Параллельность прямой и плоскости

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сопоставьте прямую и ее расположение относительно плоскости $ABCD$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$AC$","$B_1D_1$","$BD_1$"],"items":["Лежит в плоскости","Параллельна плоскости","Пересекает плоскость"]}},"instruction":"Соедините прямую с ее расположением","hints":["Три случая: прямая лежит в плоскости (все точки общие), пересекает ее (одна общая точка), параллельна ей (общих точек нет).","Проверьте концы отрезка: если оба лежат в грани $ABCD$, прямая лежит в плоскости; если один — пересекает ее.","Ответ: $AC$ лежит в плоскости, $B_1D_1$ параллельна ей, $BD_1$ пересекает ее."],"step":1},{"id":"1","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сопоставьте прямую и ее расположение относительно плоскости $BCC_1B_1$.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$BC_1$","$AD_1$","$AC_1$"],"items":["Лежит в плоскости","Параллельна плоскости","Пересекает плоскость"]}},"instruction":"Соедините прямую с ее расположением","hints":["Три случая: прямая лежит в плоскости (все точки общие), пересекает ее (одна общая точка), параллельна ей (общих точек нет).","Проверьте концы отрезка: если оба лежат в грани $BCC_1B_1$, прямая лежит в плоскости; если один — пересекает ее.","Ответ: $BC_1$ лежит в плоскости, $AD_1$ параллельна ей, $AC_1$ пересекает ее."],"step":1},{"id":"2","content":"Какая грань куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельна ребру $DD_1$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$A_1B_1C_1D_1$","$ABCD$","$CDD_1C_1$","$ABB_1A_1$"],"explanations":["Ребро $DD_1$ пересекает верхнюю грань в точке $D_1$","Ребро $DD_1$ пересекает основание в точке $D$","Ребро $DD_1$ лежит в этой грани",""],"answer":[3]}},"hints":["Ребро и грань параллельны, если общих точек у них нет.","Проверьте каждую грань: содержит ли она ребро, пересекает ли его.","Ответ: $ABB_1A_1$."],"step":1},{"id":"2","content":"Какая грань куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельна ребру $BC$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$ADD_1A_1$","$ABCD$","$BCC_1B_1$","$CDD_1C_1$"],"explanations":["","Ребро $BC$ лежит в этой грани","Ребро $BC$ лежит и в этой грани","Ребро $BC$ пересекает эту грань в точке $C$"],"answer":[0]}},"hints":["Ребро и грань параллельны, если общих точек у них нет.","Проверьте каждую грань: содержит ли она ребро, пересекает ли его.","Ответ: $ADD_1A_1$."],"step":1},{"id":"3","content":"Сколько граней куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны диагонали $AC$ основания? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Диагональ $AC$ лежит в основании $ABCD$ и пересекает грани, содержащие точки $A$ и $C$.","Общих точек с $AC$ нет только у грани $A_1B_1C_1D_1$: $AC \\parallel A_1C_1$.","Ответ: 1."],"step":1},{"id":"3","content":"Сколько граней куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны диагонали $AB_1$ грани $ABB_1A_1$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"1"}},"hints":["Диагональ $AB_1$ лежит в грани $ABB_1A_1$ и пересекает грани, содержащие $A$ или $B_1$.","Остается грань $CDD_1C_1$: $AB_1 \\parallel DC_1$.","Ответ: 1."],"step":1},{"id":"4","content":"Найдите ошибку. Решавр: «$BB_1$ $\\parallel$ $AA_1$, прямая $AA_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, значит $BB_1$ $\\parallel$ ($ABB_1A_1$)». