18. Задача с параметром: #195736

Преобразование уравнения:
$$\sqrt{4x-3}\cdot(\ln(5x-a)-\ln(6x+a))=0$$

Случай 1: $\sqrt{4x-3}=0$
$$\begin{cases}x=\frac{3}{4}\\5x-a>0\\6x+a>0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases} x=\frac{3}{4}\\ a<\frac{15}{4}\ a>-\frac{9}{2} \end{cases}\Rightarrow a\in\left(-\frac{9}{2},\frac{15}{4}\right)$$

Случай 2: $\ln(5x-a)=\ln(6x+a)$
$$\begin{cases}5x-a=6x+a\\5x-a>0\\4x-3\geq0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=-2a\\ a<0\\ a\leq-\dfrac{3}{8} \end{cases}$$

Условия для одного корня:

• Корень $x=\dfrac{3}{4}$ существует при $a\in\left(-\dfrac{9}{2},\dfrac{15}{4}\right)$
• Корень $x=-2a$ существует при $a\leq-\dfrac{3}{8}$ и принадлежит $[0;1]$ при $a\in\left[-\dfrac{1}{2},-\dfrac{3}{8}\right]$
• При $a=-\dfrac{3}{8}$ корни совпадают

Ответ: $a\in\left(-\dfrac{9}{2},-\dfrac{1}{2}\right)\cup\left[-\dfrac{3}{8},\dfrac{15}{4}\right)$