Карточки
Тесты
Зави
Параллельные плоскости. Признак и свойства параллельных плоскостей
Параллельные плоскости. Признак и свойства параллельных плоскостей
В уроке о параллельности прямой и плоскости вы доказали признак: прямая, которая не лежит в плоскости и параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости, параллельна самой плоскости. Сегодня перейдем к двум плоскостям: определение, признак и свойства параллельных плоскостей, сечения, параллельные грани.
Вопрос к уроку. Мастер собирает этажерку и проверяет полку строительным уровнем: кладет его сначала вдоль полки, потом поперек. Почему одного положения уровня мало, а двух хватает? И почему у готовой этажерки стойки между двумя полками одной длины?
Полки, которые никогда не встретятся
Две различные плоскости могут иметь общую точку. Тогда по аксиоме А3 они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Так устроены соседние грани куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$: плоскости $ABCD$ и $ABB_1A_1$ пересекаются по прямой $AB$.
А могут не иметь ни одной общей точки. Так расположены две полки этажерки. Продолжите мысленно каждую полку во все стороны, как лист бумаги без края: листы так и не встретятся.
Определение
Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек. Запись: $\alpha \parallel \beta$.
У куба три пары противоположных граней: $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$, $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$. Их плоскости параллельны — скоро это будет доказано признаком. Соседние грани пересекаются по общему ребру.
Важно
Других случаев нет: две различные плоскости либо пересекаются по прямой, либо параллельны. Судят по плоскостям целиком, а не по нарисованным кускам: два параллелограмма на чертеже могут не касаться, хотя их плоскости пересекаются.
Две пересекающиеся прямые решают дело
Определение напрямую не проверить: нужен признак, как в уроке о параллельности прямой и плоскости. Уровень на полке показывает, что одна прямая полки параллельна горизонтальной плоскости. Мастер кладет его в двух направлениях, вдоль и поперек, — это две пересекающиеся прямые полки.
Теорема (признак параллельности плоскостей)
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
$$a \subset \alpha,\ b \subset \alpha,\ a \cap b = M,\ a \parallel \beta,\ b \parallel \beta \ \Rightarrow\ \alpha \parallel \beta$$
Доказательство
Дано: прямые $a$ и $b$ лежат в плоскости $\alpha$ и пересекаются в точке $M$, $a \parallel \beta$, $b \parallel \beta$. Доказать: $\alpha \parallel \beta$.
Шаг 1. Допустим, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются. По аксиоме А3 их общие точки образуют прямую; обозначим ее $c$.
Шаг 2. Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $a$, параллельную плоскости $\beta$, и пересекает $\beta$ по прямой $c$. По свойству из урока о параллельности прямой и плоскости $a \parallel c$. Так же $b \parallel c$.
Шаг 3. Прямые $a$ и $b$ различны и параллельны одной прямой $c$. По теореме о трех параллельных прямых из урока о параллельных прямых в пространстве $a \parallel b$.
Шаг 4. Но $a$ и $b$ пересекаются в точке $M$ — противоречие. Значит, общих точек у $\alpha$ и $\beta$ нет: $\alpha \parallel \beta$. Что и требовалось доказать.
На языке этажерки: если бы полка была наклонена, линия ее встречи с горизонтальной плоскостью была бы параллельна обоим положениям уровня. А два пересекающихся направления не могут быть параллельны одной прямой.
Пример 1
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ докажите, что плоскости $AB_1D_1$ и $C_1BD$ параллельны.
Решение. 1) Отрезки $AD$ и $B_1C_1$ равны и параллельны (оба равны и параллельны $BC$). Значит, $AB_1C_1D$ — параллелограмм и $AB_1 \parallel DC_1$.
2) Прямая $DC_1$ лежит в плоскости $C_1BD$, а прямая $AB_1$ в ней не лежит: иначе плоскость $C_1BD$ содержала бы точки $A$, $B$, $D$, то есть совпала бы с плоскостью основания $ABCD$, а точка $C_1$ в основании не лежит. По признаку параллельности прямой и плоскости $AB_1 \parallel (C_1BD)$.
3) Так же $ABC_1D_1$ — параллелограмм ($AB$ и $D_1C_1$ равны и параллельны), поэтому $AD_1 \parallel BC_1$ и $AD_1 \parallel (C_1BD)$.
4) Прямые $AB_1$ и $AD_1$ плоскости $AB_1D_1$ пересекаются в точке $A$ и обе параллельны плоскости $C_1BD$. По признаку плоскости параллельны.
Ответ: $(AB_1D_1) \parallel (C_1BD)$.
Откидная полка: почему двух параллельных прямых мало
Зачем в признаке слово «пересекающиеся»? Представьте откидную полку на петлях у стены. Каждая линия полки, идущая вдоль петли, параллельна плоскости стены. Таких линий сколько угодно, но полка со стеной пересекается — по линии петли.
Ошибка
Неверный ход. «В плоскости $\alpha$ есть две прямые, параллельные плоскости $\beta$, значит, $\alpha \parallel \beta$».
