Решение задач на расчет сопротивления проводника, силы тока и напряжения
Сила тока в цепи определяется электрическим зарядом, проходящим через поперечное сечение проводника за единицу времени: $I = \frac{q}{t}$.
Электрическое напряжение — это еще одна физическая величина, характеризующая электрическое поле. Она равна отношению работы тока на данном участке к электрическому заряду, прошедшему по этому участку: $U = \frac{A}{q}$.
Электрическое сопротивление — величина, зависящая от свойств проводника. На значение сопротивления не влияет ни значение силы тока в проводнике, ни значение напряжения на его концах. Его можно рассчитать по формуле $R = \frac{\rho l}{S}$, где $\rho$ — удельное сопротивление проводника, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь его поперечного сечения. Значение удельного сопротивления для определенного вещества можно посмотреть в таблице 1 в уроке «Расчет сопротивления проводника. Удельное сопротивление».
Эти три физические величины (силу тока, напряжение и сопротивление) связывает между собой закон Ома для участка цепи: $I = \frac{U}{R}$. Сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению на его концах и обратно пропорциональна его сопротивлению.
В данном уроке вы научитесь использовать эти знания для решения задач. Мы рассмотрим несколько примеров, а затем перейдем к упражнениям и их подробным решениям.
Пример задачи №1
Длина медного провода, использованного в осветительной сети, $100 \space м$, площадь поперечного сечения его $2 \space мм^2$. Чему равно сопротивление такого провода?
Для того, чтобы рассчитать сопротивление такого проводника, нам понадобится значение его удельного сопротивления. Удельное сопротивление меди равно $0.017 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$. Так как эта величина нам дана именно в этих единицах измерения, мы не будем переводить в СИ значение площади поперечного сечения, выраженное в $мм^2$.
Теперь мы можем записать условие задачи и решить ее.
Дано:
$l = 100 \space м$
$S = 2 \space мм^2$
$\rho = 0.017 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$
$R — ?$
Решение:
Формула для расчета сопротивления проводника:
$R = \frac{\rho l}{S}$.
Рассчитаем его:
$R = \frac{0.017 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} \cdot 100 \space м}{2 \space мм^2} = \frac{1.7 \space Ом}{2} = 0.85 \space Ом$.
Ответ: $R = 0.85 \space Ом$.
Пример задачи №2
Никелиновая проволока длиной $120 \space м$ и площадью поперечного сечения $0.5 \space мм^2$ включена в цепь с напряжением $127 \space В$. Определить силу тока в проволоке.
Табличное значение удельного сопротивления никелина равно $0.4 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$.
Перейдем к записи условия задачи и ее решению.
Дано:
$l = 120 \space м$
$S = 0.5 \space мм^2$
$U = 127 \space В$
$\rho = 0.4 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$
$I — ?$
Решение:
Силу тока мы можем рассчитать, используя формулу закона Ома для участка цепи:
$I = \frac{U}{R}$.
Но мы не знаем значения сопротивления проводника. Его мы тоже можем вычислить:
$R = \frac{\rho \cdot l}{S}$,
$R = \frac{0.4 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} \cdot 120 \space м}{0.5 \space мм^2} = \frac{48 \space Ом}{0.5} = 96 \space Ом$.
Теперь мы можем рассчитать силу тока:
$I = \frac{127 \space В}{96 \space Ом} \approx 1.3 \space А$.
Ответ: $I \approx 1.3 \space А$.
Пример задачи №3
Манганиновая проволока длиной $8 \space м$ и площадью поперечного сечения $0.8 \space мм^2$ включена в цепь аккумулятора. Сила тока в цепи $0.3 \space А$. Определить напряжение на полюсах аккумулятора.
Табличное значение удельного сопротивления манганина равно $0.43 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$.
Запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$l = 8 \space м$
$S = 0.8 \space мм^2$
$I = 0.3 \space А$
$\rho = 0.43 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$
$U — ?$
Решение:
Если в условии задачи сказано, что проводник включен в цепь аккумулятора, это означает, что напряжение на полюсах аккумулятора будет равно напряжению на концах проволоки.
Почему? Взгляните на такую электрическую цепь (рисунок 1). Она состоит только из проводника и аккумулятора.
Если мы захотим измерить напряжение на полюсах аккумулятора c помощью вольтметра, то параллельно подключим его в эту цепь (рисунок 2). А если захотим измерить напряжение на концах проводника? Мы подключим вольтметр точно так же. Получается, что вольтметр подключен параллельно одновременно и к источнику тока, и к проводнику. Поэтому напряжение на концах проводника — это то же самое напряжение на полюсах аккумулятора.
Запишем закон Ома:
$I = \frac{U}{R}$.
Выразим из него напряжение, которое нужно найти:
$U = IR$.
Сопротивление проводника рассчитаем по формуле $R = \frac{\rho \cdot l}{S}$.
$R = \frac{0.43 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} \cdot 8 \space м}{0.8 \space мм^2} = \frac{3.44 \space Ом}{0.8} = 4.3 \space Ом$.
Теперь мы можем рассчитать напряжение:
$U = 0.3 \space А \cdot 4.3 \space Ом = 1.29 \space В \approx 1.3 \space В$.
Ответ: $U \approx 1.3 \space В$.
Упражнения
Упражнение №1
Длина одного провода $20 \space см$, другого — $1.6 \space м$. Площадь сечения и материал проводов одинаковы. У какого провода сопротивление больше и во сколько раз?
Обратите внимание, что если материал проводников один и тот же, то одинаковы и значения удельных сопротивлений $\rho$ для этих проводников.
Дано:
$l_1 = 20 \space см$
$l_2 = 1.6 \space м$
$S_1 = S_2 = S$
$\rho_1 = \rho_2 = \rho$
СИ:
$l_1 = 0.2 \space м$
$\frac{R_2}{R_1} — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Сопротивление проводника рассчитывается по формуле $R = \frac{\rho \cdot l}{S}$.
Сопротивление первого провода:
$R_1 = \frac{\rho_1 l_1}{S_1} = \frac{\rho l_1}{S}$.
Сопротивление второго провода:
$R_2 = \frac{\rho_2 l_2}{S_2} = \frac{\rho l_2}{S}$.
Теперь сравним их между собой:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{\frac{\rho l_2}{S}}{\frac{\rho l_1}{S}} = \frac{l_2}{l_1}$.
Подставим численные значения длины проводов:
$\frac{R_2}{R_1} = \frac{1.6 \space м}{0.2 \space м} = 8$.
Получается, что сопротивление второго провода больше сопротивления первого в 8 раз.
Это логично, ведь вы знаете, что чем больше длина проводника, тем больше его сопротивление.
Ответ: сопротивление второго провода больше сопротивления первого в 8 раз.
Упражнение №2
Рассчитайте сопротивления следующих проводников, изготовленных из:
- Алюминиевой проволоки длиной $80 \space см$ и площадью поперечного сечения $0.2 \space мм^2$
- Никелиновой проволоки длиной $400 \space см$ и площадью поперечного сечения $0.5 \space мм^2$
- Константановой проволоки длиной $50 \space см$ и площадью поперечного сечения $0.005 \space см^2$
Для решения этой задачи нам понадобятся табличные значения удельного сопротивления для веществ, из которых изготовлены проволоки. Удельное сопротивление алюминия — $0.028 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$, никелина — $0.4 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$, константана — $0.5 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$.
Обратите внимание на единицы измерения удельных сопротивлений, длин и площадей проводников. Для корректных расчетов длину каждой проволоки мы переведем в СИ (в $м^2$). Площади поперечных сечений должны быть выражены в $мм^2$. Для третьего задания переведем $см^2$ в $см^2$.
