18. Задача с параметром: #195737

Область определения функции:

• $\sqrt{x+2a-1}$ определено при $x\geq1-2a$
• $\sqrt{x-a}$ определено при $x\geq a$
• Общая область: $x\geq\max(1-2a,a)$

Случай 1: $a\geq\frac{1}{3}$

• Область определения: $x\geq a$
• Наименьшее значение: $f(a)=\sqrt{3a-1}\leq1$
• Решение: $\frac{1}{3}\leq a\leq\frac{2}{3}$

Случай 2: $a<\frac{1}{3}$

• Область определения: $x\geq1-2a$
• Наименьшее значение: $f(1-2a)=\sqrt{1-3a}\leq1$
• Решение: $0\leq a<\frac{1}{3}$

Объединение решений:
$$0\leq a\leq\frac{2}{3}$$

Ответ: $a\in\left[0,\dfrac{2}{3}\right]$