10 класс Геометрия Параллельность в пространстве Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей

Параллельность прямой и плоскости

Содержание

В уроке о параллельных прямых в пространстве вы доказали, что две различные прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Теперь вторая пара объектов: прямая и плоскость. Разберем, когда они параллельны, докажем признак параллельности и свойство, на котором строятся сечения, и научимся не делать вывод, который кажется очевидным, но неверен.

Вопрос к уроку. На стене висит полка. Как убедиться, что ее передний край параллелен полу, если в руках только рулетка? Проверить все точки пола нельзя: пол — часть плоскости, а плоскость бесконечна.

Нить над столом: прямая, которая не встречает плоскость

Поставьте куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ на стол: нижняя грань $ABCD$ лежит на столешнице. Продолжим столешницу во все стороны — получится плоскость $ABCD$. Посмотрим, как с ней расположены три прямые, проходящие через ребра.

Прямая $AB$ лежит на столе: все ее точки принадлежат плоскости $ABCD$. Прямая $AA_1$ идет вверх и встречает стол в одной точке $A$. Прямая $A_1B_1$ проходит по верхнему ребру, как нить, натянутая над столом: как бы ни продолжали нить и стол, они не встретятся.

Куб: плоскость ABCD (стол) и три прямые: AB лежит в плоскости, AA₁ пересекает ее в точке A, A₁B₁ с плоскостью общих точек не имеет — Прямая $AB$ лежит в плоскости $ABCD$, прямая $AA_1$ пересекает ее в точке $A$, у прямой $A_1B_1$ с ней нет общих точек

Других случаев не бывает. Если у прямой и плоскости две общие точки, то по аксиоме А2 вся прямая лежит в плоскости. Значит, общих точек либо бесконечно много (прямая лежит в плоскости), либо одна (прямая пересекает плоскость), либо ни одной.

Определение

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Запись: $a \parallel \alpha$.

Говоря «ребро $A_1B_1$ параллельно грани $ABCD$», имеют в виду прямую $A_1B_1$ и плоскость $ABCD$. Обратите внимание: определение трудно проверить напрямую. Чтобы убедиться, что общих точек нет, пришлось бы перебрать все точки бесконечной плоскости. Нужен признак — условие, которое проверяется за один шаг.

{"questions":[{"content":"Прямую и плоскость называют параллельными, если они [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["имеют две общие точки","не имеют общих точек","имеют одну общую точку","имеют не менее одной общей точки"],"answer":1}},"hints":["Определение не требует углов или расстояний.","Важно только наличие общих точек.","Ответ: не имеют общих точек."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Какая грань куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельна ребру $AA_1$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/pxjaqmvxacmb.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$ABCD$","$A_1B_1C_1D_1$","$ABB_1A_1$","$BCC_1B_1$"],"explanations":["Ребро $AA_1$ пересекает основание в точке $A$","Ребро $AA_1$ пересекает верхнюю грань в точке $A_1$","Ребро $AA_1$ лежит в этой грани, общих точек у них много",""],"answer":[3]}},"hints":["Ребро и грань параллельны, если общих точек у них нет.","$AA_1$ лежит в гранях $ABB_1A_1$ и $ADD_1A_1$ и пересекает $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$.","Ответ: $BCC_1B_1$."],"step":1}],"mix":1}

Достаточно одной линии на столе

Вернемся к кубу. Ребро $A_1B_1$ параллельно ребру $DC$, которое лежит на столе: это противоположные ребра, обе прямые параллельны $AB$. Нить над столом параллельна линии, начерченной на столешнице. Похоже, этого достаточно, чтобы нить не встретила стол. Докажем.

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

$$a \not\subset \alpha,\ b \subset \alpha,\ a \parallel b \ \Rightarrow\ a \parallel \alpha$$

Плоскость α, в ней прямая b; вертикальная плоскость β проходит через b, в ней прямая a ∥ b; точка M на b — допущенная общая точка a и α — Общая точка $a$ и $\alpha$ обязана лежать на $b$ — линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, а у параллельных $a$ и $b$ общих точек нет

Доказательство

Дано: $a \not\subset \alpha$, $b \subset \alpha$, $a \parallel b$. Доказать: $a \parallel \alpha$.

