Параллельные плоскости. Признак и свойства параллельных плоскостей

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какая грань куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельна грани $ABB_1A_1$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$ABCD$","$ADD_1A_1$","$BCC_1B_1$","$CDD_1C_1$"],"explanations":["У граней общее ребро $AB$: они пересекаются","У граней общее ребро $AA_1$: они пересекаются","У граней общее ребро $BB_1$: они пересекаются",""],"answer":[3]}},"hints":["Параллельные грани не имеют общих ребер.","Соседние грани пересекаются по ребру.","Ответ: $CDD_1C_1$."],"step":1},{"id":"1","content":"Какая грань куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельна грани $ADD_1A_1$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$CDD_1C_1$","$BCC_1B_1$","$ABCD$","$ABB_1A_1$"],"explanations":["У граней общее ребро $DD_1$: они пересекаются","","У граней общее ребро $AD$: они пересекаются","У граней общее ребро $AA_1$: они пересекаются"],"answer":[1]}},"hints":["Параллельные грани не имеют общих ребер.","Соседние грани пересекаются по ребру.","Ответ: $BCC_1B_1$."],"step":1},{"id":"2","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рассмотрены плоскости $ABCD$, $A_1B_1C_1D_1$, $AB_1D_1$, $C_1BD$, $ACC_1A_1$. Сколько среди них пар параллельных плоскостей? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Основания $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ — противоположные грани: одна пара.","В плоскости $AB_1D_1$ прямые $AB_1$ и $AD_1$ пересекаются и параллельны $DC_1$ и $BC_1$ плоскости $C_1BD$: еще одна пара. Плоскость $ACC_1A_1$ пары не имеет.","$1 + 1 = 2$. Ответ: 2."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ рассмотрены плоскости $ABB_1A_1$, $CDD_1C_1$, $ACD_1$, $A_1BC_1$, $ACC_1A_1$. Сколько среди них пар параллельных плоскостей? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ противоположные: одна пара.","Плоскости $ACD_1$ и $A_1BC_1$ параллельны: $AC \\parallel A_1C_1$ и $AD_1 \\parallel BC_1$ — еще одна пара. Плоскость $ACC_1A_1$ пары не имеет.","$1 + 1 = 2$. Ответ: 2."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Найдите ошибку. Решавр: «Две прямые плоскости $\\alpha$ параллельны плоскости $\\beta$, значит $\\alpha \\parallel \\beta$». Какой пример опровергает?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$\\alpha = (ADD_1A_1)$, $\\beta = (BCC_1B_1)$; прямые $AA_1$ и $DD_1$","$\\alpha = (ABB_1A_1)$, $\\beta = (DCC_1D_1)$; прямые $AA_1$ и $BB_1$","$\\alpha = (ABCD)$, $\\beta = (A_1B_1C_1D_1)$; прямые $AB$ и $DC$","$\\alpha = (ABCD)$, $\\beta = (BCC_1B_1)$; прямые $AD$ и средняя линия основания, параллельная $BC$"],"explanations":["Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ противоположные, плоскости параллельны","Грани $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ противоположные, плоскости параллельны","Основания куба параллельны, утверждение для них верно",""],"answer":[3]}},"hints":["Прямые должны пересекаться; параллельные прямые плоскости $\\alpha$ могут быть параллельны $\\beta$, когда плоскости пересекаются.","Нужны пересекающиеся плоскости, у которых в $\\alpha$ есть две прямые, параллельные линии пересечения.","Ответ: $\\alpha = (ABCD)$, $\\beta = (BCC_1B_1)$; прямые $AD$ и средняя линия основания, параллельная $BC$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Найдите ошибку. Решавр: «Две прямые плоскости $\\alpha$ параллельны плоскости $\\beta$, значит $\\alpha \\parallel \\beta$». Какой пример опровергает?