Проверка на кубе. Возьмем диагональные сечения куба: $\alpha = (ACC_1A_1)$ и $\beta = (BDD_1B_1)$. Ребра $AA_1 \parallel BB_1$ и $CC_1 \parallel DD_1$, а $BB_1$ и $DD_1$ лежат в $\beta$, поэтому $AA_1 \parallel \beta$ и $CC_1 \parallel \beta$. Две прямые плоскости $\alpha$ параллельны $\beta$. Но центр $O$ квадрата $ABCD$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ — лежит в обеих плоскостях. Плоскости пересекаются по прямой $OO_1$, где $O_1$ — центр грани $A_1B_1C_1D_1$.
Где сломалось. Прямые $AA_1$ и $CC_1$ параллельны друг другу, а не пересекаются: они задают одно направление, и линия пересечения $OO_1$ параллельна им обеим. Признак требует двух пересекающихся прямых.
Сколько бы параллельных прямых вы ни нашли, они не заменяют второго направления. Уровень, который двигают вдоль одной линии, не заметит наклона полки поперек.
Третья плоскость режет полки по параллельным линиям
Вставьте в этажерку лист фанеры наискосок. Он упрется в нижнюю полку по одной линии, в верхнюю — по другой, и эти линии будут параллельны.
Свойство 1
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
$$\alpha \parallel \beta,\ \gamma \cap \alpha = a,\ \gamma \cap \beta = b \ \Rightarrow\ a \parallel b$$
Доказательство
Шаг 1. Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\gamma$.
Шаг 2. Общих точек у них нет: $a \subset \alpha$, $b \subset \beta$, а у плоскостей $\alpha$ и $\beta$ общих точек нет.
Шаг 3. Две прямые одной плоскости без общих точек параллельны: $a \parallel b$. Что и требовалось доказать.
Обратите внимание
Прямые, лежащие в параллельных плоскостях, общих точек не имеют, но не обязательно параллельны: ребра $A_1B_1$ и $AD$ куба скрещиваются. Свойство 1 говорит только о линиях пересечения с одной третьей плоскостью.
Это свойство — главный инструмент в задачах на сечения: если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, отрезки сечения на этих гранях параллельны.
Параллельные стойки между полками одинаковой длины
Стойки этажерки параллельны друг другу, полки параллельны. Тогда куски стоек между двумя полками равны — поэтому у готовой этажерки стойки между полками одной длины. Это верно и для наклонных стоек, лишь бы они были параллельны.
Свойство 2
Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.
$$\alpha \parallel \beta,\ AA_1 \parallel BB_1,\ A, B \in \alpha,\ A_1, B_1 \in \beta \ \Rightarrow\ AA_1 = BB_1$$
Доказательство
Шаг 1. Параллельные прямые $AA_1$ и $BB_1$ лежат в одной плоскости $\gamma$.
Шаг 2. Плоскость $\gamma$ пересекает $\alpha$ по прямой $AB$, а $\beta$ — по прямой $A_1B_1$. По свойству 1 $AB \parallel A_1B_1$.
Шаг 3. В четырехугольнике $ABB_1A_1$ противоположные стороны попарно параллельны, значит, это параллелограмм и $AA_1 = BB_1$. Что и требовалось доказать.
Обратите внимание
Отрезки должны лежать на параллельных прямых. В кубе ребро $AA_1$ и диагональ грани $AB_1$ соединяют одни и те же плоскости $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, но диагональ квадрата длиннее его стороны.
Пример 2
Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ параллельных прямых заключены между ними ($A, B \in \alpha$; $A_1, B_1 \in \beta$), $AB = 5$, $AA_1 = 8$. Найдите периметр четырехугольника $ABB_1A_1$.
Решение. По доказанному $ABB_1A_1$ — параллелограмм, поэтому $A_1B_1 = AB = 5$ и $BB_1 = AA_1 = 8$. Периметр равен $2 \cdot (5+8) = 26$.
Ответ: $26$.
Через точку проходит только одна параллельная плоскость
Как провести через точку $M$ вне плоскости $\alpha$ плоскость, параллельную $\alpha$? Признак подсказывает: достаточно двух пересекающихся прямых через $M$, параллельных $\alpha$.
Теорема
Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной, и притом только одна.
Построение (существование)
Шаг 1. В плоскости $\alpha$ проведем две пересекающиеся прямые $a$ и $b$.
Шаг 2. Через точку $M$ проведем прямые $a_1 \parallel a$ и $b_1 \parallel b$ (по теореме из урока о параллельных прямых в пространстве каждая такая прямая одна). Прямые $a_1$ и $b_1$ различны: иначе $a$ и $b$ были бы параллельны одной прямой, а они пересекаются.
Шаг 3. Прямые $a_1$ и $b_1$ не лежат в $\alpha$, ведь $M \notin \alpha$. По признаку параллельности прямой и плоскости $a_1 \parallel \alpha$ и $b_1 \parallel \alpha$.
Шаг 4. Плоскость $\beta$, проходящая через пересекающиеся прямые $a_1$ и $b_1$, по признаку параллельна $\alpha$.