Шаг 1. Параллельные прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\beta$ (определение параллельных прямых). Плоскость $\beta$ не совпадает с $\alpha$: в $\beta$ лежит прямая $a$, а в $\alpha$ она не лежит.

Шаг 2. Допустим, у прямой $a$ и плоскости $\alpha$ есть общая точка $M$. Точка $M$ лежит на $a$, поэтому принадлежит $\beta$. Значит, $M$ — общая точка плоскостей $\alpha$ и $\beta$.

Шаг 3. Различные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой (аксиома А3). Прямая $b$ лежит в обеих плоскостях, поэтому эта прямая — $b$. Значит, $M$ лежит на $b$.

Шаг 4. Тогда $M$ — общая точка прямых $a$ и $b$, а параллельные прямые общих точек не имеют. Противоречие: общих точек у $a$ и $\alpha$ нет, $a \parallel \alpha$. Что и требовалось доказать.

Ошибка

Неверный ход. «Прямая $DC$ параллельна прямой $AB$, а $AB$ лежит в плоскости $ABCD$. Значит, $DC \parallel (ABCD)$».

Проверка. На первом рисунке урока (куб на столе) прямая $DC$ лежит на столе вместе с $AB$: все ее точки — общие с плоскостью $ABCD$. Параллельности нет.

Где сломалось. Пропущено условие $a \not\subset \alpha$. В доказательстве оно нужно на шаге 1: если $a$ лежит в $\alpha$, плоскости $\alpha$ и $\beta$ совпадают и линии пересечения нет.

Пример 1

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ докажите, что прямая $A_1B$ параллельна плоскости $ACD_1$.

Решение. 1) Ищем в плоскости $ACD_1$ прямую, параллельную $A_1B$. Ребра $A_1D_1$ и $BC$ параллельны (обе прямые параллельны $AD$) и равны. Четырехугольник $A_1BCD_1$ с параллельными и равными сторонами $A_1D_1$ и $BC$ — параллелограмм, поэтому $A_1B \parallel D_1C$.

2) Прямая $D_1C$ лежит в плоскости $ACD_1$: обе ее точки принадлежат плоскости.

3) Прямая $A_1B$ не лежит в плоскости $ACD_1$. Иначе в этой плоскости лежали бы точки $A$, $B$, $C$, и она совпала бы с плоскостью основания $ABC$. Но точка $D_1$ в плоскости основания не лежит.

4) По признаку $A_1B \parallel (ACD_1)$.

Куб: A₁B ∥ D₁C, прямая D₁C лежит в плоскости ACD₁, а A₁B в ней не лежит — $A_1B \parallel D_1C$, а $D_1C$ лежит в плоскости $ACD_1$ — значит, $A_1B$ параллельна этой плоскости

{"questions":[{"content":"Прямая $a$ не лежит в плоскости $\\alpha$ и параллельна прямой $b \\subset \\alpha$. Расставьте шаги доказательства от противного, что $a \\parallel \\alpha$.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Допустим, что $a$ пересекает $\\alpha$ в точке $M$","Тогда $M$ лежит в плоскости $\\beta$ прямых $a$ и $b$ и в $\\alpha$, значит $M$ лежит на линии их пересечения — прямой $b$","Значит, $a$ и $b$ пересекаются в $M$, а это противоречит условию $a \\parallel b$, поэтому $a \\parallel \\alpha$"]}},"instruction":"Расставьте шаги в верном порядке","hints":["Допустим противное.","Тогда общая точка лежит на $b$.","Получаем противоречие."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сколько общих точек у ребра $CD$ и грани $ABB_1A_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"0"}},"hints":["Ребро $CD$ параллельно ребру $AB$ грани $ABB_1A_1$ и в ней не лежит.","По признаку $CD \\parallel (ABB_1A_1)$, общих точек нет.","Ответ: 0."],"step":1},{"content":"Найдите ошибку. Решавр: «Ребро $A_1D_1$ параллельно ребру $AD$, а $AD$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$, значит $A_1D_1 \\parallel (ADD_1A_1)$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ребро $A_1D_1$ не параллельно ребру $AD$","Признак не работает для ребер куба","Прямая $AD$ не лежит в плоскости $ADD_1A_1$","Прямая $A_1D_1$ лежит в плоскости $ADD_1A_1$, а признак требует $A_1D_1 \\not\\subset (ADD_1A_1)$"],"explanations":["Параллельно: противоположные ребра грани-квадрата","Признак работает для любых прямых, нужно лишь условие $a \\not\\subset \\alpha$","Лежит: $AD$ — ребро этой грани",""],"answer":[3]}},"hints":["Признак требует, чтобы прямая не лежала в плоскости.","Но $A_1D_1$ лежит в грани $ADD_1A_1$.","У $A_1D_1$ и плоскости много общих точек, параллельности нет."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Тень нити всегда параллельна нити

