 1$; из подобия $YCQ$ и $YBX$: $CQ = \frac{1}{5}BX = 1$.

Шаг 4. Стороны: $MN$, $NK$, $KQ$, $QP$, $PM$ — каждая в своей грани.

Ответ: сечение — пятиугольник $MNKQP$, $AP = CQ = 1$.

Параллелепипед 4×4×6: M, N, K на ребрах AA₁, BB₁, CC₁; точки следа X, Y; след XY; сечение — пятиугольник MNKQP — След $XY$ срезает угол $D$ основания: сечение — пятиугольник $MNKQP$, ребро $DD_1$ плоскость не пересекает

{"questions":[{"content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точки $M$, $N$, $K$ лежат на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $AM = 3$, $BN = 2$, $CK = 2$. Плоскость $MNK$ пересекает ребро $DD_1$ в точке $P$. Найдите $DP$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ параллельны, поэтому $MN \\parallel PK$.","Высота над $B$ меньше, чем над $A$, на 1, значит и над $C$ меньше, чем над $D$, на 1.","$DP = CK + 1 = 3$. Ответ: 3."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точки $M$, $N$, $K$ лежат на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $AM = 1$, $BN = 3$, $CK = 1$. Сколько вершин у сечения плоскостью $MNK$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Противоположные грани параллельны, поэтому $MN \\parallel PK$: высота над $B$ больше, чем над $A$, на 2, значит и над $C$ больше, чем над $D$, на 2.","Над $D$ «высота» равна $1-2 = -1 < 0$: ребро $DD_1$ плоскость не пересекает, а основание пересекает; кроме $M$, $N$, $K$ в сечении две вершины на ребрах $AD$ и $CD$.","$3 + 2 = 5$. Ответ: 5."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Точка следа лежит на продолжении ребра, а не на нем

Ошибка

Неверный ход. В том же параллелепипеде с $AA_1 = 6$ взяли $AM = 5$, $BN = 3$. Решавр ставит точку $X = MN \cap AB$ в середине ребра $AB$ и проводит след оттуда.

Проверка на числах. В середине ребра $AB$ прямая $MN$ проходит на высоте $\frac{5+3}{2} = 4$, а не 0: в этом месте прямые $MN$ и $AB$ не встречаются. Высота падает на 2 на длине 4, поэтому до нуля нужно еще 6 за точкой $B$: $BX = 6$.

Где сломалось. Отрезок $MN$ целиком лежит над основанием: высоты его точек от 3 до 5. Прямая $MN$ может встретить плоскость основания только за краем грани.

Параллелепипед 4×4×6: M на AA₁ (AM = 5), N на BB₁ (BN = 3); на середине AB прямая MN на высоте 4, настоящая точка X — за B, BX = 6 — Красная точка на ребре — не точка следа: там прямая $MN$ еще на высоте 4; настоящая $X$ — за точкой $B$

Проверка построения

Если точки $M$ и $N$ лежат на боковых ребрах над точками $A$ и $B$ и $AM \ne BN$, точка $X = MN \cap AB$ лежит на продолжении ребра $AB$ со стороны нижней точки. Если $AM = BN$, то $MN \parallel AB$ и точки $X$ нет. Вершины сечения, наоборот, обязаны лежать на ребрах: точка на продолжении ребра — не вершина.

Вторая проверка: след лежит в плоскости основания. Прямая через две точки на боковых ребрах следом не бывает — эти точки над основанием.

{"questions":[{"content":"Найдите ошибку. В кубе с ребром 4 точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $AA_1$ и $BB_1$, $AM = 1$, $BN = 3$. Решавр ставит точку $X = MN \\cap AB$ на ребре $AB$. Где в действительности лежит $X$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["В вершине $A$","На ребре $AB$ в его середине","На продолжении $AB$ за точкой $B$","На продолжении $BA$ за точкой $A$"],"explanations":["В точке $A$ высота равна 1, а не 0","Середине ребра соответствует высота 2, а не 0","За точкой $B$ высота продолжает расти, нуля там нет",""],"answer":[3]}},"hints":["Высота растет от $A$ к $B$ с 1 до 3: нулевая высота — за точкой $A$.","Расстояние $AX = 2$, и $X$ лежит по другую сторону от $A$, чем $B$.","Ответ: на продолжении $BA$ за точкой $A$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите ошибку. Решавр называет следом плоскости $MNK$ прямую $MN$, где $M \\in AA_1$, $N \\in BB_1$. В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: след проходит через точки сечения","След лежит в плоскости основания, а $M$ и $N$ — над основанием","След должен быть параллелен $AB$","Следом служит прямая $NK$, а не $MN$"],"explanations":["Через точки сечения проходят прямые сечения; след — линия в плоскости основания","","Параллельность $AB$ не требуется: след определяется положением точек","Прямая $NK$ тоже проходит над основанием, следом она не является"],"answer":[1]}},"hints":["След лежит в плоскости основания.","Точки $M$ и $N$ лежат на боковых ребрах, а не в основании.","Значит, $MN$ следом не является."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Если след параллелен ребру или уходит за край чертежа

