18. Задача с параметром: #195735

Случай 1: $x\geq0$
Уравнение принимает вид:
$$a^2=4(x-1)^2$$
Решения:
$$x_1=\frac{a+2}{2},\quad x_2=\frac{2-a}{2}$$
Условия:

• $x_1\geq0$ при $a\geq-2$
• $x_2\geq0$ при $a\leq2$
• При $a=0$: $x_1=x_2=1$

Случай 2: $x<0$
Уравнение принимает вид:
$$a^2=4(x+1)^2$$
Решения:
$$x_3=\frac{a-2}{2},\quad x_4=-\frac{2+a}{2}$$
Условия:

• $x_3<0$ при $a<2$
• $x_4<0$ при $a>-2$
• При $a=0$: $x_3=x_4=-1$

Анализ количества корней:

• При $a<-2$: корни $x_2$ и $x_3$ (2 корня)
• При $a=-2$: корни $x_1=0$, $x_2=2$, $x_3=-2$ (3 корня)
• При $-2<a<0$: все 4 корня различны
• При $a=0$: $x_1=x_2=1$ и $x_3=x_4=-1$ (2 корня)
• При $0<a<2$: все 4 корня различны
• При $a=2$: корни $x_1=2$, $x_2=0$, $x_4=-2$ (3 корня)
• При $a>2$: корни $x_1$ и $x_4$ (2 корня)

Итоговый ответ:
Уравнение имеет ровно два различных корня при:
$$a<-2,\quad a=0,\quad a>2$$

Ответ: $a\in(-\infty,-2)\cup{0}\cup(2,+\infty)$