Дано:
$l_1 = 80 \space см$
$l_2 = 400 \space см$
$l_3 = 50 \space см$
$S_1 = 0.2 \space мм^2$
$S_2 = 0.5 \space мм^2$
$S_3 = 0.005 \space см^2 = 0.5 \space мм^2$
$\rho_1 = 0.028 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$
$\rho_2 = 0.4 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$
$\rho_3 = 0.5 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$
СИ:
$l_1 = 0.8 \space м$
$l_2 = 4 \space м$
$l_3 = 0.5 \space м$
$R_1 — ?$
$R_2 — ?$
$R_3 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Формула для расчета сопротивления проводника: $R = \frac{\rho l}{S}$.
Рассчитаем по ней сопротивление каждого проводника.
$R_1 = \frac{\rho_1 l_1}{S_1}$,
$R_1 = \frac{0.028 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} \cdot 0.8 \space м}{0.2 \space мм^2} = \frac{0.0224 \space Ом}{0.2} = 0.112 \space Ом$.
$R_2 = \frac{\rho_2 l_2}{S_2}$,
$R_2 = \frac{0.4 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} \cdot 4 \space м}{0.5 \space мм^2} = \frac{1.6 \space Ом}{0.5} = 3.2 \space Ом$.
$R_3 = \frac{\rho_3 l_3}{S_3}$,
$R_2 = \frac{0.5 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} \cdot 0.5 \space м}{0.5 \space мм^2} = \frac{0.25 \space Ом}{0.5} = 0.5 \space Ом$.
Ответ: $R_1 = 0.112 \space Ом$, $R_2 = 3.2 \space Ом$, $R_3 = 0.5 \space Ом$.
Упражнение №3
Спираль электрической плитки изготовлена из нихромовой проволоки длиной $13.75 \space м$ и площадью поперечного сечения $0.1 \space мм^2$. Плитка рассчитана на напряжение $220 \space В$. Определите силу тока в спирали плитки.
Удельное сопротивление нихрома равно $1.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$.
Дано:
$l = 13.75 \space м$
$S = 0.1 \space мм^2$
$U = 220 \space В$
$\rho = 1.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$
$I — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Силу тока в спирали плитки мы можем рассчитать, используя формулу закона Ома для участка цепи: $I = \frac{U}{R}$.
Неизвестное сопротивление нихромовой проволоки рассчитаем по формуле $R = \frac{\rho l}{S}$.
$R = \frac{1.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} \cdot 13.75 \space м}{0.1 \space мм^2} = \frac{15.125 \space Ом}{0.1} = 151.25 \space Ом$.
Рассчитаем теперь силу тока:
$I = \frac{220 \space В}{151.25 \space Ом} \approx 1.5 \space А$.
Ответ: $I \approx 1.5 \space А$.
Упражнение №4
Сила тока в железном проводнике длиной $150 \space мм$ и площадью поперечного сечения $0.02 \space мм^2$ равна $250 \space мА$. Каково напряжение на концах проводника?
Для решения задачи нам понадобится значение удельного сопротивления. Для железа оно равна $0.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$.
Дано:
$I = 250 \space мА$
$l = 150 \space мм$
$S = 0.02 \space мм^2$
$\rho = 0.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м}$
СИ:
$I = 0.25 \space А$
$l = 0.15 \space м$
$U — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Закон Ома для участка цепи: $I = \frac{U}{R}$.
Выразим отсюда напряжение: $U = IR$.
Рассчитаем сопротивление проводника:
$R = \frac{\rho l}{S}$,
$R = \frac{0.1 \frac{Ом \cdot мм^2}{м} \cdot 0.15 \space м}{0.02 \space мм^2} = \frac{0.015 \space Ом}{0.02} = 0.75 \space Ом$.
Теперь мы можем рассчитать напряжение на концах проводника:
$U = 0.25 \space А \cdot 0.75 \space Ом \approx 0.2 \space В$.
Ответ: $U \approx 0.2 \space В$.
Хотите оставить комментарий?
Войти