КАРТОЧКИ
ТРЕНАЖЁРЫ
КУРСЫ
КПД тепловых двигателей
Решение задач на КПД теплового двигателя
КПД теплового двигателя рассчитывается по формуле $\eta = \frac{A_п}{Q_1}$ или $\eta = \frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} \cdot 100 \%$, где
$A_п$ — полезная работа,
$Q_1$ — количество теплоты, полученное от нагревателя,
$Q_2$ — количество теплоты, отданное холодильнику.
Когда говорят о коэффициенте полезного действия теплового двигателя, часто используют понятие мощности или полезной мощности: $N = \frac{A_п}{t}$. Эту величину в жизни использовать удобнее, чем говорить о полезной работе.
На данном уроке мы разберем решение задач, используя формулы, приведенные выше.
Для решения задач, в условиях которых, говорится о сжигании топлива ($Q = qm$), вам понадобятся табличные значения удельной теплоты сгорания топлива.
Задача №1
Какая работа совершена внешними силами при обработке железной заготовки массой $300 \space г$, если она нагрелась на $200 \degree C$?
Дано:
$m = 300 \space г$
$\Delta t = 200 \degree C$
$c = 460 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C}$
СИ:
$m = 0.3 \space кг$
$A — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Для того чтобы нагреть железную деталь, необходимо сообщить ей некоторое количество теплоты:
$Q = cm(t_2 — t_1) = cm \Delta t$.
Рассчитаем эту энергию:
$Q = 460 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 0.3 \space кг \cdot 200 \degree C = 27 \space 600 \space Дж = 27.6 \space кДж$.
Сообщенная энергия будет эквивалентна работе внешних сил:
$A = Q = 27.6 \space кДж$.
Ответ: $A = 27.6 \space кДж$.
Задача №2
Приняв, что вся тепловая энергия угля обращается в полезную работу, рассчитайте какого количества каменного угля в час достаточно для машины мощностью $733 \space Вт$?
Дано:
$t = 1 \space ч$
$N = 733 \space Вт$
$q = 2.7 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}$
СИ:
$t = 3600 \space с$
$m — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Мощность по определению:
$N = \frac{A_п}{t}$.
Выразим отсюда полезную работу, совершаемую машиной, и рассчитаем ее:
$A_п = Nt$,
$A_п = 733 \space Вт \cdot 3600 \space с = 2 \space 638 \space 800 \space Дж \approx 0.26 \cdot 10^7 \space Дж$.
По условиям задачи количество теплоты, которое выделяется при сжигании каменного угля, равно полезной работе:
$A_п = Q = qm$.
Выразим отсюда массу угля и рассчитаем ее:
$m = \frac{A_п}{q}$,
$m = \frac{0.26 \cdot 10^7 \space Дж}{2.7 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}} \approx 0.1 \space кг \approx 100 \space г$.
Ответ: $m \approx 100 \space г$.
Задача №3
Нагреватель за некоторое время отдает тепловому двигателю количество теплоты, равное $120 \space кДж$. Тепловой двигатель совершает при этом полезную работу $30 \space кДж$. Определите КПД теплового двигателя.
Дано:
$Q_1 = 120 \space кДж$
$A_п = 30 \space кДж$
СИ:
$Q_1 = 120 \cdot 10^3 \space Дж$
$A_п = 30 \cdot 10^3 \space Дж$
$\eta — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Запишем формулу для расчета КПД теплового двигателя:
$\eta = \frac{A_п}{Q_1}$.
Рассчитаем:
$\eta = \frac{30 \cdot 10^3 \space Дж}{120 \cdot 10^3 \space Дж} = 0.25$,
или в процентах $\eta = 25 \%$.
Ответ: $\eta = 25 \%$.
Задача №4
Нагреватель отдает тепловому двигателю за $30 \space мин$ количество теплоты, равное $460 \space МДж$, а тепловой двигатель отдает количество теплоты, равное $280 \space МДж$. Определите полезную мощность двигателя.
Дано:
$t = 30 \space мин$
$Q_1 = 460 \space МДж$
$Q_2 = 280 \space МДж$
СИ:
$t = 1800 \space с$
$Q_1 = 460 \cdot 10^6 \space Дж$
$Q_2 = 280 \cdot 10^6 \space Дж$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Запишем формулу для расчета КПД теплового двигателя:
$\eta = =\frac{A_п}{Q_1} = \frac{Q_1 — Q_2}{Q_1}$, где
$A_п$ — полезная работа,
$Q_1$ — количество теплоты, полученное от нагревателя,
$Q_2$ — количество теплоты, отданное холодильнику.
Из этой формулы, мы можем сделать вывод, что $Q_1 — Q_2 = A_п$ — количество теплоты, которое пошло на совершение работы.
Величина работы также присутствует в определении мощности:
$N = \frac{A_п}{t}$.