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$\\alpha = (BCC_1B_1)$, $\\beta = (ADD_1A_1)$; прямые $BB_1$ и $CC_1$","$\\alpha = (ABCD)$, $\\beta = (A_1B_1C_1D_1)$; прямые $AD$ и $BC$","$\\alpha = (CDD_1C_1)$, $\\beta = (ABB_1A_1)$; прямые $CC_1$ и $DD_1$","$\\alpha = (ABB_1A_1)$, $\\beta = (BCC_1B_1)$; прямые $AA_1$ и средняя линия грани, параллельная $BB_1$"],"explanations":["Грани $BCC_1B_1$ и $ADD_1A_1$ противоположные, плоскости параллельны","Основания куба параллельны, утверждение для них верно","Грани $CDD_1C_1$ и $ABB_1A_1$ противоположные, плоскости параллельны",""],"answer":[3]}},"hints":["Прямые должны пересекаться; параллельные прямые плоскости $\\alpha$ могут быть параллельны $\\beta$, когда плоскости пересекаются.","Нужны пересекающиеся плоскости, у которых в $\\alpha$ есть две прямые, параллельные линии пересечения.","Ответ: $\\alpha = (ABB_1A_1)$, $\\beta = (BCC_1B_1)$; прямые $AA_1$ и средняя линия грани, параллельная $BB_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"[[image-1]]В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ нужно доказать, что плоскости $A_1BD$ и $CB_1D_1$ параллельны. Какой набор фактов достаточен?[[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/lzwvzl4u565u.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["$A_1B \\parallel D_1C$ и $A_1D \\parallel B_1C$, причем $A_1B$ и $A_1D$ пересекаются","$BD \\parallel B_1D_1$, и этого достаточно: одна пара параллельных прямых","Плоскости не имеют общих ребер куба, значит общих точек у них нет","$A_1B \\parallel D_1C$, а $A_1D$ скрещивается с $B_1C$, плоскости различны"],"explanations":["","Одной пары мало: плоскости могут пересекаться по прямой, параллельной $BD$","Отсутствие общих ребер не доказывает отсутствие общих точек","$A_1D$ и $B_1C$ параллельны, скрещивания нет; кроме того, одна пара параллельных недостаточна"],"answer":[0]}},"hints":["Признак: две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости.","Найдите в первой плоскости две пересекающиеся прямые и параллельные им прямые второй.","Ответ: $A_1B \\parallel D_1C$ и $A_1D \\parallel B_1C$, причем $A_1B$ и $A_1D$ пересекаются."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"[[image-2]]В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ нужно доказать, что плоскости $ACB_1$ и $A_1C_1D$ параллельны. Какой набор фактов достаточен?[[choice-6]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/0i2bguckphhs.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$AC \\parallel A_1C_1$ и $AB_1 \\parallel DC_1$, причем $AC$ и $AB_1$ пересекаются","Плоскости не имеют общих ребер куба, значит общих точек у них нет","$AC \\parallel A_1C_1$, а $AB_1$ скрещивается с $DC_1$, плоскости различны","$AC \\parallel A_1C_1$, и этого достаточно: одна пара параллельных прямых"],"explanations":["","Отсутствие общих ребер не доказывает отсутствие общих точек","$AB_1$ и $DC_1$ параллельны, скрещивания нет; кроме того, одна пара параллельных недостаточна","Одной пары мало: плоскости могут пересекаться по прямой, параллельной $AC$"],"answer":[0]}},"hints":["Признак: две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны другой плоскости.","Найдите в первой плоскости две пересекающиеся прямые и параллельные им прямые второй.","Ответ: $AC \\parallel A_1C_1$ и $AB_1 \\parallel DC_1$, причем $AC$ и $AB_1$ пересекаются."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Грани $ABB_1A_1$ и $CDD_1C_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны. Плоскость проходит через прямую грани $ABB_1A_1$ и точку грани $CDD_1C_1$. Сопоставьте плоскость и прямую, по которой она пересекает грань $CDD_1C_1$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Через $AB_1$ и точку $D$","Через $A_1B$ и точку $C$","Через $AA_1$ и точку $D$"],"items":["$DC_1$","$CD_1$","$DD_1$","$CC_1$"]}},"instruction":"Соедините плоскость с линией пересечения","hints":["Свойство 1: третья плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым.","Значит, линия пересечения с гранью $CDD_1C_1$ проходит через данную точку параллельно данной прямой.","Ответ: через $AB_1$ и $D$ — $DC_1$; через $A_1B$ и $C$ — $CD_1$; через $AA_1$ и $D$ — $DD_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны. Плоскость проходит через прямую грани $ADD_1A_1$ и точку грани $BCC_1B_1$. Сопоставьте плоскость и прямую, по которой она пересекает грань $BCC_1B_1$.