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$BB_1$ не параллельна $AA_1$","Признак не работает для ребер куба","Прямая $AA_1$ не лежит в плоскости $ABB_1A_1$","Прямая $BB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, а признак требует $a \\not\\subset \\alpha$"],"explanations":["Параллельны: противоположные ребра грани-квадрата","Работает для любых прямых при условии $a \\not\\subset \\alpha$","Лежит: $AA_1$ — ребро этой плоскости",""],"answer":[3]}},"hints":["Признак требует, чтобы прямая не лежала в плоскости.","Но $BB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$.","Общих точек много, параллельности нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Найдите ошибку. Решавр: «$DD_1$ $\\parallel$ $CC_1$, прямая $CC_1$ лежит в плоскости $CDD_1C_1$, значит $DD_1$ $\\parallel$ ($CDD_1C_1$)». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Прямая $DD_1$ лежит в плоскости $CDD_1C_1$, а признак требует $a \\not\\subset \\alpha$","$DD_1$ не параллельна $CC_1$","Признак не работает для ребер куба","Прямая $CC_1$ не лежит в плоскости $CDD_1C_1$"],"explanations":["","Параллельны: противоположные ребра грани-квадрата","Работает для любых прямых при условии $a \\not\\subset \\alpha$","Лежит: $CC_1$ — ребро этой плоскости"],"answer":[0]}},"hints":["Признак требует, чтобы прямая не лежала в плоскости.","Но $DD_1$ лежит в плоскости $CDD_1C_1$.","Общих точек много, параллельности нет."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ нужно доказать, что $AB$ $\\parallel$ ($A_1B_1C_1D_1$). Какой набор фактов достаточен?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$AB$ $\\parallel$ $A_1B_1$, $A_1B_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, а $AB$ в ней не лежит","$AB \\parallel CD$, $CD$ лежит в плоскости $ABCD$, а $AB$ не лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$","$AB$ не пересекает $A_1D_1$, $A_1D_1$ лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, а $AB$ в ней не лежит","$AB \\parallel A_1B_1$, $A_1B_1$ не лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$, а $AB$ лежит в плоскости $ABCD$"],"explanations":["","Прямая $CD$ лежит в той же плоскости $ABCD$, что и $AB$, — параллельность плоскости $A_1B_1C_1D_1$ она не доказывает","$AB$ и $A_1D_1$ скрещиваются; «не пересекает» не равно «параллельна»","Ребро $A_1B_1$ лежит в этой плоскости: утверждение о нем ложно"],"answer":[0]}},"hints":["Признак: прямая вне плоскости, параллельная прямой этой плоскости.","Нужна прямая плоскости $A_1B_1C_1D_1$, параллельная $AB$, и условие, что $AB$ не лежит в плоскости.","Подходит $A_1B_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ нужно доказать, что $DC$ $\\parallel$ ($ABB_1A_1$). Какой набор фактов достаточен?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$DC \\parallel AB$, $AB$ не лежит в плоскости $ABB_1A_1$, а $DC$ не лежит в плоскости $A_1B_1C_1D_1$","$DC$ не пересекает $BB_1$, $BB_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, а $DC$ в ней не лежит","$DC$ $\\parallel$ $AB$, $AB$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, а $DC$ в ней не лежит","$DC \\parallel A_1D_1$, $A_1D_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, а $DC$ в ней не лежит"],"explanations":["Ребро $AB$ лежит в этой плоскости: утверждение о нем ложно","$DC$ и $BB_1$ скрещиваются; «не пересекает» не равно «параллельна»","","$DC$ и $A_1D_1$ скрещиваются, параллельности нет"],"answer":[2]}},"hints":["Признак: прямая вне плоскости, параллельная прямой этой плоскости.","Нужна прямая плоскости $ABB_1A_1$, параллельная $DC$, и условие, что $DC$ не лежит в плоскости.","Подходит $AB$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Найдите ошибку. Решавр: «Ребро $BC$ параллельно плоскости $ADD_1A_1$, значит оно параллельно любой прямой этой плоскости». Какая прямая плоскости $ADD_1A_1$ опровергает это?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$AD$","$AA_1$","$A_1D_1$","Такой прямой нет: утверждение верно"],"explanations":["$AD \\parallel BC$ — частный случай, он ничего не опровергает","","$A_1D_1 \\parallel BC$ — частный случай, он ничего не опровергает","Есть: скрещивающаяся пара существует, например $AA_1$"],"answer":[1]}},"hints":["Ребро $BC$ параллельно грани $ADD_1A_1$.","Нужна прямая грани, не лежащая с $BC$ в одной плоскости.","Прямая $AA_1$ скрещивается с $BC$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Найдите ошибку. Решавр: «Ребро $DD_1$ параллельно плоскости $ABB_1A_1$, значит оно параллельно любой прямой этой плоскости». Какая прямая плоскости $ABB_1A_1$ опровергает это?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Такой прямой нет: утверждение верно","$BB_1$","$AA_1$","$A_1B_1$"],"explanations":["Есть: скрещивающаяся пара существует, например $A_1B_1$","$BB_1 \\parallel DD_1$ — частный случай, он ничего не опровергает","$AA_1 \\parallel DD_1$ — частный случай, он ничего не опровергает",""],"answer":[3]}},"hints":["Ребро $DD_1$ параллельно грани $ABB_1A_1$.","Нужна прямая грани, не лежащая с $DD_1$ в одной плоскости.","Прямая $A_1B_1$ скрещивается с $DD_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Ребро $CD$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельно грани $ABB_1A_1$. Разложите прямые этой грани по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Параллельны $CD$","Скрещиваются с $CD$"],"items":[["$AB$","$A_1B_1$"],["$AA_1$","$AB_1$","$BB_1$","$A_1B$"]]}},"instruction":"Разложите прямые по группам","hints":["Прямая, параллельная плоскости, не пересекает ни одну прямую этой плоскости: каждая из них либо параллельна ей, либо скрещивается с ней.","Параллельны $CD$ только прямые грани, которые лежат с ней в одной плоскости: $AB$, $A_1B_1$.","Ответ: параллельны — $AB$, $A_1B_1$; скрещиваются — $AA_1$, $AB_1$, $BB_1$, $A_1B$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Ребро $BC$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельно грани $ADD_1A_1$. Разложите прямые этой грани по группам.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Параллельны $BC$","Скрещиваются с $BC$"],"items":[["$AD$","$A_1D_1$"],["$AA_1$","$AD_1$","$DD_1$","$A_1D$"]]}},"instruction":"Разложите прямые по группам","hints":["Прямая, параллельная плоскости, не пересекает ни одну прямую этой плоскости: каждая из них либо параллельна ей, либо скрещивается с ней.","Параллельны $BC$ только прямые грани, которые лежат с ней в одной плоскости: $AD$, $A_1D_1$.","Ответ: параллельны — $AD$, $A_1D_1$; скрещиваются — $AA_1$, $AD_1$, $DD_1$, $A_1D$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Ребро $AB$ параллельно плоскости $A_1B_1C_1D_1$. Плоскость $ABC_1D_1$ проходит через $AB$ и пересекает $A_1B_1C_1D_1$ по прямой $C_1D_1$. Что следует?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$AB$ $\\parallel$ $C_1D_1$","Определить нельзя: $C_1D_1$ — произвольная прямая верхней грани","$AB$ и $C_1D_1$ пересекаются","$AB$ и $C_1D_1$ скрещиваются"],"explanations":["","$C_1D_1$ — линия пересечения плоскости $ABC_1D_1$ с гранью $A_1B_1C_1D_1$, по свойству она параллельна $AB$","У $AB$ нет общих точек с плоскостью $A_1B_1C_1D_1$, значит и с $C_1D_1$","Они лежат в одной плоскости $ABC_1D_1$: скрещиваться не могут"],"answer":[0]}},"hints":["Плоскость через прямую, параллельную другой плоскости, пересекает ее по прямой, параллельной данной.","Линия пересечения — $C_1D_1$.","Ответ: $AB$ $\\parallel$ $C_1D_1$."],"step":1},{"id":"8","content":"Ребро $BC$ параллельно плоскости $ADD_1A_1$. Плоскость $BCD_1A_1$ проходит через $BC$ и пересекает $ADD_1A_1$ по прямой $A_1D_1$. Что следует?