Расчет сопротивления проводника. Удельное сопротивление

Закон Ома для участка цепи связывает три величины: $I = \frac{U}{R}$. Эти величины: сила тока, напряжение и сопротивление. Сила тока в проводнике и напряжение на его концах могут изменяться. Они прямо пропорциональны друг другу. Также вы знаете, что сила тока в проводнике и сопротивление связаны между собой обратной пропорциональностью.

Но дело в том, что электрическое сопротивление — величина в законе Ома постоянная. При изменениях силы тока или напряжениях она не изменяется. Сопротивление зависит исключительно от свойств проводника.

На данном уроке мы рассмотрим, от каких именно свойств проводника зависит его сопротивление, введем понятие «удельное сопротивление» и сравним его значения для разных веществ.

Опыты по установлению величин, от которых зависит сопротивление

Причина электрического сопротивления кроется во взаимодействии электронов с ионами кристаллической решетки металла. Логично предположить, что сопротивление будет зависеть от рода вещества, из которого он состоит. Также мы предположим, что есть некоторая зависимость от длины проводника и площади его поперечного сечения.

Теперь давайте проведем опыты, которые подтвердят или опровергнут наши предположения.

Соберем электрическую цепь из источника тока, ключа, амперметра и реостата. Реостат — это прибор, который позволит нам изменять силу тока в цепи. Подробнее о нем вы узнаете в отдельном уроке.

В эту цепь мы будем поочередно подключать различные проводники. К ним же параллельно подсоединим вольтметр (рисунок 1).

Какие проводники мы будем подключать в цепь?

Вариантов может быть огромное множество. Мы рассмотрим следующие:

1. Никелиновые проволоки одинаковой толщины (с одинаковой площадью поперечных сечений), но разной длины
2. Такие же никелиновые проволоки, но теперь одинаковой длины и разной толщины (с различной площадью поперечных сечений)
3. Никелиновую и нихромовую проволоки одинаковой длины и толщины

Каждый раз мы будем фиксировать значения силы тока в цепи, показанные амперметром. Вольтметр даст нам значения напряжения на концах каждого проводника.

Далее, используя закон Ома для участка цепи, мы сможем рассчитать сопротивление каждого проводника по формуле $I = \frac{U}{R}$.

{"questions":[{"content":"Чтобы экспериментально установить зависимость сопротивления проводника от его длины, нужно взять два проводника[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["из одного вещества с одинаковым поперечным сечением, но разной длины","Из одного вещества с разными поперечным сечением и разной длиной","из разных веществ с  разной длиной и разным поперечным сечением"],"explanations":["Чтобы выявить зависимость, все остальные параметры (кроме исследуемого) должны быть идентичны для обоих проводников.","",""],"answer":[0]}}}]}

Результаты опытов

Какие выводы мы сможем сделать после всех расчетов?

1. Из двух никелиновых проволок с одинаковой толщиной большее сопротивление имеет более длинная проволока
2. Большее сопротивление имеет та никелиновая проволока, у которой поперечное сечение меньше. При этом длина проволок была одинаковой
3. Никелиновая и нихромовая проволоки имеют разное сопротивление при одинаковых размерах

{"questions":[{"content":"Есть два проводника из одного вещества и одинаковой длины. Сопротивление будет больше у проводника[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["с меньшим поперечным сечением","с большим поперечным сечением","сопротивление проводников будет одинаковым"],"answer":[0]}}}]}

Зависимость сопротивления проводника от его размеров и вещества, из которого он состоит

Как зависит сопротивление проводника от его длины и от площади поперечного сечения?

Подобные опыты впервые проводил уже известный нам Георг Ом. Именно он установил следующие зависимости.

Сопротивление прямо пропорционально длине проводника, обратно пропорционально площади его поперечного сечения и зависит от вещества проводника.

{"questions":[{"content":"Длина проводника и его электрическое сопротивление[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["прямо пропорциональны друг другу","обратно пропорциональны друг другу","не зависят друг от друга"],"explanations":["","Так связаны между собой площадь поперечного сечения проводника и его сопротивление.",""],"answer":[0]}}}]}

Удельное сопротивление

Если с длиной и толщиной проводника все просто и понятно, то что с веществом, из которого он состоит? Как учесть эту зависимость значения сопротивления? Для этого нужно вычислить удельное сопротивление вещества (проводника).

Что называется удельным сопротивлением проводника?

