КПД тепловых двигателей
Решение задач на КПД теплового двигателя
КПД теплового двигателя рассчитывается по формуле $\eta = \frac{A_п}{Q_1}$ или $\eta = \frac{Q_1 — Q_2}{Q_1} \cdot 100 \%$, где
$A_п$ — полезная работа,
$Q_1$ — количество теплоты, полученное от нагревателя,
$Q_2$ — количество теплоты, отданное холодильнику.
Когда говорят о коэффициенте полезного действия теплового двигателя, часто используют понятие мощности или полезной мощности: $N = \frac{A_п}{t}$. Эту величину в жизни использовать удобнее, чем говорить о полезной работе.
На данном уроке мы разберем решение задач, используя формулы, приведенные выше.
Для решения задач, в условиях которых, говорится о сжигании топлива ($Q = qm$), вам понадобятся табличные значения удельной теплоты сгорания топлива.
Задача №1
Какая работа совершена внешними силами при обработке железной заготовки массой $300 \space г$, если она нагрелась на $200 \degree C$?
Дано:
$m = 300 \space г$
$\Delta t = 200 \degree C$
$c = 460 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C}$
СИ:
$m = 0.3 \space кг$
$A — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Для того чтобы нагреть железную деталь, необходимо сообщить ей некоторое количество теплоты:
$Q = cm(t_2 — t_1) = cm \Delta t$.
Рассчитаем эту энергию:
$Q = 460 \frac{Дж}{кг \cdot \degree C} \cdot 0.3 \space кг \cdot 200 \degree C = 27 \space 600 \space Дж = 27.6 \space кДж$.
Сообщенная энергия будет эквивалентна работе внешних сил:
$A = Q = 27.6 \space кДж$.
Ответ: $A = 27.6 \space кДж$.
Задача №2
Приняв, что вся тепловая энергия угля обращается в полезную работу, рассчитайте какого количества каменного угля в час достаточно для машины мощностью $733 \space Вт$?
Дано:
$t = 1 \space ч$
$N = 733 \space Вт$
$q = 2.7 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}$
СИ:
$t = 3600 \space с$
$m — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Мощность по определению:
$N = \frac{A_п}{t}$.
Выразим отсюда полезную работу, совершаемую машиной, и рассчитаем ее:
$A_п = Nt$,
$A_п = 733 \space Вт \cdot 3600 \space с = 2 \space 638 \space 800 \space Дж \approx 0.26 \cdot 10^7 \space Дж$.
По условиям задачи количество теплоты, которое выделяется при сжигании каменного угля, равно полезной работе:
$A_п = Q = qm$.
Выразим отсюда массу угля и рассчитаем ее:
$m = \frac{A_п}{q}$,
$m = \frac{0.26 \cdot 10^7 \space Дж}{2.7 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}} \approx 0.1 \space кг \approx 100 \space г$.
Ответ: $m \approx 100 \space г$.
Задача №3
Нагреватель за некоторое время отдает тепловому двигателю количество теплоты, равное $120 \space кДж$. Тепловой двигатель совершает при этом полезную работу $30 \space кДж$. Определите КПД теплового двигателя.
Дано:
$Q_1 = 120 \space кДж$
$A_п = 30 \space кДж$
СИ:
$Q_1 = 120 \cdot 10^3 \space Дж$
$A_п = 30 \cdot 10^3 \space Дж$
$\eta — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Запишем формулу для расчета КПД теплового двигателя:
$\eta = \frac{A_п}{Q_1}$.
Рассчитаем:
$\eta = \frac{30 \cdot 10^3 \space Дж}{120 \cdot 10^3 \space Дж} = 0.25$,
или в процентах $\eta = 25 \%$.
Ответ: $\eta = 25 \%$.
Задача №4
Нагреватель отдает тепловому двигателю за $30 \space мин$ количество теплоты, равное $460 \space МДж$, а тепловой двигатель отдает количество теплоты, равное $280 \space МДж$. Определите полезную мощность двигателя.
Дано:
$t = 30 \space мин$
$Q_1 = 460 \space МДж$
$Q_2 = 280 \space МДж$
СИ:
$t = 1800 \space с$
$Q_1 = 460 \cdot 10^6 \space Дж$
$Q_2 = 280 \cdot 10^6 \space Дж$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Запишем формулу для расчета КПД теплового двигателя:
$\eta = =\frac{A_п}{Q_1} = \frac{Q_1 — Q_2}{Q_1}$, где
$A_п$ — полезная работа,
$Q_1$ — количество теплоты, полученное от нагревателя,
$Q_2$ — количество теплоты, отданное холодильнику.
Из этой формулы, мы можем сделать вывод, что $Q_1 — Q_2 = A_п$ — количество теплоты, которое пошло на совершение работы.