Подвесим над столом лампу $L$ и натянем нить $a$ параллельно столу. Лучи от лампы к точкам нити заполняют плоскость $\beta$: она проходит через прямую $a$ и точку $L$. Тень нити — линия $b$, по которой плоскость лучей пересекает стол. Передвиньте лампу — плоскость $\beta$ повернется вокруг нити, тень сместится. Но она остается параллельной нити. Это свойство, а не совпадение.

Нить a над столом α, лампа L, плоскость лучей β; тень b — линия пересечения β со столом — параллельна нити — Плоскость лучей $\beta$ проходит через нить $a$ и пересекает стол $\alpha$ по тени $b$, параллельной $a$

Свойство

Если плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает $\alpha$ по прямой $b$, то $b \parallel a$.

$$a \parallel \alpha,\ a \subset \beta,\ \alpha \cap \beta = b \ \Rightarrow\ b \parallel a$$

Доказательство

Шаг 1. Прямые $a$ и $b$ лежат в одной плоскости $\beta$.

Шаг 2. Общих точек у них нет: общая точка лежала бы на $b \subset \alpha$, то есть была бы общей точкой $a$ и $\alpha$. Но $a \parallel \alpha$.

Шаг 3. Прямые в одной плоскости без общих точек параллельны: $b \parallel a$. Что и требовалось доказать.

Следствие. Пусть $a \parallel \alpha$ и точка $M$ лежит в $\alpha$. Плоскость через $a$ и $M$ пересекает $\alpha$ по прямой через $M$, параллельной $a$. Другой прямой через $M$, параллельной $a$, нет: такая прямая единственна (теорема 1 прошлого урока). Значит, через каждую точку плоскости $\alpha$ проходит ровно одна прямая плоскости, параллельная $a$, — это тень нити от лампы, поставленной в нужное место.

Пример 2

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $4$, точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$. Плоскость проходит через ребро $AD$ и точку $K$. Постройте линию ее пересечения с гранью $A_1B_1C_1D_1$ и найдите длину этого отрезка.

Решение. 1) $AD \parallel A_1D_1$, прямая $A_1D_1$ лежит в плоскости верхней грани, а $AD$ в ней не лежит. По признаку $AD \parallel (A_1B_1C_1D_1)$.

2) Секущая плоскость проходит через $AD$ и имеет с верхней гранью общую точку $K$. По свойству она пересекает плоскость верхней грани по прямой через $K$, параллельной $AD$.

3) В квадрате $A_1B_1C_1D_1$ проведем через $K$ прямую, параллельную $A_1D_1$; она пересечет ребро $D_1C_1$ в точке $L$. Четырехугольник $A_1KLD_1$ — параллелограмм, поэтому $D_1L = A_1K = 2$ ($L$ — середина $D_1C_1$) и $KL = A_1D_1 = 4$.

4) В сечении $AD \parallel KL$ и $AD = KL$, так что сечение $ADLK$ — параллелограмм.

Ответ: отрезок $KL$, где $L$ — середина $D_1C_1$; $KL = 4$.

