18. Задача с параметром: уравнения с параметром, содержащие радикалы

Случай 1: $x\geq0$
Уравнение принимает вид:
$$a^2=4(x-1)^2$$
Решения:
$$x_1=\frac{a+2}{2},\quad x_2=\frac{2-a}{2}$$
Условия:

• $x_1\geq0$ при $a\geq-2$
• $x_2\geq0$ при $a\leq2$
• При $a=0$: $x_1=x_2=1$

Случай 2: $x<0$
Уравнение принимает вид:
$$a^2=4(x+1)^2$$
Решения:
$$x_3=\frac{a-2}{2},\quad x_4=-\frac{2+a}{2}$$
Условия:

• $x_3<0$ при $a<2$
• $x_4<0$ при $a>-2$
• При $a=0$: $x_3=x_4=-1$

Анализ количества корней:

• При $a<-2$: корни $x_2$ и $x_3$ (2 корня)
• При $a=-2$: корни $x_1=0$, $x_2=2$, $x_3=-2$ (3 корня)
• При $-2<a<0$: все 4 корня различны
• При $a=0$: $x_1=x_2=1$ и $x_3=x_4=-1$ (2 корня)
• При $0<a<2$: все 4 корня различны
• При $a=2$: корни $x_1=2$, $x_2=0$, $x_4=-2$ (3 корня)
• При $a>2$: корни $x_1$ и $x_4$ (2 корня)

Итоговый ответ:
Уравнение имеет ровно два различных корня при:
$$a<-2,\quad a=0,\quad a>2$$

Ответ: $a\in(-\infty,-2)\cup{0}\cup(2,+\infty)$

Преобразование уравнения:
$$\sqrt{4x-3}\cdot(\ln(5x-a)-\ln(6x+a))=0$$

Случай 1: $\sqrt{4x-3}=0$
$$\begin{cases}x=\frac{3}{4}\\5x-a>0\\6x+a>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} x=\frac{3}{4}\\ a<\frac{15}{4}\ a>-\frac{9}{2} \end{cases}\Rightarrow a\in\left(-\frac{9}{2},\frac{15}{4}\right)$$

Случай 2: $\ln(5x-a)=\ln(6x+a)$
$$\begin{cases}5x-a=6x+a\\5x-a>0\\4x-3\geq0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-2a\\ a<0\\ a\leq-\dfrac{3}{8} \end{cases}$$

Условия для одного корня:

• Корень $x=\dfrac{3}{4}$ существует при $a\in\left(-\dfrac{9}{2},\dfrac{15}{4}\right)$
• Корень $x=-2a$ существует при $a\leq-\dfrac{3}{8}$ и принадлежит $[0;1]$ при $a\in\left[-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{8}\right]$
• При $a=-\dfrac{3}{8}$ корни совпадают

Ответ: $a\in\left(-\dfrac{9}{2},-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left[-\dfrac{3}{8},\dfrac{15}{4}\right)$

Область определения функции:

• $\sqrt{x+2a-1}$ определено при $x\geq1-2a$
• $\sqrt{x-a}$ определено при $x\geq a$
• Общая область: $x\geq\max(1-2a,a)$

Случай 1: $a\geq\frac{1}{3}$

• Область определения: $x\geq a$
• Наименьшее значение: $f(a)=\sqrt{3a-1}\leq1$
• Решение: $\frac{1}{3}\leq a\leq\frac{2}{3}$

Случай 2: $a<\frac{1}{3}$

• Область определения: $x\geq1-2a$
• Наименьшее значение: $f(1-2a)=\sqrt{1-3a}\leq1$
• Решение: $0\leq a<\frac{1}{3}$

Объединение решений:
$$0\leq a\leq\frac{2}{3}$$

Ответ: $a\in\left[0,\dfrac{2}{3}\right]$