Величина работы также присутствует в определении мощности:
$N = \frac{A_п}{t}$.
Когда мощность определяется полезной работой, мы называем ее полезной мощностью.
Подставим в формулу мощности определение работы из формулы для КПД и рассчитаем ее:
$N = \frac{Q_1 — Q_2}{t}$,
$N = \frac{460 \cdot 10^6 \space Дж — 280 \cdot 10^6 \space Дж}{1800 \space с} = \frac{180 \cdot 10^6 \space Дж}{1800 \space с} = 0.1 \cdot 10^6 \space Вт = 100 \space кВт$.
Ответ: $N = 100 \space кВт$.
Задача №5
Паровой молот мощностью $367 \space кВт$ получает от нагревателя в час количество теплоты, равное $6720 \space МДж$. Какое количество теплоты в час получает холодильник?
Дано:
$N = 367 \space кВт$
$t = 1 \space ч$
$Q_1 = 6720 \space МДж$
СИ:
$N = 367 \cdot 10^3 \space Вт$
$t = 3600 \space с$
$Q_1 = 6720 \cdot 10^6 \space Дж$
$Q_2 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Полезная работа, совершенная тепловым двигателем, определяется разностью количества теплоты, отданному холодильнику, и количества теплоты, полученного от нагревателя:
$A_п = Q_1 — Q_2$.
Тогда, количество теплоты, которое получает холодильник будет равно:
$Q_2 = Q_1 — A_п$.
Совершенную работу мы можем определить через мощность:
$N = \frac{A_п}{t}$,
$A_п = Nt$.
Подставим в формулу для количества теплоты, получаемого холодильником:
$Q_2 = Q_1 — Nt$.
Рассчитаем эту энергию:
$Q_2 = 6720 \cdot 10^6 \space Дж — 367 \cdot 10^3 \space Вт \cdot 3600 \space с = 6720 \cdot 10^6 \space Дж — 1321.2 \cdot 10^6 \space Дж = 5398.8 \cdot 10^6 \space Дж \approx 5400 \space МДж$.
Ответ: $Q_2 \approx 5400 \space МДж$.
Задача №6
Мопед, едущий со скоростью $20 \frac{км}{ч}$, за $100 \space км$ пути расходует $1 \space кг$ бензина. КПД его двигателя равен $22 \%$. Какова полезная мощность двигателя?
Дано:
$\upsilon = 20 \frac{км}{ч}$
$s = 100 \space км$
$m = 1 \space кг$
$\eta = 22 \% = 0.22$
$q = 4.6 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}$
СИ:
$\upsilon \approx 5.6 \frac{м}{с}$
$s = 100 \cdot 10^3 \space м$
$N — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Мощность по определению:
$N = \frac{A_п}{t}$.
Полезную работу мы можем выразить из формулы для расчета КПД теплового двигателя:
$\eta = \frac{A_п}{Q_1}$.
Количество теплоты $Q_1$, выделившееся при сгорании бензина, мы можем найти по формуле:
$Q = qm$.
Подставим в формулу для расчета КПД:
$\eta = \frac{A_п}{qm}$.
Выразим отсюда полезную работу:
$A_п = \eta \cdot qm$.
Время, которое необходимо нам для расчета мощности, мы можем найти через перемещение и скорость:
$t = \frac{s}{\upsilon}$.
Подставим найденные формулы для величин $A_п$ и $t$ в формулу для расчета мощности:
$N = \frac{\eta \cdot qm}{\frac{s}{\upsilon}} = \frac{\eta \cdot qm \cdot \upsilon}{s}$.
Рассчитаем эту мощность:
$N = \frac{0.22 \cdot 4.6 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг} \cdot 1 \space кг \cdot 5.6 \frac{м}{с}}{100 \cdot 10^3 \space м} \approx \frac{5.67 \cdot 10^7 \space Дж cdot с}{0.01 \cdot 10^7} \approx 567 \space Вт$.
Ответ: $N \approx 567 \space Вт$.
Задача №7
Определите КПД двигателя внутреннего сгорания мощностью $36.6 \space кВт$, который сжигает в течение одного часа $10 \space кг$ нефти.
Дано:
$N = 36.6 \space кВт$
$t = 1 \space ч$
$m = 10 \space кг$
$q = 4.4 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}$
СИ:
$N = 36.6 \cdot 10^3 \space Вт$
$t = 3600 \space с$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Запишем формулу для расчета КПД теплового двигателя:
$\eta = \frac{A_п}{Q_1} \cdot 100 \%$.
Полезную работу, совершенную двигателем мы можем определить через его мощность и время, за которое эта работа была совершена:
$A_п = Nt$.
Количество теплоты $Q_1$, полученное от нагревателя, — это энергия, которая выделится при сгорании топлива:
$Q_1 = qm$.
Подставим эти выражения в формулу КПД и рассчитаем его:
$\eta = \frac{Nt}{qm} \cdot 100\%$,
$\eta = \frac{36.6 \cdot 10^3 \space Вт \cdot 3600 \space с}{4.4 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг} \cdot 10 \space кг} \cdot 100 \% = \frac{13.176 \cdot 10^7 \space Дж}{44 \cdot 10^7 \space Дж} \cdot 100 \% \approx 30 \%$.
Ответ: $\eta \approx 30 \%$.
Задача №8
Паровая машина мощностью $220 \space кВт$ имеет КПД $15 \%$. Сколько каменного угля сгорает в ее топке за $8 \space ч$?
Дано:
$N = 220 \space кВт$
$t = 8 \space ч$
$\eta = 15 \% = 0.15$
$q = 2.7 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}$
СИ:
$N = 220 \cdot 10^3 \space Вт$
$t = 28.8 \cdot 10^3 \space с$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Запишем формулу для расчета КПД:
$\eta = \frac{A_п}{Q_1}$.
Полезную работу $A_п$ мы можем выразить через мощность и время, за которое эта работа была совершена:
$A_п = Nt$.
Количество теплоты, полученное от нагревателя — это энергия, выделившаяся при сгорании каменного угля:
$Q_1 = qm$.
Подставим эти выражения в формулу для КПД:
$\eta = \frac{Nt}{qm}$.
Выразим отсюда массу каменного угля:
$m = \frac{Nt}{q \eta}$.
Рассчитаем ее:
$m = \frac{220 \cdot 10^3 \space Вт \cdot 28.8 \cdot 10^3 \space с}{2.7 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг} \cdot 0.15} = \frac{633.6 \cdot 10^7 \space Дж}{0.405 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}} \approx 1564 \space кг$.
Ответ: $m \approx 1564 \space кг$.
Задача №9
Современные паровые механизмы расходуют $12.57 \space МДж$ в час на $735 \space Вт$. Вычислите КПД таких механизмов.
Дано:
$Q_1 = 12.57 \space МДж$
$t = 1 \space ч$
$N = 735 \space Вт$
СИ:
$Q_1 = 12.57 \cdot 10^6 \space Дж$
$t = 3600 \space с$
$\eta- ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Запишем формулу для расчета КПД теплового двигателя:
$\eta = \frac{A_п}{Q_1} \cdot 100 \%$.
Полезную работу, совершенную двигателем мы можем определить через его мощность и время, за которое эта работа была совершена:
$A_п = Nt$.
Количество теплоты $Q_1$, полученное от нагревателя, нам дано в условиях задачи.
Подставим выражение для полезной работы в формула для КПД и рассчитаем его:
$\eta = \frac{Nt}{Q_1} \cdot 100 \%$,
$\eta = \frac{735 \space Вт \cdot 3600 \space с}{12.57 \cdot 10^6 \space Дж} \cdot 100 \% \approx 21 \%$.
Ответ: $\eta \approx 21 \%$.
Задача №10
Мощность дизельного двигателя $367 \space кВт$, КПД $30 \%$. На сколько суток непрерывной работы хватит запаса нефти $60 \space т$ такому двигателю?
Дано:
$N = 367 \space кВт$
$m = 60 \space т$
$\eta = 30 \% = 0.3$
$q = 4.4 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг}$
СИ:
$N = 367 \cdot 10^3 \space Вт$
$m = 60 \cdot 10^3 \space кг$
$t — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Формула для расчета КПД теплового двигателя:
$\eta = \frac{A_п}{Q_1}$.
Полезную работу $A_п$ мы можем выразить через мощность и время, за которое эта работа была совершена:
$A_п = Nt$.
Количество теплоты, полученное от нагревателя — это энергия, выделившаяся при сгорании нефти:
$Q_1 = qm$.
Подставим эти выражения в формулу для КПД:
$\eta = \frac{Nt}{qm}$.
Выразим отсюда время, за которое была совершена полезная работа:
$t = \frac{qm \eta}{N}$.
Рассчитаем его:
$t = \frac{4.4 \cdot 10^7 \frac{Дж}{кг} \cdot 60 \cdot 10^3 \space кг \cdot 0.3}{367 \cdot 10^3 \space Вт} = \frac{79.2 \cdot 10^7 \space Дж}{367 \space Вт} \approx 2.16 \cdot 10^6 \space с$.
Переведем в сутки. В одном дне $60 \cdot 60 \cdot 24 \space с = 86 \space 400 \space с$. Тогда,
$t = \frac{2.16 \cdot 10^6}{86 \space 400} = 25 \space сут$.
Ответ: $t = 25 \space сут$.
5
5
1
5
Хотите оставить комментарий?
Войти