Куб: сечение ADLK плоскостью через AD и середину K ребра A₁B₁; KL ∥ AD ∥ A₁D₁ — Плоскость через $AD \parallel (A_1B_1C_1D_1)$ режет верхнюю грань по $KL \parallel AD$

{"questions":[{"content":"Ребро $AA_1$ параллельно грани $BCC_1B_1$. Плоскость $AA_1C_1C$ проходит через $AA_1$ и пересекает грань $BCC_1B_1$ по прямой $CC_1$. Что следует?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$AA_1 \\parallel CC_1$","Ничего определенного: $CC_1$ — произвольная прямая грани и с $AA_1$ может скрещиваться","$AA_1$ и $CC_1$ пересекаются","$AA_1$ и $CC_1$ скрещиваются"],"explanations":["","$CC_1$ — не произвольная прямая грани, а линия ее пересечения с плоскостью через $AA_1$; по свойству она параллельна $AA_1$","У параллельной грани прямой $AA_1$ с плоскостью нет общих точек, значит и с $CC_1$","Они лежат в одной плоскости $AA_1C_1C$: скрещиваться не могут"],"answer":[0]}},"hints":["Плоскость через прямую, параллельную другой плоскости, пересекает ее по прямой, параллельной данной.","Линия пересечения — $CC_1$.","Ответ: $AA_1 \\parallel CC_1$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Прямая $a$ параллельна плоскости $\\alpha$, точка $M$ лежит в $\\alpha$. Сколько прямых плоскости $\\alpha$, проходящих через $M$, параллельны $a$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ни одной","Ровно две","Ровно одна","Бесконечно много"],"explanations":["Плоскость через $a$ и точку $M$ пересекает $\\alpha$ по прямой, параллельной $a$","Параллельная прямая через точку единственна","","Через точку $M$ проходит единственная прямая, параллельная $a$"],"answer":[2]}},"hints":["Проведите плоскость $\\beta$ через прямую $a$ и точку $M$.","Плоскость $\\beta$ пересекает $\\alpha$ по прямой $b$ через $M$, и по свойству $b \\parallel a$.","Другой такой прямой нет: через точку $M$ проходит единственная прямая, параллельная $a$. Ответ: одна."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Параллельна плоскости — не значит параллельна каждой ее прямой

Тень нити параллельна нити. Но на столе начерчены и другие линии. Будет ли нить параллельна каждой из них?

Ошибка

Неверный ход. «Прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$, прямая $b$ лежит в $\alpha$. Значит, $a \parallel b$».

Проверка на кубе. Ребро $AA_1$ параллельно грани $BCC_1B_1$: $AA_1 \parallel BB_1$, а $BB_1$ лежит в этой грани (признак). Прямая $B_1C_1$ тоже лежит в грани $BCC_1B_1$. Если бы $AA_1$ и $B_1C_1$ лежали в одной плоскости, в ней были бы точки $A$, $A_1$, $B_1$ — это плоскость грани $ABB_1A_1$. Но $C_1$ в ней не лежит. Значит, $AA_1$ и $B_1C_1$ скрещиваются, а не параллельны.

Где сломалось. Из $a \parallel \alpha$ следует только, что $a$ не имеет общих точек ни с одной прямой плоскости. Но «не пересекаются» еще не «параллельны»: параллельные прямые должны лежать в одной плоскости. С прямой $a$ параллельны только те прямые плоскости $\alpha$, которые получаются как линии пересечения $\alpha$ с плоскостями через $a$ — «тени» нити.

Куб: AA₁ параллельна грани BCC₁B₁, но AA₁ и B₁C₁ скрещиваются, не параллельны — $AA_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$ и прямым $BB_1$, $CC_1$, но со $B_1C_1$ скрещивается

Правило

Если $a \parallel \alpha$, то каждая прямая плоскости $\alpha$ либо параллельна $a$, либо скрещивается с ней. Пересекать $a$ она не может.