Когда мощность определяется полезной работой, мы называем ее полезной мощностью.
Подставим в формулу мощности определение работы из формулы для КПД и рассчитаем ее:
$N = \frac{Q_1 — Q_2}{t}$,
$N = \frac{460 \cdot 10^6 \space Дж — 280 \cdot 10^6 \space Дж}{1800 \space с} = \frac{180 \cdot 10^6 \space Дж}{1800 \space с} = 0.1 \cdot 10^6 \space Вт = 100 \space кВт$.
Ответ: $N = 100 \space кВт$.
Задача №5
Паровой молот мощностью $367 \space кВт$ получает от нагревателя в час количество теплоты, равное $6720 \space МДж$. Какое количество теплоты в час получает холодильник?
Дано:
$N = 367 \space кВт$
$t = 1 \space ч$
$Q_1 = 6720 \space МДж$
СИ:
$N = 367 \cdot 10^3 \space Вт$
$t = 3600 \space с$
$Q_1 = 6720 \cdot 10^6 \space Дж$
$Q_2 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Полезная работа, совершенная тепловым двигателем, определяется разностью количества теплоты, отданному холодильнику, и количества теплоты, полученного от нагревателя:
$A_п = Q_1 — Q_2$.
Тогда, количество теплоты, которое получает холодильник будет равно:
$Q_2 = Q_1 — A_п$.
Совершенную работу мы можем определить через мощность:
$N = \frac{A_п}{t}$,
$A_п = Nt$.
Подставим в формулу для количества теплоты, получаемого холодильником:
$Q_2 = Q_1 — Nt$.
Рассчитаем эту энергию:
$Q_2 = 6720 \cdot 10^6 \space Дж — 367 \cdot 10^3 \space Вт \cdot 3600 \space с = 6720 \cdot 10^6 \space Дж — 1321.2 \cdot 10^6 \space Дж = 5398.8 \cdot 10^6 \space Дж \approx 5400 \space МДж$.
Ответ: $Q_2 \approx 5400 \space МДж$.
Задача №6
Мопед, едущий со скоростью $20 \frac{км}{ч}$, за $100 \space км$ пути расходует $1 \space кг$ бензина. КПД его двигателя равен $22 \%$. Какова полезная мощность двигателя?
Дано:
$\upsilon = 20 \frac{км}{ч}$
$s = 100 \space км$
$m = 1 \space кг$
$\eta = 22 \% = 0.22$
$q = 4.6 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}$
СИ:
$\upsilon \approx 5.6 \frac{м}{с}$
$s = 100 \cdot 10^3 \space м$
$N — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Мощность по определению:
$N = \frac{A_п}{t}$.
Полезную работу мы можем выразить из формулы для расчета КПД теплового двигателя:
$\eta = \frac{A_п}{Q_1}$.
Количество теплоты $Q_1$, выделившееся при сгорании бензина, мы можем найти по формуле:
$Q = qm$.
Подставим в формулу для расчета КПД:
$\eta = \frac{A_п}{qm}$.
Выразим отсюда полезную работу:
$A_п = \eta \cdot qm$.
Время, которое необходимо нам для расчета мощности, мы можем найти через перемещение и скорость:
$t = \frac{s}{\upsilon}$.
Подставим найденные формулы для величин $A_п$ и $t$ в формулу для расчета мощности:
$N = \frac{\eta \cdot qm}{\frac{s}{\upsilon}} = \frac{\eta \cdot qm \cdot \upsilon}{s}$.
Рассчитаем эту мощность:
$N = \frac{0.22 \cdot 4.6 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг} \cdot 1 \space кг \cdot 5.6 \frac{м}{с}}{100 \cdot 10^3 \space м} \approx \frac{5.67 \cdot 10^7 \space Дж cdot с}{0.01 \cdot 10^7} \approx 567 \space Вт$.
Ответ: $N \approx 567 \space Вт$.
Задача №7
Определите КПД двигателя внутреннего сгорания мощностью $36.6 \space кВт$, который сжигает в течение одного часа $10 \space кг$ нефти.
Дано:
$N = 36.6 \space кВт$
$t = 1 \space ч$
$m = 10 \space кг$
$q = 4.4 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}$
СИ:
$N = 36.6 \cdot 10^3 \space Вт$
$t = 3600 \space с$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Запишем формулу для расчета КПД теплового двигателя:
$\eta = \frac{A_п}{Q_1} \cdot 100 \%$.
Полезную работу, совершенную двигателем мы можем определить через его мощность и время, за которое эта работа была совершена:
$A_п = Nt$.
Количество теплоты $Q_1$, полученное от нагревателя, — это энергия, которая выделится при сгорании топлива:
$Q_1 = qm$.