Бывает, что $AM = BN$: прямая $MN$ идет над полом ровно, параллельно $AB$, и точки $X$ нет. Тогда работает теорема из урока о параллельности прямой и плоскости: $MN \parallel AB$, значит, $MN$ параллельна плоскости основания. Секущая плоскость проходит через $MN$ и пересекает основание по прямой, параллельной $MN$. Достаточно одной точки следа и направления $AB$.

Пример 4

В кубе с ребром 4 точки $M$, $N$, $K$ на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$: $AM = BN = 3$, $CK = 1$. Найдите след плоскости $MNK$ и постройте сечение.

Решение. 1) $AM = BN$ и $AM \parallel BN$, поэтому $ABNM$ — параллелограмм, $MN \parallel AB$. 2) $Y = NK \cap BC$: точка $K$ ниже, из подобия $\frac{YC}{YB} = \frac{1}{3}$, $YB = YC + 4$, откуда $YC = 2$. 3) След — прямая через $Y$, параллельная $AB$. Она проходит на расстоянии 2 за прямой $DC$ и основание не задевает. 4) Значит, сечение основания не касается. Грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ параллельны, поэтому четвертая сторона $KP \parallel MN$, $P \in DD_1$, $DP = CK = 1$.

Ответ: след — прямая через $Y$ параллельно $AB$, $YC = 2$; сечение — четырехугольник $MNKP$.

Куб: AM = BN = 3, CK = 1, DP = 1; MN ∥ AB; прямая NK встречает BC в точке Y, CY = 2; след через Y параллелен AB и проходит мимо основания; сечение MNKP — При $MN \parallel AB$ след идет через $Y$ параллельно $AB$ и проходит мимо основания — сечение его не касается

Пример 5

В тетраэдре $DABC$ точки $M \in DA$ и $N \in DB$, $DM : MA = DN : NB = 1 : 2$, точка $K \in BC$, $BK : KC = 1 : 3$. Постройте сечение плоскостью $MNK$.

Решение. 1) $DM : DA = DN : DB = 1 : 3$, поэтому треугольники $DMN$ и $DAB$ подобны и $MN \parallel AB$. Точки $X = MN \cap AB$ нет. 2) Плоскость $MNK$ проходит через $MN$, а $MN \parallel AB$, поэтому она пересекает плоскость $ABC$ по прямой, параллельной $AB$. Точка $K$ лежит на следе, значит, след — прямая через $K$ параллельно $AB$. 3) След пересекает ребро $AC$ в точке $P$: треугольники $CKP$ и $CBA$ подобны, $CP : CA = CK : CB = 3 : 4$, откуда $AP : PC = 1 : 3$. 4) Соединяем точки одной грани: $KP$ в грани $ABC$, $PM$ в грани $DAC$, $MN$ в грани $DAB$, $NK$ в грани $DBC$.

Ответ: след — прямая через $K$ параллельно $AB$, $AP : PC = 1 : 3$; сечение — трапеция $MNKP$ с основаниями $MN \parallel KP$.

Тетраэдр DABC: DM:MA = DN:NB = 1:2, BK:KC = 1:3; MN параллельна AB, след через K параллелен AB и пересекает AC в точке P; сечение MNKP — След через $K$ параллелен $AB$ и пересекает ребро $AC$ в точке $P$: сечение — трапеция $MNKP$

Обратите внимание

Если точка следа уходит далеко за край чертежа, не ставьте ее на ребро: продлите ребра основания заранее и оставьте место. А если места все равно не хватает, возьмите другую пару прямых: точку следа дает любая пара прямых, лежащих в одной плоскости, где одна из них — ребро основания (например, $NK$ и $BC$ вместо $MN$ и $AB$).