Проверьте это сами: наклоняйте нить и поворачивайте линию на столе. Пока нить параллельна столу, линия на нем бывает параллельна нити только в одном положении — когда совпадает по направлению с тенью. А если нить наклонить, ни одна линия стола уже не будет ей параллельна: по признаку тогда нить была бы параллельна столу.

g10-parallelnost-pryamoj-i-ploskosti-nit

{"questions":[{"content":"Ребро $A_1B_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельно грани $ABCD$. Разложите прямые этой грани по группам.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Параллельны $A_1B_1$","Скрещиваются с $A_1B_1$"],"items":[["$AB$","$CD$"],["$AD$","$BC$","$AC$","$BD$"]]}},"instruction":"Разложите прямые по группам","hints":["Прямая, параллельная плоскости, не пересекает ни одну прямую этой плоскости: каждая из них либо параллельна ей, либо скрещивается с ней.","Параллельны $A_1B_1$ только прямые грани, которые лежат с ней в одной плоскости: $AB$, $CD$.","Ответ: параллельны — $AB$, $CD$; скрещиваются — $AD$, $BC$, $AC$, $BD$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Найдите ошибку. Решавр: «Ребро $D_1C_1$ параллельно плоскости $ABCD$, значит $D_1C_1$ параллельно любой прямой этой плоскости». Какая прямая плоскости $ABCD$ опровергает это?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Такой прямой нет: утверждение верно","Прямая $AB$","Прямая $DC$","Прямая $AD$"],"explanations":["Есть: $AD$ скрещивается с $D_1C_1$","$AB \\parallel D_1C_1$ — частный случай, он ничего не опровергает","$DC \\parallel D_1C_1$ — частный случай, он ничего не опровергает",""],"answer":[3]}},"hints":["Ребро $D_1C_1$ параллельно основанию $ABCD$.","Нужна прямая основания, не лежащая с $D_1C_1$ в одной плоскости.","Прямая $AD$ скрещивается с $D_1C_1$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Сечение, параллельное ребру, и полка над полом

В задачах на сечения часто сказано: «плоскость параллельна ребру». Представьте пилу, которая идет вдоль ребра, не задевая его. Свойство подсказывает, как она режет грани: каждая грань, содержащая это ребро, пересекается с секущей плоскостью по прямой, параллельной ребру.

Пример 3

В тетраэдре $DABC$ точка $M$ лежит на ребре $DA$, причем $DM : MA = 2 : 1$, $AB = 9$. Постройте сечение плоскостью, которая проходит через точки $C$ и $M$ параллельно ребру $AB$, и найдите длину отрезка сечения в грани $DAB$.

Решение. 1) Грань $DAB$ содержит ребро $AB$, параллельное секущей плоскости, и имеет с ней общую точку $M$. По свойству они пересекаются по прямой через $M$, параллельной $AB$. Проведем в грани $DAB$ отрезок $MN \parallel AB$, $N$ на ребре $DB$.

2) Точки $C$, $M$, $N$ лежат в секущей плоскости и на гранях тетраэдра. Грань $ABC$ тоже содержит $AB$: по свойству секущая плоскость режет ее по прямой через $C$, параллельной $AB$, а внутри треугольника $ABC$ такая прямая проходит только через $C$. Сечение — треугольник $CMN$.

3) Треугольники $DMN$ и $DAB$ подобны ($MN \parallel AB$). $DM : DA = 2 : 3$, потому что $DA = DM + MA$. Значит, $MN = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$.

Ответ: сечение — треугольник $CMN$, $MN = 6$.

Тетраэдр DABC: сечение CMN параллельно AB, DM : MA = DN : NB = 2 : 1, поэтому MN ∥ AB и MN = 2/3 AB — Плоскость, параллельная $AB$, режет грань $DAB$ по $MN \parallel AB$; $MN = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$

Частая ловушка в таких задачах — взять отношение $DM : MA = 2 : 1$ вместо $DM : DA = 2 : 3$. Коэффициент подобия сравнивает стороны треугольников $DMN$ и $DAB$, поэтому в знаменателе — все ребро $DA$.