Подставим эти выражения в формулу КПД и рассчитаем его:
$\eta = \frac{Nt}{qm} \cdot 100\%$,
$\eta = \frac{36.6 \cdot 10^3 \space Вт \cdot 3600 \space с}{4.4 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг} \cdot 10 \space кг} \cdot 100 \% = \frac{13.176 \cdot 10^7 \space Дж}{44 \cdot 10^7 \space Дж} \cdot 100 \% \approx 30 \%$.
Ответ: $\eta \approx 30 \%$.
Задача №8
Паровая машина мощностью $220 \space кВт$ имеет КПД $15 \%$. Сколько каменного угля сгорает в ее топке за $8 \space ч$?
Дано:
$N = 220 \space кВт$
$t = 8 \space ч$
$\eta = 15 \% = 0.15$
$q = 2.7 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}$
СИ:
$N = 220 \cdot 10^3 \space Вт$
$t = 28.8 \cdot 10^3 \space с$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Запишем формулу для расчета КПД:
$\eta = \frac{A_п}{Q_1}$.
Полезную работу $A_п$ мы можем выразить через мощность и время, за которое эта работа была совершена:
$A_п = Nt$.
Количество теплоты, полученное от нагревателя — это энергия, выделившаяся при сгорании каменного угля:
$Q_1 = qm$.
Подставим эти выражения в формулу для КПД:
$\eta = \frac{Nt}{qm}$.
Выразим отсюда массу каменного угля:
$m = \frac{Nt}{q \eta}$.
Рассчитаем ее:
$m = \frac{220 \cdot 10^3 \space Вт \cdot 28.8 \cdot 10^3 \space с}{2.7 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг} \cdot 0.15} = \frac{633.6 \cdot 10^7 \space Дж}{0.405 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}} \approx 1564 \space кг$.
Ответ: $m \approx 1564 \space кг$.
Задача №9
Современные паровые механизмы расходуют $12.57 \space МДж$ в час на $735 \space Вт$. Вычислите КПД таких механизмов.
Дано:
$Q_1 = 12.57 \space МДж$
$t = 1 \space ч$
$N = 735 \space Вт$
СИ:
$Q_1 = 12.57 \cdot 10^6 \space Дж$
$t = 3600 \space с$
$\eta- ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Запишем формулу для расчета КПД теплового двигателя:
$\eta = \frac{A_п}{Q_1} \cdot 100 \%$.
Полезную работу, совершенную двигателем мы можем определить через его мощность и время, за которое эта работа была совершена:
$A_п = Nt$.
Количество теплоты $Q_1$, полученное от нагревателя, нам дано в условиях задачи.
Подставим выражение для полезной работы в формула для КПД и рассчитаем его:
$\eta = \frac{Nt}{Q_1} \cdot 100 \%$,
$\eta = \frac{735 \space Вт \cdot 3600 \space с}{12.57 \cdot 10^6 \space Дж} \cdot 100 \% \approx 21 \%$.
Ответ: $\eta \approx 21 \%$.
Задача №10
Мощность дизельного двигателя $367 \space кВт$, КПД $30 \%$. На сколько суток непрерывной работы хватит запаса нефти $60 \space т$ такому двигателю?
Дано:
$N = 367 \space кВт$
$m = 60 \space т$
$\eta = 30 \% = 0.3$
$q = 4.4 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}$
СИ:
$N = 367 \cdot 10^3 \space Вт$
$m = 60 \cdot 10^3 \space кг$
$t — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Формула для расчета КПД теплового двигателя:
$\eta = \frac{A_п}{Q_1}$.
Полезную работу $A_п$ мы можем выразить через мощность и время, за которое эта работа была совершена:
$A_п = Nt$.
Количество теплоты, полученное от нагревателя — это энергия, выделившаяся при сгорании нефти:
$Q_1 = qm$.
Подставим эти выражения в формулу для КПД:
$\eta = \frac{Nt}{qm}$.
Выразим отсюда время, за которое была совершена полезная работа:
$t = \frac{qm \eta}{N}$.
Рассчитаем его:
$t = \frac{4.4 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг} \cdot 60 \cdot 10^3 \space кг \cdot 0.3}{367 \cdot 10^3 \space Вт} = \frac{79.2 \cdot 10^7 \space Дж}{367 \space Вт} \approx 2.16 \cdot 10^6 \space с$.
Переведем в сутки. В одном дне $60 \cdot 60 \cdot 24 \space с = 86 \space 400 \space с$. Тогда,
$t = \frac{2.16 \cdot 10^6}{86 \space 400} = 25 \space сут$.
Ответ: $t = 25 \space сут$.
5
5
1
Оценить урок
Что можно улучшить?
Войдите, чтобы оценивать уроки
Что нужно исправить?
Отзыв отправлен. Спасибо, что помогаете нам стать лучше!
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Хотите оставить комментарий?
Войти
Евгения Семешева
Медицинский физик, преподаватель физики средней и старшей школы.