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Через $AD_1$ и точку $B$","Через $A_1D$ и точку $C$","Через $DD_1$ и точку $B$"],"items":["$BC_1$","$CB_1$","$BB_1$","$BC$"]}},"instruction":"Соедините плоскость с линией пересечения","hints":["Свойство 1: третья плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым.","Значит, линия пересечения с гранью $BCC_1B_1$ проходит через данную точку параллельно данной прямой.","Ответ: через $AD_1$ и $B$ — $BC_1$; через $A_1D$ и $C$ — $CB_1$; через $DD_1$ и $B$ — $BB_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Найдите ошибку. Решавр: «Грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ куба параллельны, прямая $AB$ лежит в первой из них, прямая $B_1C_1$ — во второй, значит $AB$ $\\parallel$ $B_1C_1$». В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Прямая $B_1C_1$ не лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$","Ошибки нет: прямые параллельных плоскостей параллельны","Прямые $AB$ и $B_1C_1$ не лежат в одной плоскости: они скрещиваются","Грани $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ не параллельны"],"explanations":["Лежит: $B_1C_1$ — ребро этой грани","Общих точек у таких прямых нет, но они могут скрещиваться","","Параллельны: это противоположные грани куба, ошибка не в этом"],"answer":[2]}},"hints":["Свойство 1 говорит только о линиях пересечения параллельных плоскостей одной третьей плоскостью.","Прямые $AB$ и $B_1C_1$ общих точек не имеют, но в одной плоскости не лежат.","Ответ: $AB$ и $B_1C_1$ скрещиваются, вывод неверен."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Найдите ошибку. Решавр: «Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ куба параллельны, прямая $AA_1$ лежит в первой из них, прямая $BC$ — во второй, значит $AA_1$ $\\parallel$ $BC$». В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: прямые параллельных плоскостей параллельны","Прямая $BC$ не лежит в плоскости $BCC_1B_1$","Прямые $AA_1$ и $BC$ не лежат в одной плоскости: они скрещиваются","Грани $ADD_1A_1$ и $BCC_1B_1$ не параллельны"],"explanations":["Общих точек у таких прямых нет, но они могут скрещиваться","Лежит: $BC$ — ребро этой грани","","Параллельны: это противоположные грани куба, ошибка не в этом"],"answer":[2]}},"hints":["Свойство 1 говорит только о линиях пересечения параллельных плоскостей одной третьей плоскостью.","Прямые $AA_1$ и $BC$ общих точек не имеют, но в одной плоскости не лежат.","Ответ: $AA_1$ и $BC$ скрещиваются, вывод неверен."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Точка $K$ лежит на ребре $AD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через $K$ параллельно грани $ABB_1A_1$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["В гранях $ABCD$ и $ADD_1A_1$ проведем $KL \\parallel AB$ ($L \\in BC$) и $KM \\parallel AA_1$ ($M \\in A_1D_1$)","Прямые $KL$ и $KM$ пересекаются в точке $K$ и параллельны плоскости $ABB_1A_1$, поэтому по признаку $(KLM) \\parallel (ABB_1A_1)$","Теперь грань $BCC_1B_1$ пересекает параллельные плоскости $ABB_1A_1$ и $KLM$ по параллельным прямым (свойство 1): проведем $LN \\parallel BB_1$ ($N \\in B_1C_1$)","Остается соединить $N$ и $M$: сечение — четырехугольник $KLNM$"]}},"instruction":"Расставьте шаги в верном порядке","hints":["Сначала задайте плоскость сечения двумя пересекающимися прямыми через данную точку — по признаку.","Затем в остальных гранях используйте свойство 1: линии пересечения с параллельными плоскостями параллельны.","Порядок: 1 → 2 → 3 → 4 — каждый шаг опирается на предыдущий."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Точка $K$ лежит на ребре $CC_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через $K$ параллельно грани $ABCD$.