Теперь ответим на вопрос о полке. Задний край полки прилегает к стене и параллелен переднему краю (полка — прямоугольник). Линия, где стена встречает пол, — плинтус. Рулеткой измерим кратчайшие расстояния от концов заднего края до плинтуса (по перпендикуляру к плинтусу на стене). Если они равны, получается прямоугольник, и задний край параллелен плинтусу: это планиметрия в плоскости стены.

Дальше работает пространство. Передний край параллелен заднему, задний — плинтусу, поэтому передний край параллелен плинтусу (теорема о трех параллельных прямых). Плинтус лежит на полу, а передний край — нет. По признаку передний край параллелен полу. Хватило одной прямой пола.

Угол комнаты: пол, стена, плинтус l; задний край полки a₁ на стене параллелен l, передний край a параллелен a₁, значит a параллелен полу — Передний край $a \parallel$ задний край $a_1 \parallel$ плинтус $l$, а $l$ лежит на полу — значит, $a$ параллелен полу

{"questions":[{"content":"Плоскость параллельна ребру $AB$ тетраэдра $DABC$ и пересекает ребра $DA$ и $DB$ в точках $M$ и $N$, причем $DM : MA = 2 : 3$. Найдите $MN$, если $AB = 10$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Плоскость $DAB$ содержит $AB$ и пересекает секущую плоскость по $MN$, значит $MN \\parallel AB$.","Коэффициент подобия — $DM : DA$, а не $DM : MA$: $DA = DM + MA$, поэтому $DM : DA = 2 : 5$.","$MN = 10 \\cdot \\frac{2}{5} = 4$. Ответ: 4."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Плоскость параллельна ребру $AB$ тетраэдра $DABC$ и пересекает грань $DAB$ по отрезку $MN$. Как расположены $MN$ и $AB$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$MN$ и $AB$ пересекаются","$MN$ и $AB$ скрещиваются","$MN \\parallel AB$","$MN = AB$"],"explanations":["У $AB$ нет общих точек с секущей плоскостью, значит и с $MN$","Они лежат в одной плоскости $DAB$: скрещиваться не могут","","Параллельны — не значит равны: отрезок грани $DAB$, параллельный $AB$ и не совпадающий с ним, короче $AB$"],"answer":[2]}},"hints":["Плоскость $DAB$ содержит ребро $AB$, параллельное секущей плоскости.","Она пересекает секущую плоскость по прямой, параллельной $AB$.","Ответ: $MN \\parallel AB$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Прямая параллельна плоскости, если не имеет с ней общих точек. Проверяют это не по определению, а по признаку: найдите в плоскости одну прямую, параллельную данной, и убедитесь, что данная прямая в плоскости не лежит. Свойство работает в обратную сторону и помогает строить сечения: плоскость через прямую, параллельную плоскости, режет ее по параллельной прямой. Дальше, в уроке о параллельных плоскостях, признак понадобится, чтобы доказывать параллельность двух плоскостей.

Часто задаваемые вопросы

Зачем в признаке условие «прямая не лежит в плоскости»?

Без него вывод неверен: прямая $DC$ параллельна $AB$ из плоскости $ABCD$, но сама лежит в этой плоскости. В доказательстве условие нужно, чтобы плоскость прямых $a$ и $b$ отличалась от $\alpha$ и пересекала ее по прямой $b$.

Сколько прямых плоскости параллельны прямой, параллельной этой плоскости?

Бесконечно много: через каждую точку плоскости проходит ровно одна такая прямая, и все они параллельны между собой. Остальные прямые плоскости скрещиваются с данной прямой.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, что можно сказать о второй?

Вторая прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней. Пересекать плоскость она не может: по лемме прошлого урока тогда пересекала бы плоскость и первая прямая.

Чем «прямая не пересекает прямую плоскости» отличается от признака?

Прямая, не пересекающая прямую $b$ плоскости, может скрещиваться с $b$ и при этом пересекать плоскость в другой точке. Например, $AA_1$ не пересекает $BC$, но пересекает плоскость $ABCD$ в точке $A$. Признак требует именно параллельности $a \parallel b$.

Награды за урок