Показать доказательство единственности
Скрыть
Шаг 1. Пусть через $M$ проходят две различные плоскости $\beta$ и $\beta_1$, параллельные $\alpha$. У них общая точка $M$, поэтому они пересекаются по прямой $m$.
Шаг 2. Проведем в $\alpha$ прямую $l$, не параллельную $m$, и плоскость $\gamma$ через $l$ и точку $M$. Плоскость $\gamma$ пересекает $\beta$ и $\beta_1$ по прямым, проходящим через $M$, и по свойству 1 обе эти прямые параллельны $l$.
Шаг 3. В плоскости $\gamma$ через $M$ проходит только одна прямая, параллельная $l$. Значит, это общая прямая плоскостей $\beta$ и $\beta_1$, то есть $m$. Но $m$ не параллельна $l$ — противоречие. Что и требовалось доказать.
Сечение, параллельное грани, и ответ про этажерку
Соберем все вместе. Плоскость, параллельная грани, пересекает тело так же, как полка этажерки пересекает стойки.
Пример 3
Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6. Точка $M$ лежит на ребре $AA_1$, $AM = 2$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через $M$ параллельно грани $ABCD$, найдите его периметр и длину отрезка $BN$, где $N$ — точка сечения на ребре $BB_1$.
Решение. 1) В грани $AA_1B_1B$ проведем $MN \parallel AB$, в грани $AA_1D_1D$ — $MP \parallel AD$ ($N \in BB_1$, $P \in DD_1$). Прямые $MN$ и $MP$ пересекаются в точке $M$ и параллельны плоскости $ABCD$, поэтому плоскость $MNP$ параллельна $ABCD$; по теореме раздела 6 другой такой плоскости через $M$ нет.
2) Грань $BB_1C_1C$ пересекает параллельные плоскости $ABCD$ и $MNP$ по прямым $BC$ и $NK$, поэтому $NK \parallel BC$ (свойство 1), $K \in CC_1$. Точки $K$ и $P$ лежат в грани $DCC_1D_1$ и в плоскости сечения, поэтому $KP$ — сторона сечения. Сечение — четырехугольник $MNKP$.
3) $AMNB$ — параллелограмм, поэтому $MN = AB = 6$; так же $NK = KP = PM = 6$. Периметр равен $4 \cdot 6 = 24$.
4) Ребра $AA_1$ и $BB_1$ параллельны, отрезки $AM$ и $BN$ заключены между параллельными плоскостями $ABCD$ и $MNKP$. По свойству 2 $BN = AM = 2$.
Ответ: периметр $24$, $BN = 2$.
Пример 4
Плоскость, параллельная плоскости $ABC$, пересекает ребра $DA$, $DB$, $DC$ тетраэдра $DABC$ в точках $M$, $N$, $K$, причем $DM : DA = 2 : 3$, $AB = 9$, площадь треугольника $ABC$ равна 27. Найдите $MN$ и площадь треугольника $MNK$.
Решение. 1) Плоскость $DAB$ пересекает параллельные плоскости $ABC$ и $MNK$ по прямым $AB$ и $MN$, поэтому $MN \parallel AB$. Треугольник $DMN$ подобен треугольнику $DAB$ по двум углам (угол $D$ общий, $\angle DMN = \angle DAB$ как соответственные при $MN \parallel AB$) с коэффициентом $\frac{DM}{DA} = \frac{2}{3}$, значит, $MN = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$ и $\frac{DN}{DB} = \frac{2}{3}$.
2) Так же $NK \parallel BC$ и $MK \parallel AC$, а $NK = \frac{2}{3} BC$, $MK = \frac{2}{3} AC$. Треугольник $MNK$ подобен треугольнику $ABC$ по трем сторонам с коэффициентом $\frac{2}{3}$.
3) Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента: $27 \cdot \frac{4}{9} = 12$.
Ответ: $MN = 6$, площадь $12$.
Вернемся к этажерке. Уровень вдоль и поперек полки — две пересекающиеся прямые полки, параллельные горизонтальной плоскости. По признаку полка ей параллельна. Одно положение уровня дает одну прямую, и полку можно наклонить вокруг нее, как откидную. Если полки параллельны, то параллельные стойки между ними равны — это свойство 2.
Вывод
Параллельность плоскостей доказывают признаком: ищут в одной плоскости две пересекающиеся прямые, параллельные другой. Обратно, из параллельности плоскостей получают параллельные линии сечения и равные отрезки — на этом строятся сечения в задачах ЕГЭ.
Часто задаваемые вопросы
Нет. Все точки такой прямой лежат в своей плоскости, а у параллельных плоскостей общих точек нет. Поэтому любая прямая одной из параллельных плоскостей параллельна другой плоскости.
Да. Если бы плоскости $\alpha$ и $\beta$, параллельные $\gamma$, имели общую точку $M$, то через $M$ проходили бы две плоскости, параллельные $\gamma$. Это противоречит теореме о единственности из раздела 6.
Почти. Прямая, параллельная прямой плоскости $\beta$, параллельна $\beta$, только если сама в $\beta$ не лежит. Поэтому в примере 1 отдельно проверено, что прямая $AB_1$ не лежит в плоскости $C_1BD$.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий