Решение задач на расчет сопротивления проводника, силы тока и напряжения

Сила тока в цепи определяется электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника за единицу времени: $I = \frac{q}{t}$.

Электрическое напряжение — это еще одна физическая величина, характеризующая электрическое поле. Она равна отношению работы тока на данном участке к электрическому заряду, прошедшему по этому участку: $U = \frac{A}{q}$.

Электрическое сопротивление — величина, зависящая от свойств проводника. На значение сопротивления не влияет ни значение силы тока в проводнике, ни значение напряжения на его концах. Его можно рассчитать по формуле $R = \frac{\rho l}{S}$, где $\rho$ — удельное сопротивление проводника,  $l$ — длина проводника, $S$ — площадь его поперечного сечения. Значение удельного сопротивления для определенного вещества можно посмотреть в таблице 1 в уроке «Расчет сопротивления проводника. Удельное сопротивление».

Эти три физические величины (силу тока, напряжение и сопротивление) связывает между собой закон Ома для участка цепи: $I = \frac{U}{R}$. Сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению на его концах и обратно пропорциональна его сопротивлению.

В данном уроке вы научитесь использовать эти знания для решения задач. Мы рассмотрим несколько примеров, а затем перейдем к упражнениям и их подробным решениям.

Пример задачи №1

Длина медного провода, использованного в осветительной сети, $100 \space м$, площадь поперечного сечения его $2 \space мм^2$. Чему равно сопротивление такого провода?

Для того, чтобы рассчитать сопротивление такого проводника, нам понадобится значение его удельного сопротивления. Удельное сопротивление меди равно $0.017 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$. Так как эта величина нам дана именно в этих единицах измерения, мы не будем переводить в СИ значение площади поперечного сечения, выраженное в $мм^2$.

Теперь мы можем записать условие задачи и решить ее.

Дано:
$l = 100 \space м$
$S = 2 \space мм^2$
$\rho = 0.017 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

$R — ?$

Решение:

Формула для расчета сопротивления проводника:
$R = \frac{\rho l}{S}$.

Рассчитаем его:
$R = \frac{0.017 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} \cdot 100 \space м}{2 \space мм^2} = \frac{1.7 \space Ом}{2} = 0.85 \space Ом$.

Ответ: $R = 0.85 \space Ом$.

Пример задачи №2

Никелиновая проволока длиной $120 \space м$ и площадью поперечного сечения $0.5 \space мм^2$ включена в цепь с напряжением $127 \space В$. Определить силу тока в проволоке.

Табличное значение удельного сопротивления никелина равно $0.4 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$.

Перейдем к записи условия задачи и ее решению.

Дано:
$l = 120 \space м$
$S = 0.5 \space мм^2$
$U = 127 \space В$
$\rho = 0.4 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

$I — ?$

Решение:

Силу тока мы можем рассчитать, используя формулу закона Ома для участка цепи:
$I = \frac{U}{R}$.

Но мы не знаем значения сопротивления проводника. Его мы тоже можем вычислить:
$R = \frac{\rho \cdot l}{S}$,
$R = \frac{0.4 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} \cdot 120 \space м}{0.5 \space мм^2} = \frac{48 \space Ом}{0.5} = 96 \space Ом$.

Теперь мы можем рассчитать силу тока:
$I = \frac{127 \space В}{96 \space Ом} \approx 1.3 \space А$.

Ответ: $I \approx 1.3 \space А$.

Пример задачи №3

Манганиновая проволока длиной $8 \space м$ и площадью поперечного сечения $0.8 \space мм^2$ включена в цепь аккумулятора. Сила тока в цепи $0.3 \space А$. Определить напряжение на полюсах аккумулятора.

Табличное значение удельного сопротивления манганина равно $0.43 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$.

Запишем условие задачи и решим ее.

Дано:
$l = 8 \space м$
$S = 0.8 \space мм^2$
$I = 0.3 \space А$
$\rho = 0.43 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

$U — ?$

Решение:

Если в условии задачи сказано, что проводник включен в цепь аккумулятора, это означает, что напряжение на полюсах аккумулятора будет равно напряжению на концах проволоки.

Почему? Взгляните на такую электрическую цепь (рисунок 1). Она состоит только из проводника и аккумулятора.

Если мы захотим измерить напряжение на полюсах аккумулятора c помощью вольтметра, то параллельно подключим его в эту цепь (рисунок 2). А если захотим измерить напряжение на концах проводника? Мы подключим вольтметр точно так же. Получается, что вольтметр подключен параллельно одновременно и к источнику тока, и к проводнику. Поэтому напряжение на концах проводника — это то же самое напряжение на полюсах аккумулятора.

Запишем закон Ома:
$I = \frac{U}{R}$.

Выразим из него напряжение, которое нужно найти:
$U = IR$.

Сопротивление проводника рассчитаем по формуле $R = \frac{\rho \cdot l}{S}$.
$R = \frac{0.43 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} \cdot 8 \space м}{0.8 \space мм^2} = \frac{3.44 \space Ом}{0.8} = 4.3 \space Ом$.

Теперь мы можем рассчитать напряжение:
$U = 0.3 \space А \cdot 4.3 \space Ом = 1.29 \space В \approx 1.3 \space В$.

Ответ: $U \approx 1.3 \space В$.

Упражнения

Обратите внимание, что если материал проводников один и тот же, то одинаковы и значения удельных сопротивлений $\rho$ для этих проводников.

$\frac{R_2}{R_1} — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Для решения этой задачи нам понадобятся табличные значения удельного сопротивления для веществ, из которых изготовлены проволоки. Удельное сопротивление алюминия — $0.028 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$, никелина — $0.4 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$, константана — $0.5 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$.

Обратите внимание на единицы измерения удельных сопротивлений, длин и площадей проводников. Для корректных расчетов длину каждой проволоки мы переведем в СИ (в $м^2$). Площади поперечных сечений должны быть выражены в $мм^2$. Для третьего задания переведем $см^2$ в $см^2$.

$R_1 — ?$
$R_2 — ?$
$R_3 — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Удельное сопротивление нихрома равно $1.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$.

Дано:
$l = 13.75 \space м$
$S = 0.1 \space мм^2$
$U = 220 \space В$
$\rho = 1.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$

$I — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть

Для решения задачи нам понадобится значение удельного сопротивления. Для железа оно равна $0.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$.

$U — ?$

Показать решение и ответ

Скрыть