Удельное сопротивление — это физическая величина, которая определяет сопротивление проводника из данного вещества длиной $1 \space м$ и площадью поперечного сечения $1 \space м^2$.

Обозначается удельное сопротивление буквой $\rho$.

Не путать с плотностью вещества! Обращайте внимание на единицы измерения, чтобы не запутаться. Плотность в СИ измеряется в $\frac{кг}{м^3}$, а про единицу измерения удельного сопротивления мы поговорим чуть ниже.

{"questions":[{"content":"Удельное сопротивление проводника обозначается буквой [[choice-15]]","widgets":{"choice-15":{"type":"choice","options":["$\\rho$","$R$","$r$","$\\upsilon$"],"explanations":["","Так обозначается электрическое сопротивление (не удельное).","","Так обозначается скорость."],"answer":[0]}}}]}

По какой формуле можно рассчитывать сопротивление проводников?

Используя новую величину, теперь мы можем вычислить сопротивление любого проводника.

$R = \frac{\rho l}{S}$,
где $\rho$ — удельное сопротивление проводника, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь его поперечного сечения.

Из этой формулы для расчетов мы можем выразить и другие величины:

$l = \frac{RS}{\rho}$,
$S = \frac{\rho l}{R}$,
$\rho = \frac{RS}{l}$.

{"questions":[{"content":"Электрическое сопротивление проводника можно рассчитать по формуле [[choice-21]]","widgets":{"choice-21":{"type":"choice","options":["$R = \\frac{\\rho l}{S}$","$R = \\frac{U l}{S}$","$R = \\frac{S l}{\\rho}$","$R = \\rho lS$"],"answer":[0]}}}]}

Единица удельного сопротивления

Чтобы определить единицу измерения удельного сопротивления обратимся к формуле $\rho = \frac{RS}{l}$.

Единица сопротивления — $1 \space Ом$, площади поперечного сечения — $1 \space м^2$, длины — $1 \space м$.

Подставим все это в формулу:

$[\rho] = \frac{1 \space Ом \cdot 1 \space м^2}{1 \space м}  = 1 \space Ом \cdot м$.

Площадь поперечного сечения проводника обычно небольшая, поэтому ее удобно выражать в $мм^2$. Поэтому часто удельное сопротивление проводника измеряют в $\frac{1 \space Ом \cdot 1 \space мм^2}{1 \space м}$.

{"questions":[{"content":"Удельное сопротивление проводника измеряется в [[choice-25]]","widgets":{"choice-25":{"type":"choice","options":["$Ом \\cdot м$","$В \\cdot м$","$А \\cdot м$"],"answer":[0]}}}]}

Значения удельных сопротивлений некоторых веществ

В таблице 1 приведены значения удельных сопротивлений некоторых веществ.

Обратите внимание, что эти значения актуальны при температуре $20 \space \degree C$.

Удельное сопротивление вещества зависит от температуры.

{"questions":[{"content":"Чему равно удельное сопротивление графита при $20 \\space \\degree C$?<br />Ответ: $\\rho =$[[input-29]] $\\frac{Ом \\cdot мм^2}{м}$.","widgets":{"input-29":{"type":"input","inline":1,"answer":"13"}}}]}

Опыты показали, что при определенной температуре для каждого вещества диэлектрик может стать проводником (полупроводник). Также экспериментально доказано, что с повышением температуры удельное сопротивление металлов увеличивается.

Использование веществ для изготовления проводников и изолятов

У каких веществ самые большие значения удельного сопротивления? Конечно, у диэлектриков. Например, эбонит и фарфор практически не проводят электрический ток. Поэтому их и используют в качестве изоляторов.

Самое меньшее удельное сопротивление имеют чистые металлы. Серебро и медь — лучшие проводники электричества. 

Из каких веществ изготавливают проводники, применяемые на практике? Чаще всего для проводки электрических цепей используют медные, алюминиевые и железные провода.

В таблице 1 вы также могли обратить внимание на значения удельных сопротивлений для сплавов нескольких веществ. Они имеют достаточно большие значения. Зачем? Обычно их используют для изготовления приборов, которым необходимо для нормального функционирования иметь большое сопротивление, но все-таки пропускать ток.

{"questions":[{"content":"Из эбонита изготавливают[[choice-31]]","widgets":{"choice-31":{"type":"choice","options":["изоляторы","провода","источники тока"],"explanations":["Он обладает очень большим удельным сопротивлением.","",""],"answer":[0]}}}]}