[[sorter-2]]","widgets":{"sorter-2":{"type":"sorter","items":["В гранях $BCC_1B_1$ и $CDD_1C_1$ проведем $KL \\parallel CB$ ($L \\in BB_1$) и $KM \\parallel CD$ ($M \\in DD_1$)","Прямые $KL$ и $KM$ пересекаются в точке $K$ и параллельны плоскости $ABCD$, поэтому по признаку $(KLM) \\parallel (ABCD)$","Теперь грань $ABB_1A_1$ пересекает параллельные плоскости $ABCD$ и $KLM$ по параллельным прямым (свойство 1): проведем $LN \\parallel AB$ ($N \\in AA_1$)","Остается соединить $N$ и $M$: сечение — четырехугольник $KLNM$"]}},"instruction":"Расставьте шаги в верном порядке","hints":["Сначала задайте плоскость сечения двумя пересекающимися прямыми через данную точку — по признаку.","Затем в остальных гранях используйте свойство 1: линии пересечения с параллельными плоскостями параллельны.","Порядок: 1 → 2 → 3 → 4 — каждый шаг опирается на предыдущий."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Параллельные прямые $MM_1$ и $NN_1$ пересекают параллельные плоскости $\\alpha$ и $\\beta$ в точках $M$, $N$ и $M_1$, $N_1$. Известно, что $M_1N_1 = 12$. Найдите $MN$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Плоскость $MM_1N_1N$ пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым $MN$ и $M_1N_1$.","Значит, $MM_1N_1N$ — параллелограмм.","$MN = M_1N_1 = 12$. Ответ: 12."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Параллельные прямые $PP_1$ и $QQ_1$ пересекают параллельные плоскости $\\alpha$ и $\\beta$ в точках $P$, $Q$ и $P_1$, $Q_1$. Известно, что $PQ = 9$ и $PP_1 = 5$. Найдите $Q_1Q$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Плоскость $PP_1Q_1Q$ пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым $PQ$ и $P_1Q_1$.","Значит, $PP_1Q_1Q$ — параллелограмм, противоположные стороны $PP_1$ и $QQ_1$ равны.","$QQ_1 = PP_1 = 5$. Ответ: 5."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Плоскость, параллельная плоскости $ABC$, пересекает ребра $DA$, $DB$, $DC$ тетраэдра $DABC$ в точках $M$, $N$, $K$. Известно, что $DM : MA = 2 : 3$, а периметр треугольника $MNK$ равен 12. Найдите периметр треугольника $ABC$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["Коэффициент подобия — отношение $DM : DA$, а не $DM : MA$.","$DM : DA = 2 : (2 + 3) = 2 : 5$, то есть $MNK$ в $\\frac25$ раза меньше $ABC$.","$12 : \\frac25 = 30$. Ответ: 30."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Плоскость, параллельная плоскости $ABC$, пересекает ребра $DA$, $DB$, $DC$ тетраэдра $DABC$ в точках $M$, $N$, $K$. Известно, что $MN = 6$, $AB = 8$, периметр треугольника $ABC$ равен 28. Найдите периметр треугольника $MNK$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"21"}},"hints":["$MN$ и $AB$ — соответственные стороны подобных треугольников $MNK$ и $ABC$.","Коэффициент подобия $MN : AB = 6 : 8 = 3 : 4$.","$28 \\cdot \\frac34 = 21$. Ответ: 21."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Плоскость, параллельная плоскости $ABC$, пересекает ребра $DA$, $DB$, $DC$ тетраэдра $DABC$ в точках $M$, $N$, $K$, причем $DM : DA = 1 : 3$. Площадь треугольника $ABC$ равна 18. Найдите площадь треугольника $MNK$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Сечение подобно основанию: стороны $MN$, $NK$, $MK$ параллельны $AB$, $BC$, $AC$.","Коэффициент подобия $\\frac{1}{3}$, площади относятся как $\\frac{1}{9}$.","$18 : 9 = 2$. Ответ: 2."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Плоскость, параллельная плоскости $ABC$, пересекает ребра $DA$, $DB$, $DC$ тетраэдра $DABC$ в точках $M$, $N$, $K$, причем $DM : DA = 3 : 4$. Площадь треугольника $ABC$ равна 32. Найдите площадь треугольника $MNK$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Сечение подобно основанию: стороны $MN$, $NK$, $MK$ параллельны $AB$, $BC$, $AC$.","Коэффициент подобия $\\frac{3}{4}$, площади относятся как $\\frac{9}{16}$.","$32 \\cdot \\frac{9}{16} = 18$. Ответ: 18."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>