{"questions":[{"content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точки $M$, $N$, $K$ лежат на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $AM = BN = 2$, $CK = 3$. Какая прямая — след плоскости $MNK$ на плоскости основания?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Следа нет — прямая $MN$ не пересекает прямую $AB$","Прямая через точку $Y = NK \\cap BC$, параллельная $AB$","Прямая $MN$ — она параллельна плоскости основания","Прямая $AB$ — она лежит в плоскости основания"],"explanations":["Плоскость $MNK$ не параллельна основанию: $CK \ne BN$, поэтому след есть","","Прямая $MN$ лежит над основанием, а след лежит в плоскости основания","Секущая плоскость через $AB$ не проходит: точки $M$ и $N$ на высоте 2"],"answer":[1]}},"hints":["$AM = BN$, поэтому $MN \\parallel AB$ и $MN$ параллельна плоскости основания.","Секущая плоскость пересекает основание по прямой, параллельной $MN$; одна точка следа — $Y = NK \\cap BC$.","Ответ: прямая через $Y$, параллельная $AB$ ($BY = 8$)."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 4 точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $DD_1$ и $CC_1$. Где лежит точка $X = MN \\cap DC$ при данных длинах?[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["На продолжении $CD$ за точкой $D$","На продолжении $DC$ за точкой $C$","Точки нет: $MN \\parallel DC$"],"items":[["$DM = 1$, $CN = 3$","$DM = 2$, $CN = 3$"],["$DM = 3$, $CN = 1$","$DM = 3$, $CN = 2$"],["$DM = CN = 1$","$DM = CN = 3$"]]}},"instruction":"Распределите случаи по группам","hints":["Прямая $MN$ спускается к основанию со стороны нижней точки.","Если $DM < CN$, то $X$ за точкой $D$; если $DM > CN$ — за точкой $C$; если $DM = CN$, то $MN \\parallel DC$.","Ответ: за $D$ — $1$ и $3$, $2$ и $3$; за $C$ — $3$ и $1$, $3$ и $2$; нет точки — $DM = CN$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"В кубе с ребром 4 точки $M$, $N$, $K$ лежат на ребрах $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $AM = 4$, $BN = 3$, $CK = 1$. Точка $X = MN \\cap AB$ лежит далеко за краем чертежа ($BX = 12$). Что делать?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Взять другие точки следа: $Y = NK \\cap BC$ и $Z = MK \\cap AC$","Провести след через $Y$ параллельно $AB$","Поставить $X$ на ребре $AB$, где хватает места","Считать, что следа нет"],"explanations":["","Параллельно $AB$ след идет только при $AM = BN$, а здесь $AM \\ne BN$","Точка следа на ребре — главная ошибка: там прямая $MN$ еще над основанием","Плоскость $MNK$ пересекает основание, след есть, он просто уходит за чертеж"],"answer":[0]}},"hints":["Точку следа дает любая пара прямых, лежащих в одной плоскости с ребром основания.","Пара $NK$ и $BC$ дает точку $Y$ с $CY = 2$, пара $MK$ и $AC$ — точку $Z$ на продолжении диагонали $AC$ за $C$.","Ответ: взять ближайшие точки следа $Y = NK \\cap BC$ и $Z = MK \\cap AC$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Метод следов нужен, когда в грани известна только одна точка сечения. Секущую плоскость продолжают до встречи с плоскостью основания: две точки следа дают след, след дает вершины на ребрах основания, а дальше сечение замыкается по граням.

Часто задаваемые вопросы

Обязательно ли основанием считать нижнюю грань?

Нет. Плоскостью «пола» можно взять плоскость любой грани, в которой удобно искать точки следа. Важно, чтобы прямые, которые вы продолжаете, лежали в одной грани с прямой этой плоскости.

Почему нельзя продолжить $MN$ до пересечения с ребром $CD$?

В кубе прямые $MN$ и $CD$ не лежат в одной плоскости, если $M$ и $N$ на ребрах $AA_1$ и $BB_1$ на разной высоте: они скрещиваются, общей точки нет. На чертеже они могут пересечься, но это пересечение теней, а не прямых.

Может ли след пройти через вершину основания?

Да. Тогда эта вершина — вершина сечения. Например, в параллелепипеде из примера 3 при $AM = 1$, $BN = 3$, $CK = 2$ высота над $D$ равна $1 + 2-3 = 0$, и след проходит через точку $D$.

Чем метод следов отличается от приема с параллельными гранями?

Прием с гранями работает, когда в паре параллельных граней уже есть сторона сечения. Метод следов подходит и тетраэдру, где параллельных граней нет. Часто их сочетают: одну сторону находят по параллельности, другую — по следу.

Награды за урок