[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["$BC$ $\\parallel$ $A_1D_1$","$BC$ и $A_1D_1$ пересекаются","$BC$ и $A_1D_1$ скрещиваются","Определить нельзя: $A_1D_1$ — произвольная прямая грани $ADD_1A_1$"],"explanations":["","У $BC$ нет общих точек с плоскостью $ADD_1A_1$, значит и с $A_1D_1$","Они лежат в одной плоскости $BCD_1A_1$: скрещиваться не могут","$A_1D_1$ — линия пересечения плоскости $BCD_1A_1$ с гранью $ADD_1A_1$, по свойству она параллельна $BC$"],"answer":[0]}},"hints":["Плоскость через прямую, параллельную другой плоскости, пересекает ее по прямой, параллельной данной.","Линия пересечения — $A_1D_1$.","Ответ: $BC$ $\\parallel$ $A_1D_1$."],"step":1},{"id":"9","content":"Плоскость параллельна ребру $BC$ тетраэдра $DABC$ и пересекает ребра $DB$ и $DC$ в точках $N$ и $Q$, причем $DN : NB = 3 : 1$. Найдите $NQ$, если $BC = 12$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"9"}},"hints":["Плоскость $DBC$ содержит $BC$ и пересекает секущую плоскость по $NQ$, значит $NQ \\parallel BC$.","Коэффициент подобия — $DN : DB$, а не $DN : NB$: $DB = DN + NB$, поэтому $DN : DB = 3 : 4$.","$NQ = 12 \\cdot \\frac{3}{4} = 9$. Ответ: 9."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Плоскость параллельна ребру $AC$ тетраэдра $DABC$ и пересекает ребра $DA$ и $DC$ в точках $M$ и $K$, причем $DM : MA = 4 : 3$. Найдите $MK$, если $AC = 14$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["Плоскость $DAC$ содержит $AC$ и пересекает секущую плоскость по $MK$, значит $MK \\parallel AC$.","Коэффициент подобия — $DM : DA$, а не $DM : MA$: $DA = DM + MA$, поэтому $DM : DA = 4 : 7$.","$MK = 14 \\cdot \\frac{4}{7} = 8$. Ответ: 8."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В тетраэдре $DABC$ точки $M$ и $N$ — середины ребер $DA$ и $DB$. Как расположены прямая $MN$ и плоскость $ABC$?[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["$MN$ пересекает плоскость $ABC$","Параллельны","Определить нельзя: длины ребер не заданы","$MN$ лежит в плоскости $ABC$"],"explanations":["$MN \\parallel AB$, а у такой прямой с плоскостью $ABC$ нет общих точек","","Длины не нужны: $MN$ — средняя линия, $MN \\parallel AB$, а $AB$ лежит в плоскости $ABC$","Точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $DA$ и $DB$ вне основания"],"answer":[1]}},"hints":["$MN$ — средняя линия треугольника $DAB$, значит $MN \\parallel AB$.","$AB$ лежит в плоскости $ABC$, а $MN$ в ней не лежит.","По признаку $MN \\parallel (ABC)$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В тетраэдре $DABC$ точки $K$ и $P$ — середины ребер $CB$ и $CA$. Как расположены прямая $KP$ и плоскость $DAB$?[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["$KP$ пересекает плоскость $DAB$","Параллельны","Определить нельзя: длины ребер не заданы","$KP$ лежит в плоскости $DAB$"],"explanations":["$KP \\parallel AB$, а у такой прямой с плоскостью $DAB$ нет общих точек","","Длины не нужны: $KP$ — средняя линия, $KP \\parallel AB$, а $AB$ лежит в плоскости $DAB$","Точки $K$ и $P$ лежат на ребрах $CB$ и $CA$, не в грани $DAB$"],"answer":[1]}},"hints":["$KP$ — средняя линия треугольника $CAB$, значит $KP \\parallel AB$.","$AB$ лежит в плоскости $DAB$, а $KP$ в ней не лежит.","По признаку $KP \\parallel (DAB)$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>